工程数学（本）模报练习 一、单项选择题 1.若A.B都是n阶矩阵，则等式()成立 LA+=4+且A=B4 C.AB-BA D.(A+BXA-B)=A -B 2向量姐a=.0,0.%2=,2.0.%=b.0,3a=.2,3的秩是() A.IB.2 C.3D.4 3设线性方程组X=b有惟一解，则相应的齐次方程组AX=O()· L只有0解R有非0解C无解D解不能确定 4设A,B为随机事件，下列等式成立的是()· A.P(A-B)=P(A)-P(B)B.P(A+B)=P(A)+P(B) C.P(A+B)=P(A)+P(B)D.P(A-B)=P(A)-P(AB) 5,设x,器2…，x,是米自正志总体N(4,G)的样本，则《)是“无编估计， 111 小写+写+写B.++ 5 5 22.2 1x1x。3x,0。三x,+专x红+专xx 5 二、填空题 1.设A,B是3阶矩阵，其中4=3，A=2,则2AB-一 2.当入=_时，方程组 x+x=1 有无穷多解。， -x-江=-1 3.若PA+B)=0.9,P氏40=0.6，P)=05,则PAB=- 2x.0sx≤1 4,若连续型随机变量X的密度函数的是八x)= 0. 其它，则EX)=. 5.若参数0的估计量0满足E(仍=0，则称B为B的_ 三、计算题 0 -1-3 「2 5 1设矩降A■ -2=2=7,B■01,1是3阶单位矩阵，且有 -3-4-8 -30 (I-A)X=B,求X. 2,求线性方程组 1
1 工程数学（本）模拟练习 一、单项选择题 1. 若 A, B 都是 n 阶矩阵，则等式（ ）成立． A. A + B = A + B B. AB = BA C. AB = BA D. (A + B)(A − B) = A − B 2 2 2. 向量组 1, 0 , 0, 1, 2 , 0, 0 , 0 , 3, 1, 2 , 3 1 = 2 = 3 = 4 = 的秩是（）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 设线性方程组 AX = b 有惟一解，则相应的齐次方程组 AX = O （）． A. 只有 0 解 B. 有非 0 解 C. 无解 D. 解不能确定 4. 设 A, B 为随机事件，下列等式成立的是（ ）． A. P(A − B) = P(A) − P(B) B. P(A + B) = P(A) + P(B) C. P(A + B) = P(A) + P(B) D. P(A − B) = P(A) − P(AB) 5. 设 x x x 1 2 n , , , 是来自正态总体 N(, ) 2 的样本，则（）是 无偏估计． A． 1 2 3 5 1 5 1 5 1 x + x + x B。 1 2 3 x + x + x C． 1 2 3 5 3 5 1 5 1 x + x + x D。 1 2 3 5 2 5 2 5 2 x + x + x 二、填空题 1. 设 A, B 是 3 阶矩阵，其中 A = 3, B = 2 ，则 = −1 2A B ． 2. 当 = 时，方程组 − − = − + = 1 1 1 2 1 2 x x x x 有无穷多解．． 3. 若 P(A + B) = 0.9, P(A) = 0.6, P(B) = 0.5 ，则 P(AB) = ． 4. 若连续型随机变量 X 的密度函数的是 = 0 , 其它 2 , 0 1 ( ) x x f x ，则 E(X ) = ． 5. 若参数 的估计量 满足 E( ) = ，则称 为 的 ． 三、计算题 1 设矩阵 − = − − − − − − − − = 3 0 0 1 2 5 , 3 4 8 2 2 7 0 1 3 A B ， I 是 3 阶单位矩阵，且有 (I − A)X = B ，求 X ． 2. 求线性方程组
名+52++2x4=3 -2x-3x4=-4 -3x1+2x:-名-9红4=-5 2%1-无2+3x1+8x,=8 的全部解， 3设X-N(2,9),试求)P八X<11):图P气5<X<8).(己知)=08413， 2)=0.973,3)=0.9987) 4.某钢厂生产了一授管材，每根标准直径100，今对这批管材进行检验，随机取出9 根测得直径的平均值为99，，样本标准差s=Q,47,己知管材直径服从正态分布，问这 批管材的质量是否合格（检验显著性水平a=0.05,1。m(8)=2306) 四、证明圈 设a1,a2,a影是线性无关的，证明，a,+么2，a+a,么1+a也线性无关. 2
2 − + + = − + − − = − − − = − + + + = 2 3 8 8 3 2 9 5 2 3 4 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解． 3.设 X ~ N(2, 9) ，试求⑴ P(X 11) ；⑵ P(5 X 8) ．（已知 (1) = 0.8413 , (2) = 0.9773, (3) = 0.9987 ） 4. 某钢厂生产了一批管材，每根标准直径 100mm，今对这批管材进行检验，随机取出 9 根测得直径的平均值为 99.9mm，样本标准差 s = 0.47，已知管材直径服从正态分布，问这 批管材的质量是否合格（检验显著性水平 = 0.05，t 0.05 (8) = 2.306 ） 四、证明题 设 1 2 3 α ,α ,α 是线性无关的，证明, 1 2 2 3 1 3 α + α , α + α , α + α 也线性无关．
工程数学（本）模数然习答案 一、单项选择题 1.B2C3.A4.D5.C 二，填空题 k1221&024. 5.无偏估计 3 三、计算题 1.解：由矩阵减法运算得 1001「0 -1-31113 1-A=0 1 -7 =237 001-3 -4-8349 利用初等行变换得 「113100 「1131007 237010→011-210 349001010-301 「1131 00 「110-2-33 +011 -2 0 0 0 -3 0 1 00-1-1-11 00111-1 1001-3 27 +010-30 1 00111 1 [1-321 即(1-A)= 01 1-1 由矩阵乘法运算得 1-3 2T251 -4 2 X=(1-A)B= -30 -15 1 2解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 11 2 37 1 12 3 01-2-3 -4 0 -2 -3-4 -32-1-9-5 5 2 -3 2-138 8 0-3142 3
