三角形的外接圆在实际中很有用,但还 今有用它不能解决的问题如 如图是一块三角形木料,木工师傅要 从中裁下一块圆形用料,怎样才能使裁下 的圆的面积尽可能大呢? C C
如图是一块三角形木料，木工师傅要 从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下 的圆的面积尽可能大呢？ A B C A B C 三角形的外接圆在实际中很有用,但还 有用它不能解决的问题.如
今例1作圆,使它和已知三角形的各边都相切 已知:△ABC(如图) 求作:和△ABC的各边都相切的圆 作法:1.作∠ABC、∠ACB的平分线BM和CN,交点为L 2.过点I作ID⊥BC,垂足为D 3.以Ⅰ为圆心,ID为半径作⊙L ⊙I就是所求的圆
A B C M 已知： △ABC（如图） 求作：和△ABC的各边都相切的圆 作法：1. 作∠ABC、 ∠ACB的平分线BM和CN，交点为I. N I D 例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切 2. 过点I作ID⊥BC，垂足为D. 3. 以I为圆心，ID为半径作⊙I. ⊙I就是所求的圆
工如图1,△ABC是⊙O的内接三角形 ⊙o是△ABC的外接圆, 点O叫△ABC的外心, C 它是三角形三边中垂线的交点。 图1 2如图2,△DEF是⊙的_外切三角形 ⊙l是△DEF的内切圆, 点是△DEF的内心, F 它是三角形三个角平分线的交点。 图2 3.如上图,四边形DEFG是⊙O的外切四 G 边形,⊙O是四边形DEFG的内切圆 E
1.如图1，△ABC是⊙O的 三角形。 ⊙ O是△ABC的 圆， 点O叫△ABC的 ， 它是三角形 的交点。 外接 内接 外心 三边中垂线 2.如图2，△DEF是⊙I的 三角形， ⊙I是△DEF的 圆， 点I是 △DEF的 心， 它是三角形 的交点。 A B C ．O 图1 I D E F ． 图2 外切 内切 内 三个角平分线 D E F G .O 3. 如上图，四边形DEFG是⊙O的 四 边形，⊙O是四边形DEFG的 内切 圆. 外切
A 三角形内心的性质: C 1.三角形的内心到三角形各边的距离相等; 2.三角形的内心在三角形的角平分线上 角形外心的性质 1.三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等; 2.三角形的外心在三角形三边的垂直平分线上;
三角形内心的性质： 1. 三角形的内心到三角形各边的距离相等； 2. 三角形的内心在三角形的角平分线上； 1. 三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等； 2. 三角形的外心在三角形三边的垂直平分线上； 三角形外心的性质： D E F ．O C A B I．
例2如图,在△ABC中,点O是内心,(1)若A ∠ABC=50°,∠ACB=70°,求∠BOC的度数 解 (1)“点O是△ABC的内心, ∠1=∠2=2∠ABC ×50 B C 向理∠3=∠4=∠ACB=1×70°=35 2 2 ∴∠BOC=180°-(∠1+∠3) =180°-(25°+35°) =120° (2)若∠A=80°,则∠B0C=130度。 (3)若∠BOC=100°,则∠A=20度
（2）若∠A=80 °，则∠BOC = 度。 （3）若∠BOC=100 °，则∠A = 度。 解: 130 20 （1）∵点O是△ABC的内心， ∴ ∠BOC=180 °－(∠1＋∠3) = 180 °－(25°＋35 °) 例2 如图，在△ABC中，点O是内心， （1）若 ∠ABC=50°， ∠ACB=70°，求∠BOC的度数 A B C O =120 ° )1 3( 2 4 同理 ∠3= ∠4= ∠ACB= 70° =35 ° 2 1 2 1 ∴ ∠1= ∠2= ∠ABC= 50° = 25° 2 1 2 1
A (4)试探索:∠A与∠BOC之间存 在怎样的数量关系?请说明理由。 答:∠BOC=90°+∠A 理由:∵点O是△ABC的内心, B C ∠1=-∠ABC,∠3=∠ACB 2 ∠1+∠3=(∠ABC+∠ACB) 2 (180 ∠A) 2 90 ∠A 在△OBC中, ∠BOC=180°-(∠1+∠3) 180 (90° ∠A) 2 =90°+∠A
理由： ∵点O是△ABC的内心， ∴ ∠1＋ ∠3 = （∠ABC+ ∠ACB） 2 1 ∴ ∠1= ∠ABC， ∠3= ∠ACB 2 1 2 1 = 180 °－（ 90 ° － ∠A ） 2 1 = （180 ° － ∠A ） 2 1 = 90 °+ ∠A 2 1 = 90 ° － ∠A 2 1 答： ∠BOC =90 ° + ∠A 2 1 （4）试探索： ∠A与∠BOC之间存 在怎样的数量关系？请说明理由。 A B C O )1 3( 2 4 在△OBC中， ∠BOC =180 °－（ ∠1＋ ∠3 ）
例3、如图,一个木模的上部是圆柱,下部 是底面为等边三角形的直棱柱.圆柱的下底 面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切 圆.已知直三棱柱的底面等边三角形边长为 3cm,求圆柱底面的半径
C A B O D 例3、如图，一个木模的上部是圆柱，下部 是底面为等边三角形的直棱柱．圆柱的下底 面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切 圆．已知直三棱柱的底面等边三角形边长为 ３cm，求圆柱底面的半径
探讨2: 设△ABC的内切圆的半径为r,△ABC的各边长 之和为L,△ABC的面积S我们会有什么结论? D 三角形面积S=,rL F (L为三角形周 Q中 长,r为内切圆B 半径) E
探讨2： 设△ABC 的内切圆的半径为r，△ABC 的各边长 之和为L，△ABC 的面积S,我们会有什么结论? C O B A • D E 三角形面积 F （L为三角形周 长，r为内切圆 半径） S rL 2 1 = r
探讨3: 设△ABC是直角三角形,∠C=90°,它 的内切圆的半径为r,△ABC的各边长分别 为a、b、c,试探讨r与a、b、c的关系 C 结论: r=a+b- O 2 A B E
O A B • 探讨3： 设△ABC是直角三角形，∠C=90° ，它 的内切圆的半径为r，△ABC 的各边长分别 为a、b、c，试探讨r与a、b、c的关系. C c b a F E D r 2 a b c r + − = 结论：