高等数学(1)09春期末练习题及参考答案 一、填空墨 1,函数 于 +4-x x+2) 的定文域是 答案：(-2，-10U-1,4 x2-2x-3 2,函数 x一3的间断点是 容案13 3若函数八x)在x=0的邻城内有定义，且0)=0，f(0)=l则 im ( +0 容案：1 4.话Jf八xt-2x+e,则f) 容案：-42x 5微分方程y+y=0的通解是 答案：y=C0sx+C:mx 二，单项选择恩 1 1.设函数 )-F-x-2的定义城是（： A.(-,+o） B.（-e-0U(-l+o) C.(-,2U(2,+) D.（-4-0U(-L2)U(2,+) 蓉案：D 2,当x→0时，下列变量中是无穷小量的是(). snx A.x B.x C.e-I
1 高等数学（1）09 春期末练习题及参考答案 一、填空题 ⒈ 函数 2 4 ln( 2) 1 ( ) x x f x + − + = 的定义域是 ． 答案： (−2,−1) (−1,4] ⒉ 函数 3 2 3 2 − − − = x x x y 的间断点是 ． 答案：3 ⒊若函数 f (x) 在 x = 0 的邻域内有定义，且 f (0) = 0, f (0) = 1, 则 = → x f x x ( ) lim 0 ． 答案：1 ⒋若 f (x)dx = sin 2x + c ，则 f (x) = ． 答案： − 4sin 2x ⒌微分方程 y + y = 0 的通解是 ． 答案： y C cos x C sin x = 1 + 2 二、单项选择题 ⒈设函数 2 1 ( ) 2 − − = x x f x 的定义域是（ ）． A． (−,+) B． (−,−1) (−1,+) C． (−,2) (2,+) D． (−,−1) (−1,2) (2,+) 答案：D ⒉当 x →0 时，下列变量中是无穷小量的是（ ）. A． x 1 B． x sin x C．e −1 x D． 2 x x
容案：C 3场数y=x+1在区铜(-5,5)内满是〔) A.单调下降 B.先单调下降再单调上升 C.先单调上升再单调下降 D.单测上升 答案B: 4.若)在x>0时选续且 =1+f地.则-（ A.x B.x' c.rd 蓉案：A 5微分方程y一c“的适解是() Ay=-e”: By=e”: Cy■e+Cx+C,y■-e"+Cx+C 容案：D 三、计算题 x2-3x+2 m 1计算极限x2+x-6 lm 之-3x+2=m-1x-2=1 解答： x2+x-62(x+3x-2)5 m 1-x-1 2,计算极限0sn2x 1-x-1 (1-x-1以1-x+) 1-x-1 望答，5如2x即 。 sn21-x+) ,=n sm2x(1-x+1) -x sn21-x+)4 a设y=丘+hc0sr,求少
2 答案：C ⒊函数 1 2 y = x + 在区间 (−5,5) 内满足（ ） A．单调下降 B．先单调下降再单调上升 C．先单调上升再单调下降 D．单调上升 答案 B： ⒋若 f (x) 在 x 0 时连续且 = + x f t t x f x 1 ( )d 1 ( ) 1 ，则 f (x) = （ ）． A． x 1 B． ( ) 1 f x x C． − x f t t x 1 2 ( )d 1 D． − x f t t x f x x 1 2 ( )d 1 ( ) 1 答案：A ⒌微分方程 x y − = e 的通解是（ ） A. x y − = −e ； B. x y − = e ； C. 1 2 y e C x C x = + + − ； D. 1 2 y e C x C x = − + + − 答案：D 三、计算题 ⒈计算极限 6 3 2 lim 2 2 2 + − − + → x x x x x ． 解答： = + − − − = + − − + → → ( 3)( 2) ( 1)( 2) lim 6 3 2 lim 2 2 2 2 x x x x x x x x x x 5 1 ⒉计算极限 x x x sin 2 1 1 lim 0 − − → ． 解答： sin 2 ( 1 1) 1 1 lim sin 2 ( 1 1) ( 1 1)( 1 1) lim sin 2 1 1 lim 0 0 0 − + − − = − + − − − + = − − → → → x x x x x x x x x x x x 4 1 sin 2 ( 1 1) lim 0 = − − + − = → x x x x ⒊设 y = x x + ln cos x ，求 dy
