常徽分方程5秋模拟试题 一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1.方程史。yhy所有常数解悬。 在 2。方程史=csx+csy满足解的存在惟一性定理条件的区域是。 r 3.n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个维线性空阿， (这》 4.方程组 d山 的奇点是。 dy =-x-y-x2-y2 d山 5.若函数组网（小：(x)在区间(，b)上线性相关，则它们的朗斯基行列式W(x)在区间(a,b) 上 二、单项速择题（每小思3分，本题共15分） 6.方程：+2+x=1©0sr的任一解的最大存在区阿都是《)， (A)(0,+)(B)(-e,+)(C)(-,0)(D)(L2) 7,李督希盐条件是保证一阶微分方程初值月避解惟一的《)条件 (A)充分(B》必要(C)充分必要(D)必要非充分 8.方程史=y过点(3-)的解的存在区间是()。 (A)(0+∞)(B》(-0,3)(C》(2,+∞)(D》[2,+0) 9。方程菜+3x=0的任一非零解在化黑，)空间中(). (A)不能与：轴相交(B)可以与：轴相交 (C)可以与1轴横解相交(D)可以与t拍相切 10.用待定系数法求方程y+y=2sx的非齐次特解，时，应将特解另设为(). (A)片=Asmx(B)男=Asnx+Bcsx (C)月=Bcosx(D》=Asnx+Bcos动 三、计算题（每小题6分，本恩共3动分） 求下列方程的通解或通积分： 1l. 业=2-2 dx x
1 常微分方程 05 秋模拟试题 一、填空题（每小题 3 分，本题共 15 分） 1．方程 y y x y ln d d = 所有常数解是． 2．方程 x y x y cos cos d d = + 满足解的存在惟一性定理条件的区域是． 3．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个维线性空间． 4．方程组 = − − − − = 2 2 d d d d x y x y t y y t x 的奇点是． 5．若函数组 ( ) ( ) 1 2 x ， x 在区间 (a, b) 上线性相关，则它们的朗斯基行列式 W(x) 在区间 (a, b) 上． 二、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分） 6．方程 x + 2x + x = t cost 的任一解的最大存在区间都是（）． （A） (0, + ) （B） (−, + ) （C） (−, 0) （D） (1, 2) 7.李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件． （A）充分（B）必要（C）充分必要（D）必要非充分 8．方程 2 d d y x y = 过点 (3, −1) 的解的存在区间是（）． （A） (0, + ) （B） (−, 3) （C） (2, + ) （D） [2, + ) 9．方程 x + 3x = 0 的任一非零解在 (t, x, x ) 空间中（）． （A）不能与 t 轴相交（B）可以与 t 轴相交 （C）可以与 t 轴横解相交（D）可以与 t 轴相切 10．用待定系数法求方程 y + y = 2sin x 的非齐次特解 1 y 时，应将特解 1 y 设为（）． （A） y Asin x 1 = （B） y Asin x Bcos x 1 = + （C） y B cos x 1 = （D） ( sin cos ) 1 y = x A x + B x 三、计算题（每小题６分，本题共 30 分） 求下列方程的通解或通积分： 11. 2 2 2 d d x xy y x y − =
12少=22+2x dx x 13.x2(e2+3y2+2x3dy=0 4=0n-w+ 15.2w°=U 四、计算题（每小题10分，本题共20分） 16.求方程y°+4y=s功2x的通解 17。求下列方程组的通解 d =-3红+y dr 妙 ■8x-y d 五、证明题（每小题10分，本愿共20分》 18。设气)为区间(-鱼，+)上的有界续函数。证明：方程 +y=f国 r 在区间(-，+四)上存在一个有界解。 19。设在方程组 =A0)X d 中，三a,0灿=，其中a)是系数矩阵40)对角线上的元素。40)在o+)上连 线，求证该方程组至少有一个解在®，+∞)上无界， 常徽分方程5秋模报试题 参考解容 一、填空题（每小题3分，木题共15分） 1.y=0,y=1 2.全平面 3.n 4.0,0),(-l,0) 5.恒等于零 二，单项选择愿（每小题3分，本题共15分） 6.B7.A8.C9.A10,D
