试卷代号： 座位号 中央广播电规大学华年度第学期期末考试 数学与应用数学应用禄率统计试愿A卷 年 月 粗号 三 四 总分 分数 填空题（每空格3分，共30分） 1.设A、B、C是3个随机事件，则事作“A、B、C都不发生”，用A、B、C表 示为 2.设随机变量X服从二项分布Lp,则D然 EX 3,设随机变量X的分布律为P代X=)=口： 花k-012…小.英中2>0为已知富 数，则常数a为 4.若事件A、B、C相互鞋立，且PN0=025,P=0.5,PC)=04,则 P(AUBUC)=_ 5,设随机变量X在0.)服从均匀分布，则Y一：水的概率密度为一 6.设随机变量X的分布律为 X 0 1 2 P 0 0 0 ,5 .3 .2 则2X+1的分布律为 7.随机麦量X、Y的相关系数P如定义为 8.若a,b为常数，X的方差为D(X),则DaX+b)= 9.设X,X2…,Xm是米自正态总体X~N4,G)的样本，S2为样木方差，则E$2】
试卷代号： 座位号 中央广播电视大学 学年度第 学期期末考试 数学与应用数学应用概率统计试题 A 卷 年 月 题号 一 二 三 四 总分 分数 一、 填空题（每空格 3 分，共 30 分） 1．设 A、B、C 是 3 个随机事件，则事件“ A 、 B 、C 都不发生”，用 A、B、C 表 示为 ； 2．设随机变量 X 服从二项分布 B(n, p) ，则 = EX DX ； 3．设随机变量 X 的分布律为 ( 0,1,2,) ! ( = ) = k = k P X k a k ，其中 0 为已知常 数，则常数 a 为 ； 4 ．若事件 A、B、C 相 互 独 立 ，且 P(A) = 0.25 ， P(B) = 0.5 ， P(C) = 0.4 ， 则 P(A B C) = ； 5．设随机变量 X 在 (0,1) 服从均匀分布，则 X Y = e 的概率密度为 ； 6．设随机变量 X 的分布律为 X 0 1 2 pk 0 .5 0 .3 0 .2 则 2X +1 的分布律为 ； 7．随机变量 X 、Y 的相关系数 XY 定义为 ； 8．若 a, b 为常数， X 的方差为 D(X ) ，则 D(aX + b) = ； 9．设 X X Xn , , , 1 2 是来自正态总体 ( ) 2 X ~ N , 的样本， 2 S 为样本方差，则 ( ) 2 E S
为 10.设X,X:,X.是米自总体X-W(以，a2)的样本，且a2表知，用样木检验假设 H。!4一4时，采用统计量是一 二，判断题：若对回答“对”：若错日答“错”。（每小题2分，共20分》 1.设A、B、C表示3个事件，则A度C■ABC:《) 2.X.X2,X,是米自于总体NU红，a2)的样本，则不=LXN4.阳2)分餐： 3.若X-N4,a,则X)=4,DX)=g:() 4.设0-|-<x<+},A-0sx<2,B-1sx<3,则A话表示10<x}: () 5,若事件A与B互斥，则A与B一定相互独立：( 6.对于任意两个事件A、B,，必有AUB=A∩B:( 1在5次红立重复试验中，事件4发生了2次。则代利-子() 8.设随机变量5的方差D5-1,且n=a5+B(a、B为非零常数)，则Dn为a2+B: 9两个相互验立的随机变量X,Y的方差分别为4与21则D3X-2Y)=28() 10,设总体X-N(4,),X,,X:,X,是米自于总体的样本，则 立=X,+X:+X:是4的 无偏估计量。() 三、计算题（共35分） 1,一袋中有5只乒乓球，编号为1,2、3,4、5，在其中同时任取3只，以X表示取 出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律。(7分) 2.设X~N(2.4),试求X的概率密度f八x)。(5分) 3,己知在10个晶体管中有2个次品，在其中取两次，每次随机地取一只，作不枚日地 轴样。求下列事件的概率：《1)二只都是正品：(2)二只都是次品。(6分》
为 ； 10．设 X X Xn , , , 1 2 是来自总体 ~ ( , ) 2 X N 的样本，且 2 未知，用样本检验假设 H 0 ： = 0 时，采用统计量是 。 二、判断题：若对回答“对”；若错回答“错”。（每小题 2 分，共 20 分） 1．设 A、B、C 表示 3 个事件，则 _____ _ _ _ ABC = ABC ； （ ） 2． X X Xn , , , 1 2 是来自于总体 ( , ) 2 N 的样本，则 = = n i X i n X 1 1 ~ ( , ) 2 N n n 分布； （ ） 3．若 ( ) 2 X ~ N , ，则 E(X) = ,D(X) = ；（ ） 4．设 = x | −＜x＜+ ，A = x | 0 x＜2，B = x |1 x＜3 ，则 AB 表示 x | 0＜x＜1 ； （ ） 5．若事件 A 与 B 互斥，则 A 与 B 一定相互独立；（ ） 6．对于任意两个事件 A、B ，必有 A B = A B ；（ ） 7．