64多边形的内角和与外角和 选择题 1.如果一个多边形的每一个内角都是108°,那么这个多边形是 A.四边形 五边形 C.六边形 D.七边形 2.已知一个多边形的内角和是540°,则这个多边形是() A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形 3.如果一个多边形的边数增加1倍,它的内角和是2160°,那么原来的多边形的边数是 D.8 4.一个多边形最少可分割成五个三角形,则它是边形() B.7 C.6 5.一个多边形的外角和是内角和的一半,则它的边数为( C.5 6.一个多边形的内角和与外角和共为540°,则它的边数为() D.不确定 7.若等角n边形的一个外角不大于40°,则n的值为() A.n=8 n=9C.n>9 8.中华人民共和国国旗上的五角星,它的五个锐角的度数和是( C.180° 9.用三块正多边形的木板铺地,拼在一起并相交于一点的各边完全吻合,其中两块木板的 边数都是8,则第三块木板的边数应是() 10.如果只用正三角形作平面镶嵌(要求镶嵌的正三角形的边与另一正三角形有边重合), 则在它的每一个顶点周围的正三角形的个数为() 填空题 11.在四边形ABCD中,∠A=∠D,∠A:∠B:∠C=3:2:1,则∠A= 12.一个多边形的内角和与外角和的比是4:1,它的边数是 顶点的个数是 对角线的条数是
6.4 多边形的内角和与外角和 一、选择题 1．如果一个多边形的每一个内角都是 108°，那么这个多边形是 ( ) A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 2．已知一个多边形的内角和是 540°，则这个多边形是 ( ) A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 3．如果一个多边形的边数增加 1 倍，它的内角和是 2160°，那么原来的多边形的边数是 ( ) A．5 B．6 C．7 D．8 4．一个多边形最少可分割成五个三角形，则它是________边形（ ） A．8 B．7 C．6 D．5 5．一个多边形的外角和是内角和的一半，则它的边数为（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 6．一个多边形的内角和与外角和共为 540°，则它的边数为（ ） A．5 B．4 C．3 D．不确定 7．若等角 n 边形的一个外角不大于 40°，则 n 的值为（ ） A．n＝8 B．n＝9 C．n＞9 D．n≥9 8．中华人民共和国国旗上的五角星，它的五个锐角的度数和是（ ） A．50° B．100° C．180° D．200° 9．用三块正多边形的木板铺地，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的 边数都是 8，则第三块木板的边数应是（ ） A． 4 B．5 C．6 D．8 10．如果只用正三角形作平面镶嵌（要求镶嵌的正三角形的边与另一正三角形有边重合）， 则在它的每一个顶点周围的正三角形的个数为（ ） A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 二、填空题 11．在四边形 ABCD 中，∠A＝∠D，∠A∶∠B∶∠C＝3∶2∶1，则∠A＝ ． 12．一个多边形的内角和与外角和的比是 4：1，它的边数是 ，顶点的个数是 ， 对角线的条数是 ．
13.若四边形ABCD的相对的两个内角互补,且满足∠A:∠B:∠C=2:3:4, ∠D= 14.若一个n边形的内角都相等,且内角的度数与和它相邻的外角的度数比为3:1,那么 这个多边形的边数为 15.若一个十边形的每个外角都相等,则它的每个外角的度数为 每个内角的度 数为 16.如果一个多边形的每个内角都等于108°,那么这个多边形是边形 7.一个正多边形的内角和为720°,则这个正多边形的每一个内角等于 18.若一个多边形的各边都相等,它的周长是63,且它的内角和为900°,则它的边长是 19.多边形的内角中,最多有 个直角 20.已知一个多边形的内角和与外角和共2160°,则这个多边形的边数是 21.用正三角形和正方形能够铺满地面,每个顶点周围有个正三角形和个正方形 解答题 22.如图4-124所示,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠B+∠F的度数 图4-12 23.一个凸多边形的内角的度数从小到大排列起来,恰好依次增加相同的度数,其中最小角 是100°,最大角是14 求这个多边形的边数 24.已知多边形内角和与外角和的和为2160°,求多边形对角线的条数 25.在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠B与∠D的度数比是3:2,求∠B,∠D的度数
