常徽分方程们春模拟试题（一） 一、填空题 L。方程业。x+csy满足解的存在推一性定理条件的区城悬。 dx 2,方程Uy+1)+(x+I=0所有常数解是 3方程y=y+Uy产的通解是。 4,n阶找性齐次微分方程的n个解网(，，单，()构成基本解组的充分必要条件是 5.常微分方程的一个不可延展解的存在区间一定是区间. 二、单项选择思 6,三阶线性齐次微分方程的所有解构成一个()线性空间， (A)2维(B》3维(C)1维(D)4维 .n维方程组业=F化.)的任一解的图像是+1维空间（化，）中的(). (A)一个由面(B)n个曲面(C)一条曲线(D)n条由线 8.方程业。瓜， 当y=0 dryinly以当y0 在x时平面上任一点的解() (A)都不是候一的(B)军是惟一的 (C)都与x铂相交(D)都与x轴相切 9.方程y”+x2y+xy=x功x的任一解的最大存在区间经为(). (A)(-,+)(B)0+)(C)(-,0)(D)L,+) 三-y 10,方程组 d山 的奇点(0,0)的类型是()， dy (A)结点(B)焦点(C)鞍点(D)中心 三、计算题 求下列方程的通解或通积分： 1.业=0w-0 dx 12血，-x 13.2+x2-二=0
1 常微分方程 07 春模拟试题（一） 一、填空题 1．方程 x y x y cos d d 2 = + 满足解的存在惟一性定理条件的区域是． 2．方程 (y +1)dx + (x +1)dy = 0 所有常数解是． 3．方程 2 ( ) 2 1 y = xy + y 的通解是． 4．n 阶线性齐次微分方程的 n 个解 ( ), , ( ) 1 x x n 构成基本解组的充分必要条件是 ． 5．常微分方程的一个不可延展解的存在区间一定是区间． 二、单项选择题 6．三阶线性齐次微分方程的所有解构成一个（）线性空间． （A）2 维（B）3 维（C）1 维（D）4 维 7.n 维方程组 ( , ) d d F x Y x Y = 的任一解的图像是 n+1 维空间 (x, Y) 中的（）． （A）一个曲面（B）n 个曲面（C）一条曲线（D）n 条曲线 8．方程 = = ln , 0 0 0 d d y y y y x y 当 ， 当 在 xoy 平面上任一点的解（）． （A）都不是惟一的（B）都是惟一的 （C）都与 x 轴相交（D）都与 x 轴相切 9．方程 y x y x y x sin x 2 3 + + = 的任一解的最大存在区间必为（）． （A） (−, + ) （B） (0, + ) （C） (−, 0) （D） (1, + ) 10．方程组 = = − x t y y t x d d d d 的奇点 (0, 0) 的类型是（）． （A）结点（B）焦点（C）鞍点（D）中心 三、计算题 求下列方程的通解或通积分： 11. ( 1) d d = y y − x y 12. 2 d d x x y x y + = 13. )d 0 1 2 d ( 2 2 + − y = y xy x x
14.(y)2-2y'+1=0 15.y3y'+1=0 四，计算题 16,求方程荒+x=n1的通解。 五、正明圈 17.设函数f八U)在区间[a,+e)上莲候，且mf)=0,试证明：非齐次线性方程 倍m 的任一解0均有m)=0 常微分方程7春慎拟试愿（一）参考答案 一，填空愿 1,全平面 2.y=-1,x=-1 3.c 4.线性无关（阴斯基行列式不为零） 5.开 二、单项选择题 6.B7.C8.B9.A10.D 三、计算题 11.解当y-D≠0时，分离变量，得 1 dy=dr y-) 积分，得 j-ja+c -fdx+C hly-1-In=x+C 通积分为-=Cc 12.解齐次方程的通解为
2 14． ( ) 2 1 0 2 y − xy + = 15． 1 0 3 y y + = 四、计算题 16．求方程 x + x = sin t 的通解． 五、证明题 17．设函数 f (t) 在区间 [a, + ) 上连续，且 lim ( ) = 0 →+ f t t ，试证明：非齐次线性方程 4 ( ) d d 4 d d 2 2 x f t t x t x + + = 的任一解 x(t) 均有 lim ( ) = 0 →+ x t t ． 常微分方程 07 春模拟试题（一）参考答案 一、填空题 1．全平面 2． y = −1， x = −1 3． 2 2 1 y = Cx + C 4．线性无关（朗斯基行列式不为零） 5．开 二、单项选择题 6．B7．C8．B9．A10．D 三、计算题 11．解当 y(y −1) 0 时，分离变量，得 y x y y d d ( -1) 1 = 积分，得 d d 1 ( -1) 1 y x C y y = + 或 d 1 )d 1 -1 1 ( y x C y y − = + 1 ln y −1 − ln y = x + C 通积分为 x C y y e 1 = − 12．解齐次方程的通解为 x C y =
设原方程的通解为 . 代入原方程，得C= +C 4 所以，原方程的通解为 y-(c+Ir) 4 13.解因为Mx功=2y,Nx,=x2-马 OM=2x=EN 所以，原方程是全微分方程， 取(，)=01)，原方程的通积分为 2+=c 即ry+=C 4、解令了=P,则x=+号，单方程的参数形式为 2p2 yap 由山=y,有 积分有 得原方程参数形式通解 1+ 一+ 5.解令y=P,广=P史代入方程，得
