4-2力矩转动定理转动惯量 问：在质点问题中，我们将物体所受的力均作 用于同一点，并仅考虑力的大小和方向所产生的作 用；在刚体问题中，我们是否也可以如此处理？力 的作用点的位置对物体的运动有影响吗？ ∑F=0,∑M=0 圆盘静止不动 ∑E=0,∑M,≠0 圆盘绕圆心转动 力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响
4 – 2 力矩 转动定理 转动惯量 问：在质点问题中，我们将物体所受的力均作 用于同一点，并仅考虑力的大小和方向所产生的作 用；在刚体问题中，我们是否也可以如此处理？力 的作用点的位置对物体的运动有影响吗？ Fi = 0 , Mi = 0 圆盘静止不动 = 0 , 0 Fi Mi 圆盘绕圆心转动 F F − F F − 力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响
4-2力矩转动定理转动惯量 力矩 刚体绕Oz轴旋转，力祚用在刚体上点P,且在 转动平面内，为油点O到力的作用点P的矢径. F对转轴Z的力矩 M=F×F M=Frsin 0=Fd d:力臂
4 – 2 力矩 转动定理 转动惯量 P z * O M = Frsin = Fd M F r d d : 力臂 刚体绕 O z 轴旋转, 力 作用在刚体上点P ,且在 转动平面内, 为由点O 到力的作用点P 的矢径 . F r M r F = F 对转轴 Z 的力矩 一 力矩 M
4-2力矩转动定理转动惯量 讨论 (1)若力F不在转动平面内，可把力分解为平行于 和垂直于转轴方向的两个分量 F=F+F 其中对转轴的力矩为零 故力对转轴的力矩 M,E=r×F, M,=rF sin 0 (2)合力矩等于各分力矩的矢量和 M=M,+M,+M,+
4 – 2 力矩 转动定理 转动惯量 z O k F r 讨论 F = F z + F⊥ = F⊥ M k r z Mz = rF⊥ sin Fz F⊥ (1) 若力 不在转动平面内，可把力分解为平行于 和垂直于转轴方向的两个分量 F (2) 合力矩等于各分力矩的矢量和 M = M1 + M2 + M3 + 其中 对转轴的力矩为零， 故力对转轴的力矩 Fz
4-2力矩转动定理转动惯量 (3)刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消 M,=-M元 M 结论：刚体内各质点间的 作用力对转轴的合内力矩为零！ M=∑M,=0
4 – 2 力矩 转动定理 转动惯量 (3) 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消 Mij M ji = − j r i r i j Fij Fji d O Mij M ji 结论：刚体内各质点间的 作用力对转轴的合内力矩为零. = = 0 M Mij
4-2力矩转动定理转动惯量 二 转动定律 Ft=(△m,)a=△mrC M;=Ft=(△m,)aG '.a =ra ∴.M=(△m,)r2a M=∑M,=∑(Am,ra=c∑(Am;)r: 转动惯量 J=∑△m, 转动定律 M=Ja
4 – 2 力矩 转动定理 转动惯量 z 二 转动定律 Fit = (mi )at = mri 2 ( ) i i i M = m r i i i i i M r F m a r t t = = ( ) mi i r O Fit at = r 2 2 ( ) ( ) i i i i i M = M = m r = m r 转动定律 M = J 2 i i ➢ 转动惯量 J =m r
4-2力矩转动定理转动惯量 转动定律 M=Ja J=∑△, 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正 比，与刚体的转动惯量成反比. > 转动惯量物理意义：转动惯性的量度. > 质量连续分布刚体的转动惯量 J=∑Am,2=∫r2dm 质量元：dm 滩 转动惯量的大小取决于刚体的密度、几何 形状及转轴的位置
4 – 2 力矩 转动定理 转动惯量 ➢ 转动惯量物理意义：转动惯性的量度. ➢ 质量连续分布刚体的转动惯量 J m ri r m i i d 2 2 = = 质量元: dm 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正 比 ，与刚体的转动惯量成反比 . 转动定律 M = J 2 i i J =m r 转动惯量的大小取决于刚体的密度、几何 形状及转轴的位置. 注意
4-2力矩转动定理转动惯量 讨论：一质量为m、长为l的均匀细长棒，与棒 垂直的轴的位置不同，转动惯量的变化 2。 dr 72 设棒的线密度为λ，取一距离转轴O0'为r处的质 量元 dm=λdr dJ r2dm Ar'dr 转轴过中心垂直于棒 1-22- 12 转轴过端点垂直于棒 1=元r2d=m2
4 – 2 力矩 转动定理 转动惯量 l O´ O dr r 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 r 处的质 量元 dm = dr dJ r dm r dr 2 2 = = 讨论： 一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒，与棒 垂直的轴的位置不同，转动惯量的变化 . dr −l 2 l 2 O´ O 2 0 2 3 1 J r dr ml l = = 转轴过端点垂直于棒 2 / 2 0 2 12 1 J 2 r dr ml l = = 转轴过中心垂直于棒
4-2力矩转动定理转动惯量 竿子长些还是短些较安全 飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
4 – 2 力矩 转动定理 转动惯量 竿子长些还是短些较安全？ 飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
4-2力矩转动定理转动惯量 例1如图所示，有一半径为R质量为的匀质圆盘， 可绕通过盘心0垂直盘面的水平轴转动转轴与圆盘之间 的摩擦略去不计.圆盘上绕有轻而细的绳索，绳的一端固定 在圆盘上，另一端系质量为m的物体.试求物体下落时的 加速度、绳中的张力和圆盘的角加速度， 22☑ 解： (1)分析受力 m唇图 (2)选取坐标系 注意：转动和平 T 动的坐标取向要一致
4 – 2 力矩 转动定理 转动惯量 解: (1) 分析受力 R O m m y O R T' m P FT m (2)选取坐标系 注意：转动和平 动的坐标取向要一致. 例1 如图所示,有一半径为 R 质量为 的匀质圆盘, 可绕通过盘心 O 垂直盘面的水平轴转动.转轴与圆盘之间 的摩擦略去不计.圆盘上绕有轻而细的绳索, 绳的一端固定 在圆盘上,另一端系质量为 m 的物体.试求物体下落时的 加速度、绳中的张力和圆盘的角加速度. m
4-2力矩转动定理转动惯量 (3)列方程（用文字式） 牛顿第二定律（质点） mg-F=ma 转动定律（刚体) FR=Ja 约束条件 dy=Ra F=E 转动惯量 J=m'R2/2 先文字计算求解 后代入数据求值. a,=2mg/(2m+m') T F=mmg/(2m+m) y a=2mg/[(2m+m)R]
4 – 2 力矩 转动定理 转动惯量 a 2mg (2m m') y = + ' /(2 ') FT = m mg m+m = 2mg [(2m+m')R] （3）列方程（用文字式） 牛顿第二定律（质点） mg − FT = may 转动定律（刚体） FT R = J ' / 2 2 转动惯量 J = m R 先文字计算求解， 后代入数据求值. 约束条件 ay = R FT FT = R O m m y O R T' m P FT m