3 工程数学（本）模拟练习答案 一、单项选择题 1. B 2. C 3. A 4. D 5. C 二、填空题 1. 12 2. 1 3. 0.2 4. 3 2 5. 无偏估计 三、计算题 1. 解：由矩阵减法运算得 = − − − − − − − − − − = 3 4 9 2 3 7 1 1 3 3 4 8 2 2 7 0 1 3 0 0 1 0 1 0 1 0 0 I A 利用初等行变换得 1 1 3 1 0 0 2 3 7 0 1 0 3 4 9 0 0 1 1 1 3 1 0 0 0 1 1 2 1 0 0 1 0 3 0 1 → − − → − − − − → − − − − 1 1 3 1 0 0 0 1 1 2 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 2 3 3 0 1 0 3 0 1 0 0 1 1 1 1 → − − − 1 0 0 1 3 2 0 1 0 3 0 1 0 0 1 1 1 1 即 (I − A) = − − − −1 1 3 2 3 0 1 1 1 1 由矩阵乘法运算得 − − − = − − − − = − = − 5 6 9 15 4 2 3 0 0 1 2 5 1 1 1 3 0 1 1 3 2 ( ) 1 X I A B 2. 解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 − − − − − → − − − − − − − − 0 3 1 4 2 0 5 2 3 4 0 1 2 3 4 1 1 1 2 3 2 1 3 8 8 3 2 1 9 5 0 1 2 3 4 1 1 1 2 3
「1112 31 [11123 01-2-3 -4 01-2-3-4 001212 24 001 12 00-5-5-10 000 00 f100211 010-10 00112 00000 此时相应齐次方程组的一般解为 无■-2x x=x,x,是自由未知量 x=-x4 令x,=1,得齐次方程组的一个基础解系 X,=【21-1 令x:=0,得非齐次方程组的一个特解 X。=l020 由此得原方程组的全部解为 X=X。+kX(其中k为任意常数) &⑧<-号2、"马 =PX-2<3)=3)=0987 3 6<X<-n号2283-Pm<2<2到 3 3 =2)-t1)=09772-08413=01359 …6分 4解：零假设H。:4=100.由于未知a2,故选取样本函数 T=-华-m- 己知x=999,经计算得 0.47 =3 =0.16, 999-100 =0625 0.16 4
4 − − − → − − − − − − → 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 0 1 2 3 4 1 1 1 2 3 0 0 5 5 10 0 0 12 12 24 0 1 2 3 4 1 1 1 2 3 − → 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 0 1 0 1 0 1 0 0 2 1 此时相应齐次方程组的一般解为 = − = = − 3 4 2 4 1 2 4 x x x x x x 4 x 是自由未知量 令 x4 =1 ，得齐次方程组的一个基础解系 X1 = − 2 1 −1 1 令 x4 = 0 ，得非齐次方程组的一个特解 X0 = 1 0 2 0 由此得原方程组的全部解为 0 1 X = X + kX （其中 k 为任意常数） 3. 解：⑴ P X P X ( ) = ( ) − − 11 2 3 11 2 3 = − P = = X ( ) ( ) . 2 3 3 3 0 9987 ⑵ P X P X P X (5 8) ( ) ( ) 5 2 3 2 3 8 2 3 1 2 3 = 2 − − − = − = (2) − (1) = 0.9772 − 0.8413 = 0.1359 ………16 分 4. 解：零假设 H0 : = 100 ．由于未知 2 ，故选取样本函数 T x s n = t n − − ~ ( 1) 已知 x = 99.9 ，经计算得 s 9 0 47 3 = = 016 . . ， x s n − = − = 99 9 100 016 0 625 . .
由己知条件aa(8图=2306， =0625<2306=1am(8) 放接受零假设，即可以认为这数管材的质量是合格的。 四、证明题 证明：设有一组数人.k,k·使得 k(a+a3）+k(a3+a,)+k,(a1+a,)=0 成立，即（化+a+(低+ka+(伤+ka=0,由已知a,Ca2,a线惟无关， 故有 [k+k,=0 k+k2=0 k2+k=0 该方程组只有零解，得k,=k=k,=0,故a+区，区+，41+区，是线性无关的.证 5
5 由已知条件 t 0.05 (8) = 2.306， x s n t − = = 0.625 2.306 0 05 (8) . 故接受零假设，即可以认为这批管材的质量是合格的。 四、证明题 证明：设有一组数 1 2 3 k , k , k ，使得 k1 (1 + 2 ) + k2 ( 2 +3 ) + k3 (1 +3 ) = 0 成立，即 (k1 + k3 )1 + (k1 + k2 ) 2 + (k2 + k3 )3 = 0 ，由已知 1 2 3 , , 线性无关， 故有 + = + = + = 0 0 0 2 3 1 2 1 3 k k k k k k 该方程组只有零解，得 k1 = k2 = k3 = 0 ，故 1 2 2 3 1 3 + , + , + 是线性无关的．证 毕．