05秋模拟试题及参考客案 一、单项选择题〔每小题3分，本题共15分) 1.设函数(x的定文域为一，+)，则函数八)+八-)的图形关子()对称 (A)y=x (⑧)X轴 (C0y细 D)坐标单点 2.在下列指定的变化过程中，《)是无穷小量。 sn-(x0) xsn二(x+w) (0 ) (C)e* (x+o) mx+)(x→0) a.设y=f)是可微函数，则dcs2)=(). (A)-2/(cos2x)sin 2xdx (B)2/(cos2x)dx 2f(cos2x)sn 2xdx 2f(cos2x)sin 2xdx 4.下列等式成立的是()， Jra=f倒 ,t-a (C) aff(x)d=f(x) 0∫)=国 5.徽分方程广=e的通解是《）. (A)y=e (y=-e (Cy=e+Cix+C my=e“+Cx+C 二、填空题（每小3分，共15分） 1.函教x-)=x2-2x+7,则x) f(x)= xsin-x<0 2.函数 x2+1 x之0的间断点址 3.设函教)=x+少，则f"(0)= J(sin x)'dr- 1
1 05 秋模拟试题及参考答案 一、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分） 1.设函数 f (x) 的定义域为 (−,+) ，则函数 f (x) + f (−x) 的图形关于（ ）对称． (A) y = x (B) x 轴 (C) y 轴 (D) 坐标原点 2.在下列指定的变化过程中，（ ）是无穷小量。 (A) ( 0) 1 sin x → x (B) ( ) 1 sin x → x x (C) e ( ) 1 x x → (D) ln( x +1) (x → 0) 3.设 y = f (x) 是可微函数，则 df (cos 2x) = （ ）． (A) − 2 f (cos 2x)sin 2xdx (B) 2 f (cos 2x)dx (C) 2 f (cos 2x)sin 2xdx (D) 2 f (cos 2x)sin 2xdx 4.下列等式成立的是（ ）． (A) f (x)dx = f (x) (B) ( )d ( ) d d f x x f x x = (C) d f (x)dx = f (x) (D) df (x) = f (x) 5.微分方程 x y − = e 的通解是（ ）． (A) x y − = e (B) x y − = −e (C) 1 2 y e C x C x = + + − (D) 1 2 y e C x C x = − + + − 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1.函数 ( 1) 2 7 2 f x − = x − x + ，则 f (x) = ． 2.函数 + = 1 0 0 1 sin ( ) 2 x x x x x f x 的间断点是 ． 3.设函数 f (x) = ln( x +1) ，则 f (0) = ． 4. = (sin x) dx ．
1 5.级数台的收效范旧是P 三、计算题（每小愿6分，共54分） m (2x-1) 1.(2x+1)0-3x) 1-x-1 2.sin a没y=0+co5x+2x)”,求y 4.设y=利是由方程灯=e”确定的隐晒数，求少 5. 5+e a月oo2d 5 ?求琴级数名50 的收数半径 =(x+1)e 8求微分方程x+1 的通解。 9.求微分方程“+3y+2y=3nx的特解. 四、应月题（本卷12分） 某制增厂要生产一种休积为V的有盖圆柱形容器，问客器的底半径与高各为多少能使用 料最省7 五、证明题（本圈4分） 话明：雨数y=术一arctan x单调消如. 2
2 5.级数 =1 1 n P n 的收敛范围是 p ． 三、计算题（每小题 6 分，共 54 分） 1. 2 3 5 (2 1) (1 3 ) (2 1) lim x x x x + − − → ． 2. x x x 2 2 0 sin 1 1 lim − − → ． 3.设 2 10 y = (1+ cos x + 2x ) ，求 y ． 4.设 y = y(x) 是由方程 x y xy + = e 确定的隐函数，求 dy ． 5. x x x d 5 e e + ． 6. 2 0 cos2 d x x x ． 7.求幂级数 n n n x n =1 2 5 的收敛半径． 8.求微分方程 x x x y y − = + + − ( 1) e 1 2 2 的通解. 9.求微分方程 y + 3y + 2y = 3sin x 的特解. 四、应用题（本题 12 分） 某制罐厂要生产一种体积为 V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少能使用 料最省？ 五、证明题（本题 4 分） 证明：函数 y = x − arctan x 单调增加．
高等数学(1)试题答案及评分标准 (供参考) 一、单项选择愿（每小愿3分，本题共15分） 1.C 2D 3.A 4.B 5.C 二、填空题（每小题3分，本题共15分） 1.x2+62x=03-14smx+C5.>1 三、计算题（每小题6分，共54分） 、 (2x-13 2 1.解：2x+0-3x22-(←3=2 6分 -x--x-x-x+ m lim 2解： sinx sn x(+) =m- -x2 sm'x-x2+)2 6分 &解：广-101+c0sx+2x2)(-snx+4x) 44…6分 4解：方程两边对x求微分。得 y+=e7(1+y) (x-e)y'=e"-y 于是得到 dydr x-e n6分 5解：由凑微分法 [d(5+edx=25+e*+c 6分 6解：由分部积分法得 信xo2=2 1 -2 7w2 -6分