3 设原方程的通解为 x C x y ( ) = 代入原方程，得 C x C x = + 4 ( ) 4 所以，原方程的通解为 ) 4 1 ( 1 4 C x x y = + 13．解因为 M(x, y) = 2xy ， 2 2 1 ( , ) y N x y = x − x N x y M = = 2 所以，原方程是全微分方程． 取 ( , ) (0,1) x0 y0 = ，原方程的通积分为 1 0 1 2 d 1 2 d y C y xy x x y + − = 即 C y x y + = 2 1 14．解令 y = p ，则 2 2 1 p p x = + ，原方程的参数形式为 = = + y p p p x 2 2 1 由 dy = y dx ，有 p p p p p y p )d 2 2 1 )d ( 2 1 2 1 d ( 2 = − + = − + 积分有 y = − p + p + C 2 4 1 ln 2 1 得原方程参数形式通解 = − + + = + y p p C p p x 2 4 1 ln 2 1 2 2 1 15．解令 y = p ， y p y p d d = 代入方程，得
+C-LO d女 分离变量，积分得 器 =d+C 原方程的通积分为 1+Cy2=(0x+C2)2 四、计算圈 16.解对应齐次方程的特征方程是 2+1=0 特征根为2·上1，齐次方程的通解为 x=C cost+C2 sin 因为口士B=出是一顺特征根.故丰齐次方程有形知 x()=Acost+Bsnr) 26=0 的袋解，代入原方程，得A 故原方程的通解为x=Ccas1+C如11es: 五、正明题（本避共15分） 1了.正明先求出齐次方程的特征根为名？=-2，故齐次方程的通解为 Mr)-Ce C.te 令丰齐次方程特解为 x(t)=C(te+C(rte C),C、0满是 C(ne-+C (Ne=0 -C (r2e+C(Me-2e)=f()
4 y y p p d 1 d 3 = − 积分，得 1 2 2 2 1 2 1 p = y + C − 2 2 2 2 1 1 y Cy C y p + = + = y Cy x y 2 1 d d + = 分离变量，积分得 1 2 d 1 d x C Cy y y = + + 原方程的通积分为 2 2 2 1+ Cy = (Cx + C ) 四、计算题 16．解对应齐次方程的特征方程是 1 0 2 + = 特征根为 = i 1, 2 ，齐次方程的通解为 x C cost C sin t = 1 + 2 因为 i = i 是一重特征根．故非齐次方程有形如 ( ) ( cos sin ) 1 x t = t A t + B t 的特解，代入原方程，得 2 1 A = − ， B = 0 故原方程的通解为 x C t C t t cost 2 1 = 1 cos + 2 sin − 五、证明题（本题共 15 分） 17．证明先求出齐次方程的特征根为 1，2 = −2 ，故齐次方程的通解为 t t x t C C t 2 2 2 1 ( ) e e − − = + 令非齐次方程特解为 t t x t C t C t t 2 2 2 1 1 ( ) ( )e ( ) e − − = + ( ), ( ) 1 2 C t C t 满足 − = + − = + − − − − − ( )2e ( )(e 2 e ) ( ) ( )e ( ) e 0 2 2 1 2 2 2 2 1 C t C t t f t C t C t t t t t t t
解出C,0=0e”，C0=-∫5ed5 C:()=f(te",C(o(ed 原方程的通解为 =Ce+C-()-0dgf(ed6 成马成 Cedeng 当1→+城，分子中的广义积分→+∞时。由洛比达法则，有 JiJsd )=0+0+m 中 2e lim f(ne -=0 4e2r 当→+，分子中的广义积分为有界时，是然有
5 解出 t C t tf t 2 1 ( ) = − ( )e ， = − t C t f 0 2 1 ( ) ( )e d t C t f t 2 2 ( ) = ( )e ， = t C f 0 2 2 (t) ( )e d 原方程的通解为 t t x t C C t 2 2 2 1 ( ) e e − − = + - − t t f 0 2( ) ( )e d + − t t t f 0 2( ) ( )e d 或写成 t t x t C C t 2 2 2 1 ( ) e e − − = + + t t t f t f 2 0 2 0 2 e ( )e d ( )e d − + 当 t →+ ，分子中的广义积分 →+ 时，由洛比达法则，有 lim ( ) = 0 + 0 →+ x t t + t t t f d 2 0 2 2e ( )e lim →+ = t t t f t 2 2 4e ( )e lim →+ =0 当 t →+ ，分子中的广义积分为有界时，显然有