三角形的内切圆 如图是一块三角形木料,木工师傅要 从中裁下一块圆形用料,怎样才能使裁下 的圆的面积尽可能大呢? C
如图是一块三角形木料，木工师傅要 从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下 的圆的面积尽可能大呢？ A B C 三角形的内切圆 A B C
DearEDU con 例1作圆,使它和已知三角形的各边都相切 提出以下几个问题进行讨论: A (1)作圆的关键是什么? (2)假设⊙I是所求作的圆,⊙I和三 角形三边都相切,圆心应满足什么 NIM 条件? (3)这样的点应在什么位置? B D (4)圆心确定后半径如何找? 论;和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以作 出
例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切． （1）作圆的关键是什么? 提出以下几个问题进行讨论： （2）假设⊙I是所求作的圆，⊙I和三 角形三边都相切，圆心I应满足什么 条件? （3）这样的点I应在什么位置? （4）圆心I确定后半径如何找？ 结论：和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以作 出一个． A B C N I M D
DearEDU 二 例1作圆,使它和已知三角形的各边都相切 已知:△ABC(如图) 求作:和△ABC的各边都相切的圆 D C 作法:1、作∠ABC、∠ACB的平分线BM和CN,交点为L 2、过点作ID⊥BC,垂足为D 3、以I为圆心,ID为半径作⊙I,⊙I就是所求的圆
A B C M 例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切 已知： △ABC（如图） 求作：和△ABC的各边都相切的圆 作法：1、作∠ABC、 ∠ACB的平分线BM和CN，交点为I. 2、过点I作ID⊥BC，垂足为D. 3、以I为圆心，ID为半径作⊙I， ⊙I就是所求的圆. N I D
DearEDU con 1、如图1,△ABC是⊙O的内接三角形。 ⊙O是△ABC的外接圆,点O叫△ABC 的外心, 它是三角形三边中垂线的交点 C 图1 2、定义:和三角形各边都相切的圆 叫做三角形的内切圆,内切圆 的圆心叫做三角形的内心,这E F 个三角形叫做圆的外切三角形 图 3、如图2,△DEF是○的外切三角形,⊙是 △DEF的内切圆,点是△DEF的内心,它是三角 形′角平分线的交点
1、 如图1，△ABC是⊙O的 三角形。 ⊙ O是△ABC的 圆，点O叫△ABC 的 ， 它是三角形 的交点。 外接 内接 外心 三边中垂线 1 3、如图2，△DEF是⊙I的 三角形，⊙I是 △DEF的 圆，点I是 △DEF的 心，它是三角 形 的交点。 2、定义：和三角形各边都相切的圆 叫做 ，内切圆 的圆心叫做三角形的 ，这 个三角形叫做 。 A B C ．O 图1 I D E F ． 图2 三角形的内切圆 内心 圆的外切三角形 外切 内切 内 角平分线
DearEDU 二 三角形内心的性质: B C 1、三角形的内心到三角形各边的距离相等 2、三角形的内心在三角形的角平分线上 角形外心的性质: 1、三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等; 、三角形的外心在三角形三边的垂直平分线上;
三角形内心的性质： 1、三角形的内心到三角形各边的距离相等； 2、三角形的内心在三角形的角平分线上； 1、三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等； 2、三角形的外心在三角形三边的垂直平分线上； 三角形外心的性质： C A B I． D E F ．O
DearEDU 二 名称确定 图形 性质 方法 外 (三角 角形 形外接三边中 1OA=OB=OC;2.外心 圆的圆垂线的 不一定在三角形的内 交点 部 B C 内心 (三角 角形 1到三边的距离相等;2OA 形内切 条角 圆的圆平分线 OB、OC分别平分∠BAC ∠ABC、∠ACB; 的交点 3内心在三角形内部 G
名称 确定 方法 图形 性质 外心 内心 A B C O A B C O 三 角 形 三 边 中 垂 线 的 交点 三角形 三条角 平分线 的交点 （ 三 角 形 外 接 圆 的 圆 心）（三角 形内切 圆的圆 心） 1 .OA=OB=OC ； 2 .外心 不一定在三角形的内 部． 1 .到三边的距离相等； 2 .OA 、 OB 、OC分别平分 ∠BAC 、 ∠ABC 、 ∠ACB ； 3 .内心在三角形内部 ．
DearEDU 二 定义:和多边形各边都相切的圆 叫做多边形的内切圆,这个 多边形叫做_圆的外切多边形 E 如上图,四边形DEFG是⊙O的外切四 边形,⊙O是四边形DEFG的内切圆
定义：和多边形各边都相切的圆 叫做 ，这个 多边形叫做 。 多边形的内切圆 圆的外切多边形 内切 如上图，四边形DEFG是⊙O的 外切 四 边形，⊙O是四边形DEFG的 圆， D E F G .O
判断题: 1、三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等(错) 2、三角形的外心到三角形各边的距离相等(错) 3、等边三角形的内心和外心重合;(对) 4、三角形的内心一定在三角形的内部(对) 5、菱形一定有内切圆(对) 6、矩形一定有内切圆(错)
判断题： 1、三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（ ） 2、三角形的外心到三角形各边的距离相等（ ） 3、等边三角形的内心和外心重合；（ ） 4、三角形的内心一定在三角形的内部（ ） 5、菱形一定有内切圆（ ） 6、矩形一定有内切圆（ ） 错 错 对 对 错 对
例2如图,在△ABC中,点O是内心,(1)若A ∠ABC=50°,∠ACB=70°,求∠BOC的度数 解(1)∵点O是△ABC的内心, ∠OBC=∠OBA==∠ABC=25° 同理∠OCB=∠OCA=∠ACB=35°B C 2 ∠BOC=180°一(∠OBC+∠OCB)=180°-60°=120° (2)若∠A=80°,则∠B0C=130度。 (3)若∠BOC=100°,则∠A=20度
例2 如图，在△ABC中，点O是内心， （1）若 ∠ABC=50° ， ∠ACB=70°，求∠BOC的度数 A B C O （2）若∠A=80 °，则∠BOC= 度。 （3）若∠BOC=100 °，则∠A= 度。 解（1）∵点O是△ABC的内心， ∴ ∠OBC= ∠OBA= ∠ABC= 25 ° 同理 ∠OCB= ∠OCA= ∠ACB=35 ° ∴ ∠BOC=180 °－ （∠OBC＋ ∠OCB） = 180 °－60 °=120 ° 2 1 2 1 130 20
DearEDU 二 (4)试探索:∠A与∠BOC之间存在怎样 的数量关系?请说明理由。 答:∠BOC=90°+∠A B C 理由:∵点O是△ABC的内心, ∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB 2 ∠OBC+∠OCB= ∠ABC+∠ACB) (180 ∠A)=90 ∠A 在△ABC中,∠BOC=180°—(∠OBC+∠OCB) =180°-(90°∠4)元90°+
（4）试探索：∠A与∠BOC之间存在怎样 的数量关系？请说明理由。 理由： ∵点O是△ABC的内心， ∴ ∠OBC= ∠ABC， ∠OCB= ∠ACB ∴ ∠OBC＋ ∠OCB = （∠ABC+ ∠ACB） = （180 ° － ∠A ）= 90 ° － ∠A 在△ABC中，∠BOC =180 °－（ ∠OBC＋ ∠OCB ） = 180 °－（ 90 ° － ∠A ）= 90 °+ ∠A 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 A B C O 2 1 答： ∠BOC =90 ° + ∠A