《控制系统CAD与仿真》第五章 基于状态空间模型的控制系统设计

第五章基于类态窨模型的 控制条统设计 5.1概述 5.2极点配置 53线性次型最优控间 5.5状态观测器设计 5.6包含状态观测器的状态 反馈控制系统

5.1 概述 5.2 极点配置 5.3 线性二次型最优控制 5.4 解耦控制 5.5 状态观测器设计 5.6 包含状态观测器的状态 反馈控制系统

第五章基于状态空闻模型的控制柰统设计 5.1概述 考虑线性、定常、连续控制系统,其状态空间描述为: x=A·x+B.u y 系统设计问题就是寻找一个控制作用a(),使得在其作用下系统运动的行为满足预先 所给出的期望性能指标。设计问题中的性能指标可分为非优化型性能指标和优化型性 能指标两种类型。 o非优化型指标是一类不等式型的指标,即只要性能指标值达到或好于期望性能指 标就算实现了设计目标 以一组期望的闭环极点作为性能指标,相应的设计问题称为极点配置问题; ◆以使一个多输入一多输出系统实现“一个输入只控制一个输出”作为性能指标,相应的设计 问题称为解耦控制问题;

5.1 概述 考虑线性、定常、连续控制系统，其状态空间描述为： 0 0 0 ( ) , x A x B u x t x t t y C x             + + B ∫ C A u x x y 系统设计问题就是寻找一个控制作用u(t)，使得在其作用下系统运动的行为满足预先 所给出的期望性能指标。设计问题中的性能指标可分为非优化型性能指标和优化型性 能指标两种类型。 o非优化型指标是一类不等式型的指标，即只要性能指标值达到或好于期望性能指 标就算实现了设计目标。 v以一组期望的闭环极点作为性能指标，相应的设计问题称为极点配置问题； v以使一个多输入—多输出系统实现“一个输入只控制一个输出”作为性能指标，相应的设计 问题称为解耦控制问题；

第五章基于状态空闻模型的控制柰统设计 以使系统的输出y)无静差地跟踪一个外部信号y作为性能指标,相应的设计问题称为跟踪 (或伺服)问题 今以使系统的状态x()或输出y(0)在外部扰动或其他因素影响下保持其设定值作为性能指标, 相应的设计问题称为调节问题 0优化型指标则是一类极值型的指标,设计目标是要使性能指标在所有可能值中取得 极小(或极大)值; 令性能指标常取为一个相对于状态x(和控制)的二次型积分性能指标,其形式为: 2x()F,x0)+- (0).x)+n(.R2uo 令设计的任务是确定一个控制a(ω,使得相应的性能指标Ju()取得极小值。 从线性系统理论可知,许多设计问题所得到的控制规律常具有状态反馈的 形式。但是由于状态变量为系统的内部变量,通常并不是每一个状态变量都 是可以直接量测的。这一矛盾的解决途径是:利用可量测变量构造出不能量 测的状态,相应的理论问题称为状态重构问题,即状态观测器问题

o优化型指标则是一类极值型的指标，设计目标是要使性能指标在所有可能值中取得 极小（或极大）值； v 性能指标常取为一个相对于状态x(t)和控制u(t)的二次型积分性能指标，其形式为：             f t t T T f f T J x t F x t x t Q x t u t R u t dt 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 v 设计的任务是确定一个控制u*(t) ，使得相应的性能指标J[u*(t)]取得极小值。 从线性系统理论可知，许多设计问题所得到的控制规律常具有状态反馈的 形式。但是由于状态变量为系统的内部变量，通常并不是每一个状态变量都 是可以直接量测的。这一矛盾的解决途径是：利用可量测变量构造出不能量 测的状态，相应的理论问题称为状态重构问题，即状态观测器问题。 v 以使系统的输出y(t)无静差地跟踪一个外部信号yr(t)作为性能指标，相应的设计问题称为跟踪 （或伺服）问题； v 以使系统的状态x(t)或输出y(t)）在外部扰动或其他因素影响下保持其设定值作为性能指标， 相应的设计问题称为调节问题

第五章基于状态空闻模型的控制柰统设计 5.2极点配置 在状态反馈律l=-Kx+G·v作用下的闭环系统为 x=A·x+B.v A=A-BKB=B-G.C=O x(0)=x0,t≥t0 y 状态反馈极点配置:通过状态反馈矩阵K的选取,使闭环系统的极点,即(A-B·K) 的特征值μ(=1,2,…,n)恰好处于所希望的一组给定闭环极点的位置上。 线性定常系统可以用状态反馈任意配置极点的充分必要条件是:该系统必须是完全 能控的。所以,在实现极点的任意配置之前,必须判别受控系统的能控性

