常微分方程横拟试短(06春) 一、填空避（每小盟3分，本圈共15分） 之.方程中-ys2+)的征一非罗解与x轴相交。 3.方程y+y+xy=0的所有解构成一个维线性空间。 4,方程+c0=0的所有常数解是。 5五a久装足 二、单项选择题《每小圈3分，本圈共15分) =3x+2+e 的任一解的图像是化，出，)空间中的() (A)一个曲面(B)两个曲面(C)一条画线(D)两条曲线 7.方程些--寸+2x在x0y平面上(0. (A)有奇解y=0(B)有奇解y=x(C)有奇解y=2x(D)无奇 方24 的奇点0.0)的类型是〔)， =3x+4 〔A)稳定焦点〔(B)不稳定焦点(C)不稳定结点(D)点 9.方程云+2x=0的任一非零解在（亿，x)平面上的t轴的任一有限区间内(）】 (A)只能有有限个零点(B)有无限个岁点(C)无零点(D)为常值函数 10。常做分方程的一个不可延展解的存在区间一定是(。 (A)闭区间(B)开区间 三，计算题〔每小题6分，本题共30分》 求下列方程的通解或亚积分： 12.+ytanx=secx 13.(x-y+10-(x+y2+3=0
1 常微分方程模拟试题（06 春） 一、填空题（每小题 3 分，本题共 15 分） 1．方程 2 2 1 (1 ) d d x y y y x y + + − = 满足解的存在惟一性定理条件的区域是． 2．方程 sin( ) d d 2 2 y x y x y = + 的任一非零解与 x 轴相交． 3．方程 0 2 y + xy + x y = 的所有解构成一个维线性空间． 4．方程 sin ydx + cos xdy = 0 的所有常数解是． 5．函数组 = = y x y x cos sin 2 1 的朗斯基行列式 W(x) 是． 二、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分） 6．方程组 = + + = + + t x y t y x y t t x 3 2 e d d sin d d 的任一解的图像是 (t, x, y) 空间中的（）． （A）一个曲面（B）两个曲面（C）一条曲线（D）两条曲线 7.方程 x y x x y 2 d d = − + 在 xoy 平面上（）． （A）有奇解 y = 0 （B）有奇解 y = x （C）有奇解 y = 2x （D）无奇解 8．方程组 = + = + x y t y x y t x 3 4 d d 2 d d 的奇点 (0, 0) 的类型是（）． （A）稳定焦点（B）不稳定焦点（C）不稳定结点（D）鞍点 9．方程 x + 2x = 0 的任一非零解在 (t, x) 平面上的 t 轴的任一有限区间内（）． （A）只能有有限个零点（B）有无限个零点（C）无零点（D）为常值函数 10．常微分方程的一个不可延展解的存在区间一定是（）． （A）闭区间（B）开区间（C） (−, + ) （D） (0, + ) 三、计算题（每小题６分，本题共 30 分） 求下列方程的通解或通积分： 11. y x y x x y e e d d + − = − 12. y x x x y tan sec d d + = 13. ( 1)d ( 3)d 0 2 x − y + x − x + y + y =
14.(x2-1y2+x2=0 15.”+y'=4x 四、计算题（每小题10分。本题共20分》 16。求方程y°+y=2sc3x的通解。 17。求下列方程组的通解 dx=5x+4y y ■4r+5y dt 五、正明题（每小题10分。本题共20分） 18.设川x)是方程 d+P d +xy=0 的非零解。其中风9)在(0+四)上连线。求证：当)=0时，必有 d *0 19.设fy)在(-0，+四)上连续可微，求证：对任意的∈(-。，+o),y<1,方程 =0y2-/ d山 满足初值条件川)=%的解必在（一e,+∞）上存在。 常徽分方程模教试题参考解答 一，填空题（每小题3分，本题共15分》 1.全平面 2.不能 3.2 4.y=k标，x=g+kx,k=0士1士2 5.W(x)= sinx COSx osx -snx 二、单项选释题（每小题3分，本题共15分） 6.C7.D8.C9.A10.B 三、计算题（每小题6分，本题共30分） 1l,解分离变量，得(y+e=(x=e" 积分得+e=+e+G 2
