一、应力圆 将斜截面应力计算公式改写为 s+_x-Ox cos2a-Exy simn 2a 2 2 0x- Ta y 2 sin 2a+Tx cos 2a 把上面两式等号两边平方，然后相加便可消去，得 a.-y+=82y+
sin cos cos sin α τ α σ σ τ α τ α σ σ σ σ σ α α 2 2 2 2 2 2 2 xy x y xy x y x y + − = − − = + − 一、应力圆 将斜截面应力计算公式改写为 把上面两式等号两边平方，然后相加便可消去α，得 2 2 2 2 2 2 xy x y x y τ σ σ τ σ σ σ α α + − + = + ( − ) ( )
+0+=:,02+ 2 2 因为g,g,,皆为已知量，所以上式是一个以o,为变 量的圆周方程。当斜截面随方位角a变化时，其上的应力oa,Ta 在σ-x直角坐标系内的轨迹是一个圆。 1.圆心的坐标 0+0,0) 2 2.圆的半径 R=2+ 此圆习惯上称为应力圆，或称为莫尔圆
2 2 2 2 2 2 xy x y x y τ σ σ τ σ σ σ α α + − + = + ( − ) ( ) 因为σx ， σy ， τ xy皆为已知量，所以上式是一个以σα， τα为变 量的圆周方程。当斜截面随方位角 α 变化时，其上的应力σα ， τα 在σ -τ 直角坐标系内的轨迹是一个圆。 1.圆心的坐标 ( ,0) 2 x y C σ + σ 2.圆的半径 2 2 2 xy x y R τ σ σ + − = ( ) 此圆习惯上称为 应力圆，或称为莫尔圆
二、应力圆作法 y T Oy 0 0 1.步骤 (1)建σ~x坐标系，选定比例尺
（1）建 σ - τ 坐标系,选定比例尺 Ｏ τ σ 二、应力圆作法 1.步骤 x y σx σx τ yx τ xy σy σy
D B 人对 D' (2)量取 OA=Ox C AD=T得D点 (3)量取OB=CBD=Tx 得D点 (4)连接DD两点的直线与σ轴相交于C点 (5)以C为圆心，CD为半径作圆，该圆就是相应于该单元体 的应力圆
D O τ σ （2）量取 OA= σ x AD = τ xy 得D点 x y σx σx τ yx τ xy σx A OB= σy （3）量取 BD′= τ yx 得D′点 σy B D′ （4）连接 DD′两点的直线与σ 轴相交于C 点 （5）以C为圆心, CD 为半径作圆，该圆就是相应于该单元体 的应力圆。 C
三、应力圆的应用 1.求单元体上任一截面上的应力 从应力圆的半径CD按方位角a的转向转动2a得到半径CE, 圆周上E点的坐标就依次为斜截面上的正应力o,和切应力x。 E D 2a B 人
三、应力圆的应用 1.求单元体上任一截面上的应力 从应力圆的半径 CD 按方位角α的转向转动2α得到半径CE， 圆周上 E 点的坐标就依次为斜截面上的正应力σα和切应力τα。 D O τ σ σx A σy B D′ C E 2α x y a σx σx τ yx τ xy e f α n
说明 (1)点面之间的对应关系：单元体某一面上的应力，必对 应于应力圆上某一点的坐标。 (2)夹角关系：圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体 上对应两截面夹角的两倍，两者的转向一致。 B A 2B
（1）点面之间的对应关系：单元体某一面上的应力，必对 应于应力圆上某一点的坐标。 说 明 A B β （2）夹角关系:圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体 上对应两截面夹角的两倍，两者的转向一致。 2β σ τ O C B A
2.求主应力数值和主平面位置 (1)主应力数值 0 B B A1和B,两点为与主平面 对应的点，其横坐标为主应力 D' C1,C5 C
2.求主应力数值和主平面位置 （1）主应力数值 A1 和 B1 两点为与主平面 对应的点,其横坐标 为主应力 σ1,σ2 σ1 σ2 D O τ σ σx A σy B D′ C B 2α0 1 A1
T (2)主平面方位 由CD顺时针转2到CA1 所以单元体上从x轴顺时 B B 针转（负值）即到σ对应 的主平面的外法线。 DA tan(-2ao)= 2txy CA 0x-0y σ tan2@o 2txy 0x-0y 2d0=arctan( x-0y %,确定后，G1对应的主平面方位即确定
2α0 D O τ σ σx A σy B D′ C σ1 σ2 A1 B1 （2）主平面方位 由 CD顺时针转 2α0 到CA1 所以单元体上从 x 轴顺时 针转 α0 （负值）即到 σ1对应 的主平面的外法线。 x y xy CA DA σ σ τ α − − = = 2 2 0 tan( ) x y xy σ σ τ α − = − 2 2 0 tan ( ) − = − 0 2 2 arctan xy x y τ α σ σ α0 确定后,σ1 对应的主平面方位即确定
3.求最大切应力 D G,和G两点的纵坐标分别代 B B 表最大和最小切应力 D' CG=+2y+ g C =Tmin 因为最大、最小切应力等于应力圆的半径 max
3.求最大切应力 G1和G两点的纵坐标分别代 表最大和最小切应力 2α0 D O τ σ σx A σy B D′ C σ1 σ2 A1 B1 G1 max G2 ( ) τ τ σ σ + = − = + 2 2 1 2 xy x y CG min ( ) τ τ σ σ + = − = − 2 2 2 2 xy x y CG 2 σ 1 σ 2 τ τ − = ± min max 因为最大、最小切应力等于应力圆的半径
例题1从水坝体内某点处取出的单元体如图所示，g=-1MPa, ,=-0.4MPa,toy=-0.2MPa,Tix=0.2MPa, (1)绘出相应的应力圆。 (2)确定此单元体在a=30°和a=-40°两斜面上的应力。 解：(1) 画应力圆 量取0A=O=-1,AD==-0.2,定出D点 OB=C=-0.4和，BD'=飞x=0.2,定出D'点。 以DD'为直径绘出的圆即为应力圆。 (-0.4,0.2) D (-1,-0.2)
σ τ O 例题1 从水坝体内某点处取出的单元体如图所示， σx = -1MPa , σy = - 0.4MPa , τ xy= - 0.2MPa , τ yx = 0.2MPa， （1）绘出相应的应力圆。 （2）确定此单元体在α =30°和α =-40°两斜面上的应力。 σx σy τ xy 解: （1） 画应力圆 量取OA= σx= - 1 , AD = τ xy= - 0.2，定出 D点; A C B OB =σy= - 0.4和， BD′ = τ yx= 0.2 ， 定出 D′点。 (-1,-0.2) D D′ (-0.4,0.2) 以DD′为直径绘出的圆即为应力圆