5.2极点配置 在状态反馈律 u   K  x  G  v 作用下的闭环系统为： 0 0 0 ( ) , c c c x A x B v x t x t t y C x             , , A c  A BK B c  BG Cc  C - G + v u B + + ∫ A C x y K x 状态反馈极点配置：通过状态反馈矩阵K的选取，使闭环系统的极点，即 的特征值 恰好处于所希望的一组给定闭环极点的位置上。 (A  B  K) (i 1,2, ,n) i   线性定常系统可以用状态反馈任意配置极点的充分必要条件是：该系统必须是完全 能控的。所以，在实现极点的任意配置之前，必须判别受控系统的能控性

第五章基于状态空闻模型的控制柰统设计 5.2.1单输入系统的极点配置 Bass-Gura算法:设受控系统的闭环特征多项式分别为 p(s)=det(sIn-a)=s"+a,"+.+ans+a (s)=(s-1)(s-2)…(s-4n)=s"+a1s"+…+an-S+an 则状态反馈阵为:K=[an-an,an1-an1,…,ar1-a1]T n-2 10 A·b 00 10 函数 bass_ pp(调用格式为: K-bass PP(A, b,p) 其中:(A,b)为状态方程模型, p为包含期望闭环极点位置的列向量[u1,42…,un丁 返回变量K为状态反馈行向量

5.2.1单输入系统的极点配置 Bass-Gura算法：设受控系统的闭环特征多项式分别为： n n n n s  sI n  A  s  a s   a  s  a  1 1 1 ( ) det( )  n n n n n  s  s   s   s    s  s    s   1 1 1 2 1 ( ) ( )( )( )  则状态反馈阵K为： 1 1 1 1 1 [ , , , ]    K   n  an  n  an    a T                  1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 2 3 1 2 1 1           a a a a a a T b A b A b n n n n n 函数bass_pp( ) 调用格式为: K=bass_pp(A,b,p) 其中:(A,b)为状态方程模型, p为包含期望闭环极点位置的列向量 返回变量K为状态反馈行向量,   T    n , , , 1 2 

第五章基于状态空闻模型的控制柰统设计 Ackermann算法:状态反馈阵为 P(A)=A"+a,A"+.+aA+a, I K 0 A·b 控制系统工具箱中 acker(函数的调用格式为: K-acker(A, b,p) acker()函数可以求解多重极点配置的问题,但不能求解多输入系统的问题。 5.2.2多输入系统的极点配置 疋田算法:设川"∈C"(=12…,m),表示闭环系统的极点及其相对应的特征向量。 >假定与4阵的特征值相异,且≠H(≠j),j=1,2,…,n x=A·x+B K 有(1n-A+BK)v=C即(1n-A)v1=-B.Kv 则 v=(A-2ln)·B·K·v

Ackermann算法：状态反馈阵为 0 0 1  ( ) 1 1 K b A b A b A n         n n n n n  A  A  A   A  I   1 1 1 ( )  控制系统工具箱中acker( )函数的调用格式为： K=acker(A,b,p) acker( )函数可以求解多重极点配置的问题，但不能求解多输入系统的问题。 5.2.2多输入系统的极点配置 疋田算法：设 ，表示闭环系统的极点及其相对应的特征向量。 1 , ( 1, 2, , ) n i i  v C i n     Ø假定 与A阵的特征值相异，且 有 即 则 i ( ) , 1, 2, , i j    i  j i j   n x A x B u u K x            (    )  0 i n i  I A B K v i n i i ( I  A) v  B  K  v i i n i v  A  I  B  K  v 1 (  )

第五章基于状态空闻模型的控制柰统设计 令H=(4-11),B5=K,于是v=V,驸于给定,5可以求出v 2 5m=Kv 般说来 vn]可逆,否则重新选择[152…5n K 12 1s2 5n]-[151V252…Vnn 疋田算法的具体步骤:首先,适当选择∈R从而计算特征向量 (A-n)·B.∈C 再确定状态反馈阵 K 2 5(=12…,n)的选择有较大的任意性。说明了多输入系统极点配置问题中 确定状态反馈阵K的非唯一性

令 Vi  (A   iI n ) 1 ， B  i  K ，vi于是 vi  V，i 对i 于给定 ，可i 以求出 i v     n n  K v v  v 1 2 1 2      一般说来  v 1 v 2  v n  可逆，否则重新选择  1  2   n 。         1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2          n n n n n V V V K v v v              疋田算法的具体步骤：首先，适当选择 ，从而计算特征向量 再确定状态反馈阵 1  r  i R 1 1 ( ) , 1, 2, , n i i n i v A  I B  C i n              1 1 2 1 2    n n K     v v  v  i(i  1,2,, n) 的选择有较大的任意性。 说明了多输入系统极点配置问题中 确定状态反馈阵K的非唯一性