在 5 次独立重复试验中，事件 A 发生了 2 次，则 ( ) 5 2 P A = ；（ ） 8．设随机变量 的方差 D =1 ，且 = + （ 、 为非零常数），则 D 为 + 2 ； （ ） 9.两个相互独立的随机变量 X ,Y 的方差分别为 4 与 2；则 D(3X − 2Y) = 28 （ ） 10 ．设总体 X ~ N(, 1) ， X1 , X 2 , X3 是 来 自 于 总 体 的 样 本 ， 则 1 2 3 ˆ = X + X + X 是 的 无偏估计量。（ ） 三、计算题（共 35 分） 1．一袋中有 5 只乒乓球，编号为 1、2、3、4、5，在其中同时任取 3 只，以 X 表示取 出的三只球中的最大号码，写出随机变量 X 的分布律。（7 分） 2．设 X ~ N(2, 4) ，试求 X 的概率密度 f (x) 。（5 分） 3．已知在 10 个晶体管中有 2 个次品，在其中取两次，每次随机地取一只，作不放回地 抽样。求下列事件的概率：（1）二只都是正品；（2）二只都是次品。（6 分）
4.已知随机变量X~N(-3),Y~N(2.),且X与Y相互独立，设随机变量 Z=X-2Y+7,试求Z的密度函数。(7分》 5。从正态总体N化4,62中抽取容量为行的样本X,X:…,X。·如果要求其样本均值 又=上之X,位于区间自454)内的概率不小于0.95，同样本容量n至少应取多大？· (10分) 附标准正态分布表： e)= e五 √2x 1 1 1 2 .28 .645 .6 .33 a)o 0 0 .900 .950 .976 ,990 四、证明题(15分) 若三个事件A、B、C相互称立，则AUB与C独立
4．已知随机变量 X ~ N(−3, 1) ， Y ~ N(2, 1) ，且 X 与 Y 相互独立，设随机变量 Z = X − 2Y + 7 ，试求 Z 的密度函数。（7 分） 5．从正态总体 ( ) 2 N 3.4，6 中抽取容量为 n 的样本 X X Xn , , , 1 2 。如果要求其样本均值 = = n i Xi n X 1 __ 1 位于区间 (1.4,5.4) 内的概率不小于 0.95 ，问样本容量 n 至少应取多大？。 （10 分） 附标准正态分布表： ( ) − − = z t z e dt 2 2 2 1 z 1 .28 1 .645 1 .96 2 .33 (z) 0 .900 0 .950 0 .975 0 .990 四、证明题（15 分） 若三个事件 A、B、C 相互独立，则 A B 与 C 独立
参考答案： 一、填空题（每空格3分，共30分） 1.ABC: 21-p 3.a=e-4 40.775 5ry)= Li<y<e 0,其他 6. 2+11 3 5 Pu 0 0 ,3 .2 7.Pg" Cov(X.Y) √DND可 8.aD(X) 9a2 1aR-4 二，判斯题（每小题2分，共0分） 1.错 2错 及错 4对 5错 6对 7,错
参考答案： 一、填空题（每空格 3 分，共 30 分） 1． _ _ _ ABC ； 2. 1− p 3. − a = e 4. 0.775 5. ( ) = ，其他 ， 0 1 1 y e f y y Y 6． 2X +1 1 3 5 pk 0 .5 0 .3 0 .2 7. ( ) D(X ) D(Y ) Cov X Y xy , = ； 8. ( ) 2 a D X 9. 2 10. S n(X ) − 0 二、判断题（每小题 2 分，共 20 分） 1．错 2. 错 3. 错 4. 对 5. 错 6. 对 7. 错
8错 9.错 10错 三，计算题（共35分） 1.解： P== 1 2分 c10 Pr-4C3.3 -2分 c号10 Pr=5=g-6 2分 c10 故X的分布律为 Pk 1分 2解：因为随机变量X服从正态分布，所以它的密度函数具有如下形式： 1 _-w f(x)=- e (-0<x<+0: (3分) 2n0 进而，将“=2，g=2代入上述表达式可得所求的密度函数为： 1-22 f(x)- e xE(-0,+0)。 (2分》 2√2x 3解：(1)设两次都是正品的事件为4，为 44)小-P4P风4)-87_28 3分 10945 (2)设两次都是次品的事件为民，B2· aar品古若 -3分