13．若四边形 ABCD 的相对的两个内角互补，且满足∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4， 则∠A＝________°，∠B＝________°，∠C＝________°，∠D＝________°． 14．若一个 n 边形的内角都相等，且内角的度数与和它相邻的外角的度数比为 3∶1，那么， 这个多边形的边数为________． 15．若一个十边形的每个外角都相等，则它的每个外角的度数为________°，每个内角的度 数为________°． 16． 如果一个多边形的每个内角都等于 108°，那么这个多边形是_____边形． 17.一个正多边形的内角和为 720°，则这个正多边形的每一个内角等于____ ___°． 18．若一个多边形的各边都相等，它的周长是 63，且它的内角和为 900°，则它的边长是 _____． 19．多边形的内角中，最多有________个直角． 20．已知一个多边形的内角和与外角和共 2160°，则这个多边形的边数是 21．用正三角形和正方形能够铺满地面，每个顶点周围有_____个正三角形和_____个正方形 三、解答题 22．如图 4－124 所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F 的度数． 23．一个凸多边形的内角的度数从小到大排列起来，恰好依次增加相同的度数，其中最小角 是 100°，最大角是 140°，求这个多边形的边数． 24．已知多边形内角和与外角和的和为 2160°，求多边形对角线的条数． 25．在四边形 ABCD 中，∠A＝∠C＝90°，∠B 与∠D 的度数比是 3：2，求∠B，∠D 的度数．
26.已知和多边形一个内角相邻的外角与其余各内角度数总和为600°,求该多边形的边数 27.过n边形的一个顶点有7条对角线,m边形有m条对角线,p边形没有对角线,q边形 的内角和与外角和相等,求q(n-m)2的值 28.如图4-125所示,已知六边形 ABCDE中,∠A=∠B∠C=∠D=∠E=∠F=120°.试 说明AB+BC=EF+ED 29.某科技小组制作了一个机器人,它能根据指令要求进行行进和旋转,某一指令规定:机 器人先向前方行走2m,然后左转60°,若机器人反复执行这一指令,则从出发到第 次回到原处,机器人共走了多少米? 30.我们知道过n边形的一个顶点可以做(m3)条对角线,这(m-3)条对角线把三角形分 割成(n-2)个三角形,想一想这是为什么?如图1 A As 图1 如图2,在n边形的边上任意取一点,连结这点与各顶点的线段可以把n边形分成几个三角
26．已知和多边形一个内角相邻的外角与其余各内角度数总和为 600°，求该多边形的边数． 27．过 n 边形的一个顶点有 7 条对角线，m 边形有 m 条对角线，p 边形没有对角线，q 边形 的内角和与外角和相等，求 q(n－m) p 的值． 28．如图 4－125 所示，已知六边形 ABCDEF 中，∠A＝∠B=∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝120°．试 说明 AB＋BC=EF＋ED． 29．某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行进和旋转，某一指令规定：机 器人先向前方行走 2 m，然后左转 60°，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一 次回到原处，机器人共走了多少米? 30．我们知道过 n 边形的一个顶点可以做（n－3）条对角线，这（n－3）条对角线把三角形分 割成（n－2）个三角形，想一想这是为什么？如图 1． 图 1 如图 2，在 n 边形的边上任意取一点，连结这点与各顶点的线段可以把 n 边形分成几个三角 形？