3 高等数学（1）试题答案及评分标准 （供参考） 一、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分） 1.C 2.D 3.A 4.B 5.C 二、填空题（每小题 3 分，本题共 15 分） 1. 6 2 x + 2. x = 0 3. −1 4. sin x +C 5. 1 三、计算题（每小题 6 分，共 54 分） 1. 解： 27 8 2 ( 3) 2 (2 1) (1 3 ) (2 1) lim 2 3 5 2 3 5 − = − = + − − → x x x x ………6 分 2. 解： sin ( 1 1) ( 1 1)( 1 1) lim sin 1 1 lim 2 2 2 2 0 2 2 0 − + − − − + = − − → → x x x x x x x x 2 1 sin ( 1 1) lim 2 2 2 0 = − − + − = → x x x x ………6 分 3. 解： 10(1 cos 2 ) ( sin 4 ) 2 9 y = + x + x − x + x ………6 分 4. 解：方程两边对 x 求微分，得 y xy e (1 y ) x y + = + + x y y x y x y − = − + + ( e ) e 于是得到 x x y y x y x y d e e d + + − − = ………6 分 5. 解：由凑微分法 x x C x x x x x = + + + + = + d 2 5 e 5 e d(5 e ) d 5 e e ………6 分 6. 解：由分部积分法得 x x x x x sin 2xdx 2 1 sin 2 2 1 cos2 d 2 0 2 0 2 0 = − 2 1 cos 2 4 1 2 0 = = − x ………6 分
Im 5(n+1)21 7.解：因为“点， 5n25 所以收敛率径为5. 6分 Px)=-2 8解：因 0=r+e ,由通解公式得方程的通解为 y=e÷小e+e台+09 -(+x)(f(x+De"dx+C) (x+)2 =(1+x)(C-e) 6分 9解：微分方程对应的特征方程为之+3入+2=0，解得两相异的特征根 元=-1,2=-2.设 y'=Acosx+Bsin x 代入原方程得 -Acosx-Bsin x+3(-Asin x+Bcos x)+2(Acosx+Bsin x)=3sinx 9 3 整理后比较系数得 10,放特解为 y'-3snx- 9 00sx 10 10 …6分 四、应用题（本题12分》 解：设容器的底半径为”，高为h,则其表面积为 S=2r2+2h=2r2+2y S'=4r- 2V r= =3 由S=0,得唯一驻点2,此时Y五， 由实际问题可知，当 4Ψ Y开时用料最省。 2分 五、证明题（本题4分） 证明：对任意术有 4
4 7. 解：因为 5 1 5 5 ( 1) lim lim 1 2 2 1 = + = + → + → n n a a n n n n n n 所以收敛半径为 5. ………6 分 8. 解：因为 x Q x x x P x − = + + = − , ( ) ( 1) e 1 2 ( ) 2 ，由通解公式得方程的通解为 e ( ( 1) e e d ) d 1 2 2 d 1 2 y x x C x x x x x + + = + − + − − − d ) ( 1) 1 (1 ) ( ( 1) e 2 2 2 x C x x x x + + = + + − (1 ) ( e ) 2 x x C − = + − ………6 分 9.解：微分方程对应的特征方程为 3 2 0 2 + + = ，解得两相异的特征根 = −1, = −2 ，设 y = Acos x + Bsin x 代入原方程得 − Acos x − Bsin x + 3(−Asin x + Bcos x) + 2(Acos x + Bsin x) = 3sin x 整理后比较系数得 10 3 , 10 9 A = − B = ，故特解为 y x cos x 10 9 sin 10 3 = − ………6 分 四、应用题（本题 12 分） 解：设容器的底半径为 r ，高为 h ，则其表面积为 r V S r rh r 2 2π 2π 2π 2 2 = + = + 2 2 4π r V S = r − 由 S = 0 ，得唯一驻点 3 2π V r = ，此时 3 π 4V h = ，由实际问题可知，当 3 2π V r = ， 3 π 4V h = 时用料最省. ………12 分 五、证明题（本题 4 分） 证明：对任意 x 有
x 所以函数y=X一arctan.x单调增加，正毕. …4分
5 0 1 1 1 1 2 2 2 + = + = − x x x y (x 0) 所以函数 y = x − arctan x 单调增加，证毕． ………4 分