常徽分方程的春模报试愿 一、填空题〔每小题3分，本圆共15分) 1初情问圈 坐-了化，》的解所清是的积分方程是 dx x)=% 2。方程史=x产+©sy满足解的存在惟一性定理条件的区域是， 梦 3.化，)有界是保正方程=x,川初值解推一的条件. dx 4.二阶方程y”+y+x2y=0的等价方程组是， 5.向量函数组在区间1上的阴斯华行列式W(x)=0是它们线性相关的条件. 二、单项达择圈（每小题3分，本圈共15分） 6.方程血=产c0sy的所有常数解是(. y-0a=号 (C)y=证D)y=+k标，k=0±l士2 7.方程业=下过点0.0)的积分曲找(. dx (A)有惟一一条(B》有无穷多条 (C)只有二条D)不存在 8.方程y'+xy'+y=xe的任一解的最大存在区间一定是(). (A)(-,0)(B》(-9,+o) (C)0.+)(D)[1.+o) 9.若②(x),g(x)是二阶线性齐岗微分方程的两个线性无关解，则它们()共问零点. (A)在x=-1处可以有(B)在X=0处可以有 (C》不能有(D)在x=I处可以有 山 一y 10.方程组山 的奇点0，D)的类型是(). dr=x
常微分方程 09 春模拟试题 一、填空题（每小题 3 分，本题共 15 分） 1．初值问题 0 0 d ( , ) d ( ) y f x y x y x y = = 的解所满足的积分方程是． 2．方程 x y x y cos d d 2 = + 满足解的存在惟一性定理条件的区域是． 3． ( , ) y f x y 有界是保证方程 d ( , ) d y f x y x = 初值解惟一的条件． 4．二阶方程 0 2 y + xy + x y = 的等价方程组是． 5．向量函数组在区间 I 上的朗斯基行列式 W x( ) 0 = 是它们线性相关的条件． 二、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分） 6．方程 x y x y cos d d 2 = 的所有常数解是（）． （A） y = 0 （B） 2 y = （C） 2 3 y = （D） , 0, 1, 2, 2 y = + k k = 7．方程 d d y y x = 过点 (0,0) 的积分曲线（）． （A）有惟一一条（B）有无穷多条 （C）只有二条（D）不存在 8．方程 2 2e x y x y xy x + + = 的任一解的最大存在区间一定是（）． （A） ( ,0) − （B） ( , ) − + （C） [0, ) + （D） [1, ) + 9．若 1 2 ( ), ( ) x x 是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，则它们（）共同零点． （A）在 x = −1 处可以有（B）在 x = 0 处可以有 （C）不能有（D）在 x =1 处可以有 10．方程组 = = − x t y y t x d d d d 的奇点 (0, 0) 的类型是（）．
(A)中心(B)焦点 (C)散点(D)结点 三、计算愿〔每小题8分，本圆共40分) 求下列方程的通解或还积分： 11.yx+sinx dx e 12业+2=x dx x 1.e-卓+=0 14.y=0+y2 15.y+y2+1-0 四、计算避（本卷共15分） 16.求下列方程组的西解. dx d =x+y dy d =4x+y 五、证明避（本卷共15分） 17,试证明：对任意及满足条件0<%<1的y,:方程 d业。y-D dx 1+x+y 的满足条作川x)■的解y■风x)在(-0，+o)上存任。 常澈分方程09春棋拟试题卷考解答 一、填空题（每小卷3分，本逸共15分》 1.y=%+f灿（或y=+)2.全平面 y=Y 3.充分4. 5.必要 片=--x2y 二、单项选择物（每小题3分，本恩共15分） 6.D7.B8.B9.C10.A
（A）中心（B）焦点 （C）鞍点（D）结点 三、计算题（每小题 8 分，本题共 40 分） 求下列方程的通解或通积分： 11. d sin d ey y x x x + = 12. 2 d d x x y x y + = 13． 2 1 (e )d d 0 x y x y x x − + = 14. 2 y xy y = + 15． ( ) 1 0 2 y + y + = 四、计算题（本题共 15 分） 16．求下列方程组的通解． d d d 4 d x x y t y x y t = + = + 五、证明题（本题共 15 分） 17．