8. 错 9. 错 10.错 三、计算题（共 35 分） 1．解： 10 1 3 3 5 2 2 = = = C C P X ------------------------------------2 分 10 3 4 3 5 2 3 = = = C C P X ------------------------------------2 分 10 6 5 3 5 2 4 = = = C C P X ------------------------------------2 分 故 X 的分布律为 X 3 4 5 k p -----------------------------1 分 2. 解：因为随机变量 X 服从正态分布，所以它的密度函数具有如下形式： ( ) 2 1 ( ) 2 2 2 ( ) = − + − − f x e x x ； （3 分） 进而，将 = 2, = 2 代入上述表达式可得所求的密度函数为： ( , ) 2 2 1 ( ) 8 ( 2) 2 = − + − − f x e x x 。 （2 分） 3.解：（1）设两次都是正品的事件为 A1，A2， ( ) ( ) ( ) 45 28 9 7 10 8 P A1A2 = P A1 P A2 A1 = = ---------------------------3 分 （2）设两次都是次品的事件为 B1，B2 ， ( ) ( ) ( ) 45 1 9 1 10 2 P B1B2 = P B1 P B2 B1 = = --------------------------------3 分
4解：因为随机变量X~N(-3),y~N(2),且X与Y相互鞋立，所以利用正 态随机变量的可加性（暖再生性）可知Z=X-2了+7仍服从正老分布：——一(3分) 又因为 E(Z)=E(X)-2E(Y)+7=-3-2×2+7=0DZ)=DX)+4DY)=1+4×1=5 一(2分》 由此可知所采的假率密度为2()=一 (2分》 5解：以X表示该样本均值。则 34-N(o1) -1分 6 从而有 叫叶中 -120.95 5分 20.975 -1分 由此得 321.9% 1分 卿m≥0.96×3=34.57 -1分 所以n至少应取35. -1分 四、证明题(15分) 证明：因为A、B、C相互独立，所以 P(AC)=P(A)P(C) (2分)
4. 解：因为随机变量 X ~ N(−3, 1) ，Y ~ N(2, 1) ，且 X 与 Y 相互独立，所以利用正 态随机变量的可加性（或再生性）可知 Z = X − 2Y + 7 仍服从正态分布；---------（3 分） 又因为 E(Z) = E(X ) − 2E(Y) + 7 = −3 − 2 2 + 7 = 0, D(Z) = D(X ) + 4D(Y) = 1+ 41 = 5 -----------------------------------------------------------------（2 分） 由此可知所求的概率密度为 ) 10 exp( 10 1 ( ) 2 z f z Z = − 。 --------------------------------- （2 分） 5.解：以 __ X 表示该样本均值，则 ~ (0,1) 6 3.4 __ n N X − -----------------------------------------1 分 从而有 − = = − = − − 6 2 6 3.4 1.4 5.4 2 3.4 2 3.4 2 __ __ __ __ n n X P X P X P X P 1 0.95 3 2 − = n ---------------------5 分 故 0.975 3 n ------------------------------------------------------------1 分 由此得 1.96 3 n ---------------------------------------------1 分 即 (1.96 3) 34.57 2 n --------------------------------------------1 分 所以 n 至少应取 35。----------------------------------------------1 分 四、证明题（15 分） 证明：因为 A、B、C 相互独立，所以 P(AC) = P(A)P(C) ； （2 分）
P(BC)=P(B)P(C) (2分) P(ABC)=P(A)P(B)P(C): (2分) 从而，我们可得 P((AUBYC)=P(ACUBC)=P(AC)+P(BC)-P(ABC) P(A)P(C)+P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C) P(CXP(A)+P(B)-P(A)P(B)] -P(C)P(AUB) 由独立性的定义可知：AUB与C独立， (9分)
P(BC) = P(B)P(C) ； （2 分） P(ABC) = P(A)P(B)P(C) ； （2 分） 从而，我们可得 ( ) ( ) ( )[ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) P C P A B P C P A P B P A P B P A P C P B P C P A P B P C P A B C P AC BC P AC P BC P ABC = = + − = + − = = + − 由独立性的定义可知： A B 与 C 独立。 （9 分）