解答：y=x2+In cos.x y+1 3 x2-tanx 2 (-s功x)= 05x 2 山=店-mt 4设y=0+c0sx+2x)”,求 解答：广=101+c0sx+2x2)y(-s功x+4x) dy=[10(1+cosx+2x)(-sn x+4x)dx 5.设函数y=)由方程到列+e'=x确定，求广 解答：方程两边对x求导数，得 cos(xyXy+）+cy=2x 整理得xc列+e1v-2x-ycos列 2x-ycosxy) 于是 xcos(xy)+e 6设y-(是由方程”一2y=c0sx确定的隐函数，求)， 解答：方程两边对x求微分，得e”-2少=c05x e"(y+x)-2y=-snx e”-2y=-nx-e" y=+地” 于是得到 2y-e” r+时 T计算不定积分 解答： 4.0a-c
3 解答： y x ln cos x 2 3 = + x x x x y x tan 2 3 ( sin ) cos 1 2 3 2 1 2 1 = + − = − y x tan x)dx 2 3 d ( 2 1 = − ⒋设 2 10 y = (1+ cos x + 2x ) ，求 dy . 解答： 10(1 cos 2 ) ( sin 4 ) 2 9 y = + x + x − x + x dy = [ 10(1 cos x 2x ) ( sin x 4x)]dx 2 9 + + − + 5．设函数 y = y(x) 由方程 2 sin( xy) e x y + = 确定，求 y . 解答：方程两边对 x 求导数，得 xy y xy y x y cos( )( + ) + e = 2 整理得 [x cos(xy) e ]y 2x y cos(xy) y + = − 于是 y x xy x y xy y cos( ) e 2 cos( ) + − = ⒍设 y = y(x) 是由方程 e y x xy − 2 = cos 确定的隐函数，求 y . 解答：方程两边对 x 求微分，得 e y x xy − 2 = cos y xy y x xy e ( + ) − 2 = −sin xy xy [xe − 2]y = −sin x − ye 于是得到 xy xy y x x y y 2 e sin − + = e ⒎计算不定积分 x x x d (1 ) 2 + 解答： x x x d (1 ) 2 + = + x + x = + x + C 2 3 (1 ) 3 2 2 (1 ) d(1 )
snn- 8.计算不定积分 x2 sn- 11 解答： ∫d=-可md白=os2+C ∫广xcos 9,计算定积分 解答，xcsx2xn 2" 2x+4c0 2=2x-4 10.计算定积分 xin xdx 解答：由分都积分法得 Nx 1.求冪级数白2m+1的收效半径 im dast lim n+1×2n+-1 解答：因为“0。 “2(n+1)+1n 所以收效半径为1， 了nx 12.求琴级数台2n+了子 的收敛半径 容案：收敛半径为。 了2x+y 13.求冪做数台分+1 的收敛半径 lim dasl im 22n可-2 解答：因为0a。2n+2
4 8．计算不定积分 x x x d 1 sin 2 解答： C x x x x x x = − = + 1 ) cos 1 d( 1 d sin 1 sin 2 9．计算定积分 x x x d 2 cos 0 解答： x x x d 2 cos 0 = 2 0 2 sin x x - x x d 2 2 sin 0 = 2 0 2 4cos x + = 2 − 4 10．计算定积分 e 1 x ln xdx 解答：由分部积分法得 4 1 4 e d 2 1 2 e d(ln ) 2 1 ln 2 ln d 2 1 2 1 1 2 1 = − = − = + e e 2 e e x x x x x x x x x 11．求幂级数 n n x n n =1 2 +1 的收敛半径. 解答：因为 1 2 1 2( 1) 1 1 lim lim 1 = + + + + = → + → n n n n a a n n n n 所以收敛半径为 1. 12．求幂级数 n n x n n =1 2 +1 的收敛半径. 答案：收敛半径为 1。 13．求幂级数 = + + + 0 1 1 2 ( 1) n n n n x 的收敛半径. 解答：因为 2 2 2 2 1 lim lim 1 2 1 = + + = + + → + → n n a a n n n n n n