试证明：对任意 0 x 及满足条件 0 y0 1 的 0 y ，方程 2 2 1 ( 1) d d x y y y x y + + − = 的满足条件 0 0 y(x ) = y 的解 y = y(x) 在 (−, + ) 上存在． 常微分方程 09 春模拟试题参考解答 一、填空题（每小题 3 分，本题共 15 分） 1． = + x x y y f s y s s 0 0 ( , ( ))d （或 0 0 ( , )d x x y y f s y s = + ）2．全平面 3．充分 4． = − − = y xy x y y y 2 1 1 1 5．必要 二、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分） 6．D7．B8．B9．C10．A
三、计算题〔每小题B分，木题共0分) 11.解分离变量积分，得 ∫e=∫(x+sinxkx+C -cosx+C 12。解齐次力程的酒解为y=二 设原方程的通解为y=C田 x 代入原方程，得C)=手+C 1 所以，原方程的通解为y=二(C+ 13.解M--1_aw dy x dx 原方程是全徽分方程。取(，，%)=（山，0），原方程的通积分为 e-吉d+dy=c 即c'+上=C 14,解克莱洛方程，酒解为y=x+C2 15.解令y■5，y='代入方程，得 =儿+) dx 分离变量，积分 I点j+c :=tan(-x+C) 于是 =tan(-x+C) dx 积分，得晒解为 y=hcos(-x+C)+C 四、计算恩〔本愿共15分》 16.解特红方程为
三、计算题（每小题 8 分，本题共 40 分） 11．解分离变量积分，得 e d ( sin )d y y x x x C = + + 1 2 e cos 2 y = − + x x C 12．解齐次方程的通解为 x C y = ． 设原方程的通解为 x C x y ( ) = 代入原方程，得 C x C x = + 4 ( ) 4 所以，原方程的通解为 ) 4 1 ( 1 4 C x x y = + ． 13．解 2 M N 1 y x x = − = 原方程是全微分方程．取 0 0 ( , ) (1,0) x y = ，原方程的通积分为 2 1 0 (e )d d x y x y x y C x − + = 即 e x y C x + = 14．解克莱洛方程，通解为 2 y Cx C = + ． 15．解令 y = z, y = z 代入方程，得 (1 ) d d 2 z x z = − + 分离变量，积分 x C z z = − + + d 1 d 2 z = tan(−x + C) 于是 tan( ) d d x C x y = − + 积分，得通解为 1 y = ln cos(−x + C) + C 四、计算题（本题共 15 分） 16．解特征方程为
14-=2--3+=0 特征根入=3，之2=-1 入=3对应的特征向量为 2 入=一]对应的特征向量为 -2 ,方组的通第为 五、证明题〔本愿共15分》 n.证明由于玉，月十x+习 Wy-1) ,x,功=2y-1+r+y)-0-2 0+x2+y2) 在全平面上连续，所以原方程在全平面上满足解的存在性一性定理及解的延展定理条 作。 又显然y=0,y=1是方程的两个特解 现任取x。∈(-0，+∞)，J片%e(0,),记y=州x)为过(x,。)的解，那么这个解可 以憔一地向平面的边界无限延展，又上不能守越y-1,下不能守越y=0,因此它的有在 区间必为(-，+)
1 1 | | ( 3)( 1) 0 4 1 A E − − = = − + = − 特征根 1 2 = = − 3, 1 1 = 3 对应的特征向量为 1 2 2 = −1 对应的特征向量为 1 2 − 原方程组的通解为 3 1 2 3 e e 2e 2e t t t t x C C y − − = + − 五、证明题（本题共 15 分） 17．证明由于 2 2 1 ( 1) ( , ) x y y y f x y + + − = 2 2 2 2 2 (1 ) (2 1)(1 ) ( 1)2 ( , ) x y y x y y y y f x y y + + − + + − − = 在全平面上连续，所以原方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理条 件． 又显然 y = 0, y = 1 是方程的两个特解． 现任取 ( , ) x0 − + ， (0, 1) y0 ，记 y = y(x) 为过 ( , ) 0 0 x y 的解，那么这个解可 以惟一地向平面的边界无限延展，又上不能穿越 y = 1 ，下不能穿越 y = 0 ，因此它的存在 区间必为 (−, + ) ．