试卷代号： 座位号 中央广播电规大学华年度第学期期末考试 数学与应用数学应用餐率统计试愿D卷 年月 粗号 三 四 总分 分数 一、 填空题（每空格3分，共30分） 1,设A、B、C是3个随机事件，则“三个事件中至少有一个事件发生”用A、B、C 表示为 2已知P代48)= 且Pd)=P,则P风B为— C 3.设X的餐*分布为X)-'k=0123,则C=— 4.设随机变量X服从二项分布mP),已知E(X)=16,D(X)=128,期参数 P“ 5.斑三颗酸子，己知所得3个点数都不一样，则有1点的概率为 6,设随机变量X与Y相互鞋立时，其方差分别为DX),D(Y),即方差 D(2X-3Y)= 7.设随机变量X服从参数为2的泊松分布，且PX=0)=e2,则PX>) 为一 8。XX一，X是来自总体K-N2g)的一个样本，R=2X,则 16台 4灭-8 9.设随机变量X与Y相互触立，且X服从正态分布N(O,4),Y服从正态分布N09, 则随机变量2X2-Y2的方差为
试卷代号： 座位号 中央广播电视大学 学年度第 学期期末考试 数学与应用数学应用概率统计试题 D 卷 年 月 题号 一 二 三 四 总分 分数 一、 填空题（每空格 3 分，共 30 分） 1．设 A、B、C 是 3 个随机事件，则“三个事件中至少有一个事件发生”用 A、B、C 表示为 ； 2．已知 ( ) = _ _ P AB P AB ，且 P(A) = p ，则 P(B) 为 ； 3．设 X 的概率分布为 1 ( ) + = = k C P X k ， k = 0,1,2,3 ，则 C = ； 4．设随机变量 X 服从二项分布 B(n, p) ，已知 E(X) =1.6 ， D(X) =1.28 ，则参数 p = ； 5．掷三颗骰子，已知所得 3 个点数都不一样，则有 1 点的概率为 ； 6 ．设随机变量 X 与 Y 相 互 独 立 时 ， 其 方 差 分 别 为 D(X ), D(Y) ，则方差 D(2X − 3Y) = ； 7．设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，且 ( ) 2 0 − P X = = e ，则 P(X 1) 为 ； 8． 1 2 16 X , X , , X 是来自总体 ~ (2, ) 2 X N 的一个样本， = = 16 16 1 1 i X Xi ，则 ~ 4 8 X − ； 9．设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从正态分布 N(0,4)，Y 服从正态分布 N(0,9)， 则随机变量 2 2 2X −Y 的方差为 ；
10.设总体X一(4，G):X,X,,X是来自总体X的样本，则4的最大叔然 售计为一· 二、判断题：若对回容“对”；若错日答“错。（每小题2分，共0分） L1.X,X,,X,是取自总体N以.a)的样本，则家.之x,服从N0》分布： () 2。设随机向量(X,)的联合分布函数为Fx,y),其边缘分布函数F,()是 mF（） 3.设0=|-<x<+},A=0sx<2},B=1sx<3},则A语表示0<x: () 4.授随机变量X服从N(.4),则风X≤2+可的值随“增大面不变. () 5,设两个不相关的随机变量X.了的方差分别为4和1，则陌机变量4X-2了的方差为 68。() 6,设随机变量X,X:,X3,X4独立，都服从正态分布N.) 从x2分布，则常数k和x2分布的白由度n分别为片=三n-1: 7.已知P代)=04P)=02,随机事件AB相互验立，则P氏44U)-1 3 () 8.已知随机变量X与Y相互弦立，DX)=8.DY)=4,则DX-)=4: () 9.设总体X一N(4,),X,,X:,X,是来自子总体的样本，则 立=X+X+2x是“的无偏估计量： 6 6 10.国归分析可以帮助我们判断一个随机变量和另一个普通变量之间是否存在某种相关