1 所以收敛半径为2， 14.求微分方程+1+x冲=0满足0)-1的特解 y- hy=ih1+x)+hc 通解为： V1+x,将初始条件0)=1带入通解，得到C=1,于是满足条件的 ys- 特解为： +网 y+上=sx 15.求微分方程x 的通解. P(x)-1.0(x)-sinx 解答：此方程为一阶线性微分方程，且 则方程的通解为 =+c)f+C)=(-xc0++C) 1 16.求微分方程广-9y=3x的通解。 解：原方程对应的齐次方程的特征方程为产-9一0。 特征根为：=出，故齐次方程的通解为 yCe-+Cze 其中G,C是任意常数。 设原方程的一个特解为了=公+金+C,代入原方程得 2A-%Ax2++C)=3x2 3
5 所以收敛半径为 2 1 . 14．求微分方程 d (1 )d 0 2 xy x + + x y = 满足 y(0) = 1 的特解. 解答： x x x y y d 1 d 2 + = − + = − x x x y y d 1 d 2 y ln(1 x ) ln c 2 1 ln 2 = + + 通解为： 2 1 x c y + = ，将初始条件 y(0) = 1 带入通解，得到 c =1 ，于是满足条件的 特解为： 2 1 1 x y + = 15．求微分方程 x x y y + = sin 的通解． 解答：此方程为一阶线性微分方程，且 Q x x x P x , ( ) sin 1 ( ) = = ， 则方程的通解为 ( cos sin ) 1 ( sin d ) 1 e ( sin e d ) d 1 d 1 x x x C x x x x C x y x x C x x x x + = + = − + + = − 16．求微分方程 2 y − 9y = 3x 的通解． 解：原方程对应的齐次方程的特征方程为 9 0 2 − = ， 特征根为 1, 2 = 3 ，故齐次方程的通解为 x x y C C 3 2 3 1 = e + e − 其中 1 2 C , C 是任意常数． 设原方程的一个特解为 y = Ax + Bx +C ~ 2 ，代入原方程得 2 2 2A− 9(Ax + Bx +C) = 3x
-9A=3 B=0 2A-9C=0,解得 3，B=0 C=-2 比较系数得 27 2 y-x2- +Ce+Cze 由此得原方程的通解为： 327 其中C,C2是任意常数。 带名，y=Ce+Ce写 17.求微分方程”+3y+2y=3nx的特解 解答：微分方程对应的特征方程为之+3入+2=0，解得两相异的特征根 =1,=-2.y=Acosx+Bsinx -Acosx-Bsn x+3(-Asin x+Bcosx)+2(Acosx+Bsn x)=3smnx 3 A= 比较系数得 10 B=-9 10 '= 3 9 -sn x- 故特解为 10 10 四、应用题 1.武用围墙围成而积为216平方米的一个矩形的土地，并在正中用一靖墙将其隔成两 块，问这块十地的长和宽遗取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 216 授土地一边长为x,另一边长为x,共用材料为' ￥+2216=3x+432 于是y=3 ”=3432 ◆y'=0得唯一驻点x=12(x=-12舍去) 因为本有题存在最小值，且函数的鞋点唯一，所以，当土地一边长为12，另一边长为 18时，所用材料最省
6 比较系数得 − = = − = 2 9 0 0 9 3 A C B A ，解得 3 1 A = − ， B = 0， 27 2 C = − ． 由此得原方程的通解为： x x y x C C 3 2 3 1 2 e e 27 2 3 1 = − − + + − 其中 1 2 C , C 是任意常数． 答案： x x y C C − = e + e2 3 1 3 1 − x + 17．求微分方程 y + 3y + 2y = 3sin x 的特解. 解答：微分方程对应的特征方程为 3 2 0 2 + + = ，解得两相异的特征根 = −1, = −2 ，设 y = Acos x + Bsin x − Acos x − Bsin x + 3(−Asin x + Bcos x) + 2(Acos x + Bsin x) = 3sin x 比较系数得 10 9 , 10 3 A = B = − 故特解为 y x cos x 10 9 sin 10 3 = − 四、应用题 1．