§9-5静电场的能量能量密度 、带电电容器的能量 q 开始时刻 任一时刻 终了时刻 B B A B (下一页)
§9-5 静电场的能量 能量密度 一、带电电容器的能量 开 始 时 刻 A B q = 0 U dq 任 一 时 刻 + q − q uA uB U 终 了 时 刻 + Q − Q UA UB U （下一页 ）
设任意时刻极板上的电荷为q, 两极板间的电势差为U,则有: 丿,-Vn=U= 任一时 考虑此时将m的电荷从负极板刻 移到正极板,电源所做的功为 dA=Uda= y 充电完毕后,电源所做的总功为 A=C4=2C=电容器的电能 C=Q/U QU=CU 2C2 团(下一页)
C Q WC 2 2 = = = = Q C Q dq C q A 0 2 2 = 电容器的电能 C q VA −VB = U = dq C q dA = Udq = dq 任 一 时 刻 + q − q uA uB U 设任意时刻极板上的电荷为q , 两极板间的电势差为U ,则有： 考虑此时将 dq 的电荷从负极板 移到正极板，电源所做的功为 充电完毕后，电源所做的总功为： 2 2 1 QU= CU 2 1 = C = Q /U （下一页 ）
二、电场的能量和能量密度 W=C2对平行板电容器 Ed 2 2 d 电场的空间体积 =1BE2(S)=E2 2 y 1 电场能量密度= EE D DE 2a 2 这个结果对任意电 ∵D=:E 场都是成立的。 國□(下一页)
电场能量密度= 二、电场的能量和能量密度 2 对平行板电容器 2 1 W = CU 2 2 1 )( Ed ) d S W ( = E ( Sd ) 2 2 1 = E V 2 2 1 = 2 2 1 E V W we = = 2 2 1 D = DE 2 1 = 电场的空间体积 d S + q − q 这个结果对任意电 场都是成立的。 D E = （下一页 ）
非均匀电场的能量计算要用积分的办法 dv W=∫wdW=∫,eE2l=J,DEd 國□(下一页)
非均匀电场的能量计算要用积分的办法 = = V V W wdV E dV 2 2 1 = V DEdV 2 1 dV （下一页 ）
例1、计算球形电容器的能量 已知RARB±q R 解:场强分布E= 4兀ar 2 ☆取体积元d=4mr dW=wav=-aE dy 214mx2 d 2 2 4TEr ☆能量W=「aW=∫ r tErs drs/ 878 Ra RB 还可以由电容器的能量公式计算 q2 2 2c2 RR 4兀8 B 8TeR R B R-R B (下一页)
例1、计算球形电容器的能量 RA RB + q − q 已知 RA RB q 解： 场强分布 r 2 4 r q E = 取体积元 dV r dr 2 = 4 dW wdV E dV 2 2 1 = = ) r dr r q ( 2 2 2 4 2 4 1 = 能量 = = V R R B A dr r q W dW 2 2 8 ) R R ( q A B 1 1 8 2 = − B A A B c R R R R q c q W − = = 4 2 1 2 1 2 2 还可以由电容器的能量公式计算 ) R R ( q A B 1 1 8 2 = − （下一页 ）
例2、平行板电容器 已知:S、d插入厚为t的铜版 B 求:①C ②充电到U,断开电源, 抽出铜板,求外力的功A; ③如插入的为￡.的介质板, 再计算其电容。并考虑当充电到U0后 再断开电源,抽出介质板的过程中, 外力所做的功 (下一页)
d1 t 2 d d A B 例2、平行板电容器 已知 : S 、 d 插入厚为 t 的铜版 求： C 如插入的为 r 的介质板， 再计算其电容。并考虑当充电到U0 后， 再断开电源，抽出介质板的过程中， 外力所做的功。 充电到U0 ，断开电源， 抽出铜板，求外力的功A; （下一页 ）
①求C t q 解:⊙设土q ◎场强分布 EoE B 铜板内:E=0; 铜板外:E0= ◎电势差 b=Eod+ Et+ eod2 =E0(4+d2)=0 (d1+d2) S S 0 B +d, d-t (下一页)
求 C d1 t 2 d d A B + q − q E0 E0 E ◎ 设 q ◎ 场强分布 ◎电势差 u A − u B = E 0 d 1 + Et + E 0 d 2 E ( d d ) = 0 1 + 2 ( d d ) Sq 1 2 0 = + ◎ 1 2 0 d dS u u q C A B + = − = d t S− = 0 E = 0 ; 铜板内： Sq E 0 0 0 = 铜板外： = （下一页 ） 解：
十 ②充电到U/。抽出铜板, q 求外力的功AA=AW=W-W w1和W2:抽出铜板前后 A EOE Eo B 电容器的能量。 2 d 抽出铜板后=CU不变,C变为:+分td2-q s/d C2U.1 d ES B 2C 2C 2 es d-t St A=W,-W1= 2(d-03<2 國□(下一页)
d1 t 2 d d A B + q − q E0 E0 E A B + q − q 充电到 U0 抽出铜板， 求外力的功 A A= W =W2 −W1 2 1 0 2 1 W = CU 2 0 2 1 U d t S − = 抽出铜板后 CU0 q = 不变， C 变为： C = 0 S / d C q W = 2 2 2 C C U = 2 2 0 2 2 2 0 0 2 1 2( ) U d t St A W W − = − = 2 0 0 2 0 ( ) 2 1 U d t S S d − = W 1 和W 2 ：抽出铜板前后 电容器的能量。 （下一页 ）
③如插入的为E.的介质, t q q 再作计算 l4-2=EOd4+d2)+E O A EoE EoB (d-t)+ C 0 0 0 8 s BE1d-1(6n-1) 2 充电到UJW122 2 q不变:q=C"o 抽出介质后:W 20 H"=△W"=W2"-W (下一页)
如插入的为 r 的介质， 再作计算 d1 t 2 d d A B + q − q E0 E0 E u u E d d Et A − B = 0 ( 1 + 2 ) + d t t r 0 0 = ( − ) + ( 1) 0 − − = − = r r r A B d t S u u q C 充电到 U0 2 1 0 2 1 W = CU 抽出介质后： C q W = 2 2 2 A W W2 W1 = = − d S C 0 = q C u0 = q 不变： （下一页 ）
课计算均匀带电导体球及 堂均匀带电介质球的电场能量 q 练 习 rR 4兀Enr 2 该电场能量也可 W=wdv=-8oEdv 以由电容器的能 量公式计算: =0+ (,41p24m2tu R 2 8元EaR 24x4人 冈□(下一页)
课 堂 练 习 计算均匀带电导体球及 均匀带电介质球的电场能量 导体球 E = 0 2 4 0 r q r R r R = = V V W wdV E dV 2 0 2 1 = + R ) r dr r q ( 2 2 2 0 0 4 2 4 1 0 R q 0 2 8 = + + + + + + + + + + R q 该电场能量也可 以由电容器的能 量公式计算： R q C q W 0 2 2 2 4 1 2 1 = = dr r （下一页 ）