A 图2 想一想,利用这两个图形,怎样证明多边形的内角和定理. 参考答案 4.B5.B6.C7.D8.C9.A10.D 11.120° 12.10103513.60,90,120,90 八15.36,14416.五16.120 17.918.四19.1220.3,2 21.提示:延长BC交EF于M,所以∠A+∠B+∠BMF+∠F=360°,又因为∠DCB+∠D+ ∠B=∠BMF,所以∠A+∠B+∠DCB+∠∠E+∠F=360° 2.解:设这个多边形的边数为n,由题意知(00140)=(m-2)·180°,解得r=6.答 这个多边形的边数是6 23.解:设这个多边形的边数为n,由题意,得(n-2)·180°+360°=2160°,解得n= 12.∴多边形对角线的条数为1n(m-3)=1×12×(12-3)=54.即这个多边形对角线的条 数为54 24.解:∵∠A+∠C=90°+90°=180°,∴∠升+∠D=360°—(∠A∠C=360°-180 180°.设∠B=(3x)°,则∠D=(2x)°,∴3x°+(2x)°=180°,解得x=36,∴3x=
图 2 想一想，利用这两个图形，怎样证明多边形的内角和定理． 参考答案 1．B 2．B 3．C 4．B 5．B 6．C 7．D 8．C 9．A 10．D 11．120° 12．10 10 35 13．60，90，120，90 14．八 15．36，144 16．五 16．120 17．9 18．四 19．12 20．3，2 21．提示：延长 BC 交 EF 于 M，所以∠A＋∠B＋∠BMF＋∠F＝360°，又因为∠DCB＋∠D＋ ∠E=∠BMF，所以∠A＋∠B＋∠DCB＋∠D＋∠E＋∠F＝360°． 22．解：设这个多边形的边数为 n，由题意知 (100 +140 ) 2 n ＝(n－2)·180°，解得 n=6．答： 这个多边形的边数是 6． 23．解：设这个多边形的边数为 n，由题意，得(n－2)·180°＋360°＝2160°，解得 n＝ 12．∴多边形对角线的条数为 1 2 n(n－3)＝ 1 2 ×12×(12－3)=54．即这个多边形对角线的条 数为 54． 24．解：∵∠A＋∠C＝90°＋90°＝180°，∴∠B＋∠D＝360°－(∠A＋∠C)＝360°－180° ＝180°．设∠B＝(3x)°，则∠D＝(2x)°，∴(3x)°＋(2x)°＝180°，解得 x＝36，∴3x＝
108,2x=72.即∠B=108°,∠D=72° 25.解:设边数为n,这个内角为a,依题意有(n-2)·180°-a+180°-a=600 a=90°n-390°,又∵0°<a<180°,°0°<90°m-390°<180° 3,∵n为正整数,∴n=5或n=6.答:边数为5或6. n, 26.解:由已知可得 所以n=10,m=5,p=3,q=4,所以q(nm)2=4 pP-3)=0, 2 (q-2)180°=360°, ×(10-5)=500 27.解:如图4-126所示,向两方分别延长AB,CD,EF,得△PR.∵∠PAF=180°-∠ BAF=180°-120°=60°,同理∠AF=60°,∴∠P=60°,∴△PAF为等边三角形.同 理△BCQ,△DER均为等边三角形.∴△PR也为等边三角形,∴PQ=RR,AP=PF,BC=BQ DE=RE,∴∵PPA=RP-PF,即AQ=RR,∴AB+BQ=FE+RE,AB+BC=EF+ED 29.解:如图4-127所示,由题意可知机器人从出发到第一次回到原处的行走路线是一个 正多边形,设边数为n,则60°·n=360°,解得n=6.又2×6=12(m),∴机器人共走了 P
108，2x＝72．即∠B＝108°，∠D＝72°． 25．解：设边数为 n，这个内角为α，依题意有(n－2)·180°－α＋180°－α＝600°， ∴α＝90°n－390°，又∵0°＜α＜180°，°0°＜90°n－390°＜180°，∴4 1 3 ＜n ＜6 1 3 ，∵n 为正整数，∴n＝5 或 n＝6．答：边数为 5 或 6． 26．解：由已知可得 3 7 ( 3) 2 ( 3) 0 2 ( 2) 180 360 nm m m p p q − = − = − = − = ， ， ， ， 所以 n＝1 0，m＝5，p＝3，q＝4，所以 q(n－m) p =4 ×(10－5)3＝500． 27．解：如图 4－126 所示，向两方分别延长 AB，CD，EF，得△PQR．∵∠PAF＝180°－∠ BAF＝180°－120°＝60°，同理∠AFP＝60°，∴∠P＝60°，∴△PAF 为等边三角形．同 理△BCQ，△DER 均为等边三角形．∴△PQR 也为等边三角形，∴PQ＝PR，AP＝PF，BC＝BQ， DE＝RE，∴PQ－PA＝RP－PF，即 AQ＝FR，∴AB＋BQ＝FE＋RE，∴AB＋BC＝EF＋ED． 29．解：如图 4－127 所示，由题意可知机器人从出发到第一次回到原处的行走路线是一个 正多边形，设边数为 n，则 60°·n＝360°，解得 n＝6．又 2×6＝12(m)，∴机器人共走了 12 m. 30．略