2 12. 3 2 2 d d x x y x y = + 13. (e 3 )d 2 d 0 2 2 3 x + y x + x y y = x 14． 2 2 2 1 y = (y ) − xy + x 15． 2 2yy = (y ) 四、计算题（每小题 10 分，本题共 20 分） 16．求方程 y + 4y = sin 2x 的通解． 17．求下列方程组的通解． = − = − + x y t y x y t x 8 d d 3 d d 五、证明题（每小题 10 分，本题共 20 分） 18．设 f (x) 为区间 (−, + ) 上的有界连续函数．证明：方程 ( ) d d y f x x y + = 在区间 (−, + ) 上存在一个有界解． 19．设在方程组 A X X ( ) d d t t = 中， + = = + 0 1 ( )d t n i ii a t t ，其中 a (t) ii 是系数矩阵 A(t) 对角线上的元素， A(t) 在 [ , ) t 0 + 上连 续．求证该方程组至少有一个解在 [ , ) t 0 + 上无界． 常微分方程 05 秋模拟试题 参考解答 一、填空题（每小题 3 分，本题共 15 分） 1． y = 0， y =1 2．全平面 3．n 4． (0, 0) ， (−1, 0) 5．恒等于零 二、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分） 6．B7．A8．C9．A10．D
三、计算题（每小题6分，本题共30分） 11.解方程可改写为 业=22- dx xx 令w=二，则y=r+w,代入得 de =2- 程+x r 或x恤-w-r 分离变量。得 n -1" 积分，得 n"nol w-可 破w= Gx-1 原方程的通积分为y= Cr2 Cr-1 12.解先求齐次方程 业=2以 女友 的通解 y=Cx2 设原方程的通解为 y=C(x 代入原方程，得C(x)=x2+C 所以，原方程的通解为 y=x2(x2+C) 13.解Mx=x2(e+3y2),N(x.=2xy aM=6x'y= av 因此，原方程是全微分方程， 取(x0,,)=(0,0),原方程的通积分为
3 三、计算题（每小题６分，本题共 30 分） 11．解方程可改写为 2 2 ( ) d d x y x y x y = − 令 x y u = ，则 y = u + xu ，代入得 2 2 d d u u x u u + x = − 或 2 d d u u x u x = − 分离变量，得 x x y u u d 1 )d 1 1 1 ( = − − 积分，得 Cx u u ln 1 ln = − 或 −1 = Cx Cx u 原方程的通积分为 1 2 − = Cx Cx y 12．解先求齐次方程 x y x y 2 d d = 的通解 2 y = Cx 设原方程的通解为 2 y = C(x)x 代入原方程，得 C x = x + C 2 ( ) 所以，原方程的通解为 ( ) 2 2 y = x x + C 13．解 ( , ) (e 3 ) 2 2 M x y x y x = + ， N x y x y 3 ( , ) = 2 x N x y y M = = 2 6 因此，原方程是全微分方程． 取 ( , ) (0, 0) x0 y0 = ，原方程的通积分为
J(x'e'+3xy'ydr=C 或6e山+xyd=C 即(x2-2x+2k'+x3y2=C 14.解令x=xy=P,则，原方程的参数形式为 X■x y=p =p-p* 由d=yd,有 (-p+x恤+2p-xp=d 整理得(2p-x空-l)=0 dr 由史-1=0，解得p=x+C,代入参数形式的第三式，得原方程通解为 dr "2+a+c 15.解这是Fy,y=0形式方程 令y=p,y”= 空代入方程，得 2p业=p2 即坐少 p 2y 积分，得P=C厅 史-c5 dv 分离变量，积分得原方程的通积分为 y=Cx+C)月 四、计算题（每小题10分，本愿共20分》 16。解对应齐次方程的特征方程是 22+4=0 特征根为入之=2，齐次方程的通解为 y=C 00s2x+C:sn 2x 4