第五章基于状态空闻模型的控制柰统设计 putian()函数的调用格式: K=putian(A,B,p) En]的选取方法是:选取5中每前r列构成阶单位阵,直至到第n列 若假定共与A的特征值有相同的,或中有重根时,i=1,2,…,n 则可以对特征值相同的一个或几个加上一定的微小偏量,使之满足上面第一种 情形的条件。然后,再重新进行极点配置。如果效果不够理想,那么还可重新选择 5=[152…5n]阵来进行配置。 控制系统工具箱中 place(函数是基于鲁棒极点配置的算法,用来求取状态反馈 阵K,使得多输入系统具有指定的闭环极点P,即p=eig(A-B*K)。 plac(函数调用格式为: REplace(A, B,p /K,prec, message/=place(A, B, p) prec为闭环系统的实际极点与期望极点P的接近程度,prec中的每个量的值为匹配的 位数。如果闭环系统的实际极点偏离期望极点10%以上,那么 message将给出警告信息。 函数 place(不适用于含有多重期望极点的配置问题 例 5-1:

pitian( ) 函数的调用格式： K=pitian(A,B,p)    1  2   n  的选取方法是：选取  中每前r列构成r阶单位阵，直至到第n列 Ø 若假定 与A的特征值有相同的，或 中有重根时， 则可以对特征值相同的一个或几个加上一定的微小偏量，使之满足上面第一种 情形的条件。然后，再重新进行极点配置。如果效果不够理想，那么还可重新选择  i  i i  1,2,, n      1  2   n 阵来进行配置。 place( )函数调用格式为： K=place(A,B,p) [K,prec,message]=place(A,B,p) p  eig(A  B * K) 控制系统工具箱中place( )函数是基于鲁棒极点配置的算法，用来求取状态反馈 阵K，使得多输入系统具有指定的闭环极点P，即 。 prec为闭环系统的实际极点与期望极点P的接近程度，prec中的每个量的值为匹配的 位数。如果闭环系统的实际极点偏离期望极点10%以上，那么message将给出警告信息。 函数place( )不适用于含有多重期望极点的配置问题。 例5-1：

第五章基于状态空闻模型的控制柰统设计 5.2.3用极点配置设计调节系统 y 例5-2:已知一个倒立摆系统的数学模型为 (m+M)·g/(M·/)000 1/(M 00 0 000 1/M Mg(o 0010|x x 其中,状态变量为x1=0,x2=6,x1=x,x4=x,输出变量为y=O,y2=x,摆的质 量m=01kg,小车的质量M=2kg,摆的长度l=0.5m 设计要求:对于任意给定的角度O和(或B)角速度的初始条件,设计一个使倒立 摆保持在垂直位置的控制系统。同时要求在每一控制过程结束时,小车返回到参考位 置x=0。而指标要求为:闭环主导极点的阻尼=05,调整时间秒t;≈2s

5.2.3 用极点配置设计调节系统 例5-2：已知一个倒立摆系统的数学模型为： u M M l x x x x m g M m M g M l x x x x                                       1/ 0 1/( ) 0 / 0 0 0 0 0 0 1 ( ) /( ) 0 0 0 0 1 0 0 4 3 2 1 4 3 2 1                    4 3 2 1 2 1 0 0 1 0 1 0 0 0 x x x x y y 其中，状态变量为 ，输出变量为 ，摆的质 量 ，小车的质量 ，摆的长度 。 x x x x x x  1   , 2   , 3  , 4  y  y  x 1 2 , m  0.1kg M  2kg l  0.5m      0.5 2 st  s 设计要求：对于任意给定的角度 和（或 ）角速度的初始条件，设计一个使倒立 摆保持在垂直位置的控制系统。同时要求在每一控制过程结束时，小车返回到参考位 置x=0。而指标要求为：闭环主导极点的阻尼 ，调整时间秒

第五章基于状态空闻模型的控制柰统设计 解:1、将给定M,m,l的的值代入上式,得到: 0 x=A·x+B·l 20.601000 1000 001 0 0010 0.4905000 0.5 2、状态反馈阵K的求取 √检验该系统是否状态完全能控。 系统是完全能控的 ˇ根据性能指标选择所期望的闭环极点位置。 =-2+23,2=-2-2V3,42=-10,4=-10 3、求闭环系统对初始条件的响应: 假设初始条件为x0)=p100可,而闭环系统的状态空间描述为x=(A-bK)x 摆将返回到参考位置,其结果是令人满意的

解：1、将给定 M , m , l 的的值代入上式，得到： x A x B u y C x           0 1 0 0 0 20.601 0 0 0 1 1 0 0 0 , , 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0.4905 0 0 0 0.5 A b C                                  2、状态反馈阵K的求取： ü检验该系统是否状态完全能控。 系统是完全能控的 ü根据性能指标选择所期望的闭环极点位置。 1 2 3 4   2  j2 3,  2  j2 3,  10,  10 3、求闭环系统对初始条件的响应： 假设初始条件为   ，而闭环系统的状态空间描述为 ，  x(0)  0.1 0 0 0 x  (Ab K) x 摆将返回到参考位置，其结果是令人满意的