2 14． ( 1)( ) 0 2 2 2 x − y + x = 15． xy + y = 4x 四、计算题（每小题 10 分，本题共 20 分） 16．求方程 y y x 3 + = 2sec 的通解． 17．求下列方程组的通解． = + = + x y t y x y t x 4 5 d d 5 4 d d 五、证明题（每小题 10 分，本题共 20 分） 18．设 y(x) 是方程 ( ) 0 d d ( ) d d 2 2 + + q x y = x y P x x y 的非零解，其中 p(x), q(x) 在 (−, + ) 上连续．求证：当 y(x0 ) = 0 时，必有 0 d d 0 x=x x y ． 19．设 f ( y) 在 (−, + ) 上连续可微，求证：对任意的 ( , ) x0 − + ， y0 1 ，方程 ( 1) ( ) d d 2 y f y x y = − 满足初值条件 0 0 y(x ) = y 的解必在 (−, + ) 上存在． 常微分方程模拟试题参考解答 一、填空题（每小题 3 分，本题共 15 分） 1．全平面 2．不能 3．2 4． , 0, 1, 2, 2 y = k , x = + k k = 5． x x x x W x cos sin sin cos ( ) − = 二、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分） 6．C7．D8．C9．A10．B 三、计算题（每小题６分，本题共 30 分） 11．解分离变量，得 y y x x y x ( e )d ( e )d − + = − 积分得 1 2 2 e 2 1 e 2 1 y x C y x + = + + −
通积分为y2-x2+2(e-e")=C 12.解先求线性齐次方程中+yanx=0 的通解为y=Cc0sx 令原方程的特解为y=Cx)cosx 代入原方程，求得C(x)=anx+C 原方程的通解为y=snx+Ccox 13.解x,列=x-y+1，N(黑，y)=(x+y3+3引 OM=-1-aN 立 因此，单方程是全微分方程，取(x。,片%)=(0,0)，眼方程的通积分为 x-y+t-2+=C 2 +x- 2 -3y=C 3 x=C051 14.解令x=Csf,则原方程的参数形式为 y'=±coti 由中=y山，得dy=土coti:《-sn灿=军cos山 积分得y=干sn1+C x=cost 原方程参数形式通解 Ly=干sn1+C 清去参数。得x2+y-C)2=1 15.解令广，y代入方程，得x 片+：=4x 即(ex)了=4x 积分，得T=2x2+C 即：=2x+C 于是业-2x+9 dx 原方程的通解为y■x2+Cn+C 四、计算题（每小题10分，本题共20分） 16.解先求出齐次方程的通解为y=Cc0sx+Csnr 令非齐次方程的特解为(x)=C,(x)csx+C,(x)smx
3 通积分为 y x C y x − + − = − 2(e e ) 2 2 12．解先求线性齐次方程 tan 0 d d + y x = x y 的通解为 y =Ccos x 令原方程的特解为 y = C(x) cos x 代入原方程，求得 C(x) = tan x + C 原方程的通解为 y = sin x + Ccos x 13．解 M(x, y) = x − y +1， ( , ) ( 3) 2 N x y = − x + y + x N y M = − = 1 因此，原方程是全微分方程．取 ( , ) (0, 0) x0 y0 = ，原方程的通积分为 x y x y y C x y − + − + = 0 2 0 ( 1)d ( 3)d 即 y C y xy x x − + − − 3 = 2 3 2 3 14．解令 x = cost ，则原方程的参数形式为 = = y t x t cot cos 由 dy = y dx ，得 dy = cott (−sin t)dt = costdt 积分得 y = sin t + C 原方程参数形式通解 = + = y t C x t sin cos 消去参数，得 ( ) 1 2 2 x + y −C = 15．