4 x x y x C x x + = 0 2 2 2 ( e 3 )d 或 x x x y x C x x x + = 0 2 2 0 2 e d 3 d 即 x x x y C x − + + = 2 3 2 ( 2 2)e 14．解令 x = x y = p ，则，原方程的参数形式为 = − + = = 2 2 2 1 y p xp x y p x x 由 dy = y dx ，有 (−p + x)dx + (2p − x)dp = pdx 整理得 1) 0 d d (2 − )( − = x p p x 由 1 0 d d − = x p ，解得 p = x + C ，代入参数形式的第三式，得原方程通解为 2 2 2 1 y = x + Cx + C 15．解这是 F( y, y , y ) = 0 形式方程． 令 y = p ， y p y p d d = 代入方程，得 2 d d 2 p y p yp = 即 y y p p 2 d d = 积分，得 p = C y 即 C y x y = d d 分离变量，积分得原方程的通积分为 2 1 y = (Cx + C ) 四、计算题（每小题 10 分，本题共 20 分） 16．解对应齐次方程的特征方程是 4 0 2 + = 特征根为 2i 1, 2 = ，齐次方程的通解为 y C cos2x C sin 2x = 1 + 2
因为《土B一±21是一重特任根.故非齐次方程有形如 y(x)=x(Acos2x+Bsn 2x) 的特解，代入即方程，得A=-,B=0 4 故服方程的通解为y-Gcos2r+Gm2r-营c0s2a 17。解特任方程为 上3-A 1 -1- =(2-10元+5)=0 特狂根为高=1。石=-5 名=1对应特征向量为 高2=-5对应的特任狗量为 所以，原方程组的通解为 五、证明题（每小题10分。木题共20分） 18。正明先求出原方程的通解表达式为 y=e'[c+ff(ne'dr] 再取C-∫fe'山，此广义积分由)在区间(-西，+∞)上连线有界而保证收敛。下面往证 取此常数的解在(-，+)上有界。 不觞设/xsM,xe(-,+).取C=」已fe'山的解为 M(x)=ef(e'd 于是(xseMe=e'AMe'-o 即bx训sM,xe(-0+) 19。证明（反证法）假设该方程组的一切解都在。，+∞)上有界，那么。该方程组的一个基本解 矩降的朗撕基行列式(x)应在化。，+)上有界， 另一方面，由刘唯尔公式，该朗所基行列式严(x)满是 wm=rw2a.0恤
5 因为 i = 2i 是一重特征根．故非齐次方程有形如 ( ) ( cos 2 sin 2 ) 1 y x = x A x + B x 的特解，代入原方程，得 4 1 A = − ， B = 0 故原方程的通解为 x x y C x C x cos 2 4 = 1 cos 2 + 2 sin 2 − 17．解特征方程为 ( 1)( 5) 0 8 1 3 1 = − + = − − − − − = A E 特征根为 1 =1， 2 = −5 1 =1 对应特征向量为 4 1 2 = −5 对应的特征向量为 − 2 1 所以，原方程组的通解为 − + = − 2 1 e 4 1 e 5 1 2 t t C C y x 五、证明题（每小题 10 分，本题共 20 分） 18．证明先求出原方程的通解表达式为 e [ ( )e d ] 0 = + − x x t y C f t t 再取 − = 0 C f (t)e dt t ，此广义积分由 f (t) 在区间 (−, + ) 上连续有界而保证收敛．下面往证 取此常数的解在 (−, + ) 上有界． 不妨设 f (x) M ， x(−, + ) ．取 − = 0 C f (t)e dt t 的解为 − − = x x t y(x) e f (t)e dt 于是 ( ) e e = e (e − 0) − − − x x x x t y x M M 即 y(x) M ， x(−, + ) ． 19．证明（反证法）假设该方程组的一切解都在 [ , ) t 0 + 上有界，那么，该方程组的一个基本解 矩阵的朗斯基行列式 W(x) 应在 [ , ) t 0 + 上有界． 另一方面，由刘维尔公式，该朗斯基行列式 W(x) 满足 = = t t n i ii W t W t a t t 0 ( ) ( )exp ( )d 1 0
这与心三0，地=切矛盾，所以。技方程组至少有一个解在树)上无那
6 这与 + = = + 0 ( )d 1 t n i ii a t t 矛盾，所以，该方程组至少有一个解在 [ , ) t 0 + 上无界．