第2章薛定谔方程 回顾 x 由一维平面波函数y(x,D)= Acosta(t--)+o x. Aosinla(t-)+Po 0小少 22y(x Aocosla(t.t )+0 2 动 A 1 84 力波 4c0[o(t--)+0u20公 学动 方的 o-y 1 Oy 程 2 2 t
第 2 章 薛定谔方程 回顾: sin[ ( ) ] ( , ) 0 = − − + u x A t t y x t cos[ ( ) ] ( , ) 0 2 2 2 = − − + u x A t t y x t 2 2 2 0 2 2 2 2 1 cos[ ( ) ] t y u u x t u A x y = − − + = 2 2 2 2 2 1 t y x u y = 波 动 的 动 力 学 方 程 ( , ) cos[ ( ) ] = − +0 u x 由一维平面波函数 y x t A t
§1薛定谔方程 自由粒子的薛定谔方程 沿x方向运动的动能为E和动量为P的自由粒子的波函数 y(, t=voe h(Et-px) 得出一维自由粒子运动所遵从的薛定谔方程: y h oy at 2m ax2
一. 自由粒子的薛定谔方程 沿x方向运动的动能为E和动量为 的自由粒子的波函数 §1 薛定谔方程 2 2 2 t 2m x i = − 得出一维自由粒子运动所遵从的薛定谔方程：
同样推广到三维如下 个动能为E和动量为,即波矢为=P 的自由粒子波函数: Vk(r, t)=Yo exp(i Et-pr 显然,波函数对时间求导,可得出: Evr(r, t) at 方 Ey(r, t at
( , ) exp( ) 0 Et p r r t i k − = − 一个动能为E和动量为 ，即波矢为 的自由粒子波函数： p p k = 同样推广到三维如下： ( , ) ( , ) E r t i t r t k k = − 显然，波函数对时间求导，可得出：
波函数对空间求导可得出: avr(r,t) 方2(F,),%(FD=2 Xvk(r, t) dvr(r,t) p,Vk(r, t: avk(r, t) 2y2 k(F,) avr(r, t)i 方 pYk(r, t); av(r, t) p dz az. 2 2+2+2k(,t) Vk(r, t) O z 方
波函数对空间求导可得出： ( , ); ( , ) p r t i x r t x k k = ( , ); ( , ) p r t i y r t y k k = ( , ); ( , ) p r t i z r t z k k = ( , ) ( , ) 2 2 2 2 r t p x r t k k x = − ( , ) ( , ) 2 2 2 2 r t p y r t k k y = − ( , ) ( , ) 2 2 2 2 r t p z r t k k z = − ( ) ( , ) ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 r t p r t x y z k k = − + +
定义算符扣2=02+082+02 则得:VVk(F,)=_pv(2) 考虑自由粒子的能量: E 2m Vvr(r, t=EVK(r, t 2m 又因为:Cvk(F,D) =Evi(r, t at 自由粒子的 o薛定谔方程 得出:Oy(F,D)h2 VVR(r,t) at 2m
2 2 2 2 2 2 2 x y z + + 定义算符： = ( , ) ( , ) 2 2 2 r t p r t k k 则得： = − m p E 2 2 = 考虑自由粒子的能量： ( , ) 2 ( , ) 2 2 r t t m r t i k k = − ( , ) ( , ) 2 2 2 r t E r t m k k − = 又因为： 得出： 自由粒子的 薛定谔方程
二.力场中粒子的薛定谔方程 如果粒子在势场()中运动,能量:E=P+V() 2r 其薛定谔方程 Oyk(r,t [。V2+V(F)vk(F,t) at 2m 定义哈密顿算符: (称船量算符)h=2mY+( 则薛定谔方程为 Our(r,t) HyR(r,t) at
二 . 力场中粒子的薛定谔方程 V (r) 如果粒子在势场 中运动，能量： ( ) 2 2 V r m p E = + ( )] ( , ) 2 [ ( , ) 2 2 V r r t t m r t i k k = − + 其薛定谔方程： ( , ) ˆ ( , ) H r t t r t i k k = ( )] 2 [ ˆ 2 2 V r m H = − + 定义哈密顿算符： （也称能量算符） 则薛定谔方程为：
定态薛定谔方程 当V=V(r)时,W(F,1)=V(F)eh 薛定谔方程可用对应的几率密度与时无关 分离变量法求它的特解。V(F,1v(F,1)=0'(F)() [V2+V()p(F)=E0(F) 2 在一维情况下: 定态薛定谔方程 h ay( +y(xy(x)=Ey(x 2m ax 2 y=(x)-粒子的定态波函数,描述的粒子 的状态称为定态
iEt Ψ r t r e − ( , ) =( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 V x x E x x x m + = − ——定态薛定谔方程 =( x ) ——粒子的定态波函数，描述的粒子 的状态称为定态。 三. 定态薛定谔方程 薛定谔方程可用 分离变量法求它的特解。 对应的几率密度与时间无关。 (r,t) (r,t) (r) (r) = ( )] ( ) ( ) 2 [ 2 2 V r r E r m − + = 当 V＝V(r) 时， 在一维情况下：
§2无限深方势阱中的粒子 U(x)=0(0<x<a) U(x)=0 势函数 U(x)=∞(x≤0,x≥a) 束缚态:粒子被限制在阱中的状态 理论模型:自由电子很难从金属表面逸出 方2ov(x) +U(xy(x)=Ey(x) 2m ax
0 x U(x)=0 a 势函数 U(x) = 0 (0 x a) U(x) = ( x 0 ， x a) §2 无限深方势阱中的粒子 ( ) ( ) ( ) ( ) U x x E x x x m + = − 2 2 2 2 束缚态： 粒子被限制在阱中的状态 理论模型： 自由电子很难从金属表面逸出
阱外:U/=∞ h- do(x) 2+a(x)=E0(x)x≤0,x 2m dx 方程的解必处处为零 °0(x)=0x≤0,x2a 根据波函数的标准化条件,在边界上 0(0)=0.,y(a)=0 所以,粒子被束缚在阱内运动 阱内:U=0满足: h(x) E0(x)0<x< 2m dx
x E x x x a dx d x m + = − ( ) ( ) 0, ( ) 2 2 2 2 E x o x a dx d x m = − ( ) ( ) 2 2 2 2 方程的解必处处为零。 (x) = 0 x 0, x a 根据波函数的标准化条件，在边界上 (0) = 0,(a) = 0 所以，粒子被束缚在阱内运动。 • 阱外： U = • 阱内： U = 0 满足：
在阱内的薛定谔方程可写为: d o(x)-2mE 20(x)=-k(x) 0<x<a 类似于简谐振子的方程,其通解: P(r)=Asin(kx+ B 代入边界条件得:(O)=AsiB=0 P(a)=Asin( ka+B)=0 所以,B=0;ka=n兀n=12,3, n不能取零,否则无意义
x k x o x a mE dx d x = − − = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 在阱内的薛定谔 方程可写为： 类似于简谐振子的方程，其通解： (x) = Asin( k x+ B) 代入边界条件得： (0) = Asin B = 0 (a) = Asin( k a+ B) = 0 所以， B = 0; k a = n n =1,2,3, n不能取零，否则无意义