解令 y = z, y = z 代入方程，得 z x x z x 4 d d + = 即 (zx) = 4x 积分，得 zx = x + C 2 2 即 x C z = 2x + 于是 x C x x y = 2 + d d 原方程的通解为 1 2 y = x + C ln x + C 四、计算题（每小题 10 分，本题共 20 分） 16．解先求出齐次方程的通解为 y C cos x C sinx = 1 + 2 令非齐次方程的特解为 y (x) C (x) cos x C (x)sin x 1 = 1 + 2
C,(xC,(x)满足方程组 C.(xosx+C:(x)rinx -0 -C (x)sinx+C:(x)cor=2sec'x 解出C1(x)=-2 sin xsec'x,C)=-se2x C (x)=2sec'x.C2 (x)=2tanx 原方程的通解为y=Cco+Cmr-cas2工 COS.X 17。解特狂方程为 4- =(5-2)2-16=0 即2-10就+9=(-1M2-9到=0 特征根为名=1。=9 对腔4特短有日起日母 智得人=财应龄特正有是为 同理可求出方=9对应特征向量为 程给道特月-cc日 五、正明题（每小题10分，本题共20分） 18。证明由已知条件如方程存在零解. 该方程滴足解的存在惟一性定理条件 设川x)是方程的一个非零解，假如它满是 %)=0, dy =0, 由于零解也满是上述条件，以及方程有零解存在，那么由解的惟一性有)=0，这与x)是 非零解子盾. 19。正明该方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理， 又y=士1是该方程的两个常数解 现取。∈(-0，+0小，少。<1，记过点(。%)的解为川)，一方面该解可向平面的无穷远无限 延展，另一方面又不能上下穿越y=士1，否则将破坏解的惟一性。因此，该解只能在区域
4 ( ), ( ) 1 2 C x C x 满足方程组 = + − = + C x s x C x c x x C x x C x s x 3 1 2 1 2 ( ) in ( ) os 2sec ( )cos ( ) in 0 解出 C x x x 3 1 ( ) = −2sin sec ，C x 2 1 (t) = −sec C x x 2 2 ( ) = 2sec ，C (x) 2 tan x 2 = 原方程的通解为 x x y C x C x cos cos 2 = 1 cos + 2 sin − 17．解特征方程为 − − − = 4 5 5 4 A E = (5 ) 16 0 2 − − = 即 10 9 ( 1)( 9) 0 2 − + = − − = 特征根为 1 =1， 2 = 9 对应 1 =1 特征向量 b a 满足 = 0 0 4 4 4 4 b a 解得 1 =1 对应的特征向量为 −1 1 ． 同理可求出 2 = 9 对应特征向量为 1 1 ． 故原方程组的通解为 + − = 1 1 e 1 1 e 9 1 2 t t C C y x 五、证明题（每小题 10 分，本题共 20 分） 18．证明由已知条件知方程存在零解． 该方程满足解的存在惟一性定理条件． 设 y(x) 是方程的一个非零解，假如它满足 y(x0 ) = 0， 0 d d 0 = x=x x y ， 由于零解也满足上述条件，以及方程有零解存在，那么由解的惟一性有 y(x) 0 ，这与 y(x) 是 非零解矛盾． 19．证明该方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理． 又 y = 1 是该方程的两个常数解． 现取 ( , ) x0 − + ， y0 1 ，记过点 ( , ) 0 0 x y 的解为 y(x) ．一方面该解可向平面的无穷远无限 延展，另一方面又不能上下穿越 y = 1 ，否则将破坏解的惟一性．因此，该解只能在区域
G=(化，<Lx(-,+内沿x轴两侧无限延展，显然其定义区同必是(-m,+
5 G ={(x, y) y 1, x(−, + )} 内沿 x 轴两侧无限延展，显然其定义区间必是 (−, + )