欲用围墙围成面积为 216 平方米的一个矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两 块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 设土地一边长为 x ，另一边长为 x 216 ，共用材料为 y 于是 y =3 x x x x 432 3 216 + 2 = + 2 432 3 x y = − 令 y = 0 得唯一驻点 x =12 （ x = −12 舍去） 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当土地一边长为 12 ，另一边长为 18 时，所用材料最省
答案：当土地一边长为12，另一边长为18时，所用材料最省. 2.武做一个底为正方形，容积为10⑧立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解答：解：设校边的边长为x,高为力，用材料为y,由己知 h=108,h-108 y一x2+4x雨-x2+4x0-x2+32 r'=2x-432 =0 ,解得X■6是难一驻点， "=2+2×432 >0 x 108-3 小= 说明X=6是爵数的极小值点，所以当x=6。 6用料最省。 3.某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高之比为多大 时用料最省？ 解答：设容经的度半径为「，高为占，则其表而积为 S=2m2+2mh=2m2+2业 S'▣4m- 2V r=t r= 由S=0,得唯一驻点V2,由实际何思可知，当Y2时可使用料最省， h= 此时 V,即h2, 因此当容器的底半轻与高之比为1：2时，用料最省。 4.求由找少=上的点，使其到点A(30)的距离最知。 解答：曲线y一上的点到点A30)的距离会式为 d=(x-3+y
7 答案：当土地一边长为 12 ，另一边长为 18 时，所用材料最省. 2．欲做一个底为正方形，容积为 108 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解答：解：设底边的边长为 x ，高为 h ，用材料为 y ，由已知 2 2 108 108, x x h = h = x x x y x x h x x 108 432 4 4 2 2 2 2 = + = + = + 令 0 432 2 2 = − = x y x ，解得 x = 6 是唯一驻点， 且 0 2 432 2 6 3 = + x= x y ， 说明 x = 6 是函数的极小值点，所以当 x = 6， 3 6 108 h = = 用料最省。 3．某制罐厂要生产一种体积为 V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高之比为多大 时用料最省？ 解答：设容器的底半径为 r ，高为 h ，则其表面积为 r V S r rh r 2 2 2 2 2 2 = + = + 2 2 4 r V S = r − 由 S = 0 ，得唯一驻点 3 2 V r = ，由实际问题可知，当 3 2 V r = 时可使用料最省， 此时 3 4 V h = ，即 2 1 = h r ， 因此当容器的底半径与高之比为 1: 2 时，用料最省. 4．求曲线 y x 2 = 上的点，使其到点 A(3, 0) 的距离最短。 解答：曲线 y x 2 = 上的点到点 A(3, 0) 的距离公式为 2 2 d = (x − 3) + y
d与d在料一点取到最大值，为计算方便求d产的最大值点，将y=x代入得 d2=(x-3)2+x 令 Dx)=(x-3)2+x 求导得 D(x)=2(x-3)+1 510 ◆(dy=0得一2。并由此解出 2,即曲线广=x上的点5,7 和点 居-2到点30的师离很短
8 d 与 2 d 在同一点取到最大值，为计算方便求 2 d 的最大值点，将 y x 2 = 代入得 d = x − + x 2 2 ( 3) 令 D x = x − + x 2 ( ) ( 3) 求导得 D(x) = 2(x − 3) +1 令 ( ) 0 2 d = 得 2 5 x = 。并由此解出 2 10 y = ，即曲线 y x 2 = 上的点 ) 2 10 , 2 5 ( 和点 ) 2 10 , 2 5 ( − 到点 A(3, 0) 的距离最短