10．设总体 ~ ( , ) 2 X N ， X X Xn , , , 1 2 是来自总体 X 的样本，则 的最大似然 估计为 。 二、判断题：若对回答“对”；若错回答“错”。（每小题 2 分，共 20 分） 1． X X Xn , , , 1 2 是取自总体 ( , ) 2 N 的样本，则 = = n i X i n X 1 1 服从 N(0,1) 分布； （ ） 2．设随 机向量 (X , Y) 的联合 分布函 数为 F(x, y) ，其边 缘分布 函数 F (x) X 是 lim F(x, y) y→+ ；（ ） 3．设 = x | −＜x＜+ ，A = x | 0 x＜2，B = x |1 x＜3 ，则 AB 表示 x | 0＜x＜1 ； （ ） 4 ． 设 随 机 变 量 X 服 从 N(,4) ， 则 P(X 2 + ) 的 值 随 增 大 而 不 变 。 （ ） 5．设两个不相关的随机变量 X ,Y 的方差分别为 4 和 1，则随机变量 4X − 2Y 的方差为 68。 （ ） 6．设随机变量 X1 , X 2 , 3 4 X , X 独立，都服从正态分布 N(1,1) ，且 2 4 1 4 − i= Xi k 服 从 2 分布，则常数 k 和 2 分布的自由度 n 分别为 , 1 4 1 k = n = 。 （ ） 7．已知 P(A) = 0.4，P(B) = 0.2 ，随机事件 A, B 相互独立，则 ( ) 13 10 P A A B = 。 （ ） 8．已知随机变量 X 与 Y 相互独立， D(X ) = 8, D(Y) = 4 ，则 D(X −Y) = 4 ； （ ） 9 ． 设 总 体 X ~ N(, 1) ， X1 , X 2 , X3 是 来 自 于 总 体 的 样 本 ， 则 1 2 3 6 3 6 1 6 1 ˆ = X + X + X 是 的无偏估计量； （ ） 10．回归分析可以帮助我们判断一个随机变量和另一个普通变量之间是否存在某种相关
关系。 三、计算题（每小题7分，共35分） 1.设随帆变量X的分布排为PX==a花k=012,无>0为常数，求常 数a. 2.随机变量号的密度函数为风x)= 2x,3∈0》，其中A为正的常数，试求A: 【0.其他 3.设随机变量：服从二项分布.即-风P小，且E份-3，P=7试求m 4.己知一元线性同归直线方程为少=à+4x,且x=3,=6,试求à， 5.从大批电子管中随机抽取100只，抽取的电子管的平均寿命为1000小时，可以认为 电子管寿命服从正老分布，己知均方差0=0小时，以置信度Q.95求出整批电子管平均寿 命的置信区间。（已知4.2=196） 四、证明题(15分) 一个电子线路上电压表的读数X服从区间[0,0+1]上的均匀分布，其中0是该线路上 电压的真值，但它是未如的，假设X,X,,X是此电压表上读数的一组样本，试证明： (1)样本均值X不是日的无偏估计：(2)8的矩估计是8的无偏结计。 参考答案1 一、填空题（每空格3分，共30分） 1.AUBUC 21-p ，12 825 4.02 号 64DX)+9DY)
关系。 （ ） 三、计算题（每小题 7 分，共 35 分） 1．设随机变量 X 的分布律为 ( 0,1,2 ) ! = = k = k P X k a k ， 0 为常数，求常 数 a。 2．随机变量 的密度函数为 = 0, 其他 2 , (0, ) ( ) x x A p x ，其中 A 为正的常数，试求 A 。 3．设随机变量 服从二项分布，即 ~ B(n, p) ，且 E( ) = 3， 7 1 p = ，试求 n 。 4．已知一元线性回归直线方程为 y ˆ = a ˆ + 4x ，且 x = 3， y = 6 ，试求 a ˆ 。 5．从大批电子管中随机抽取 100 只，抽取的电子管的平均寿命为 1000 小时，可以认为 电子管寿命服从正态分布，已知均方差 = 40 小时，以置信度 0.95 求出整批电子管平均寿 命的置信区间。（已知 u0.05 2 = 1.96 ） 四、证明题（15 分） 一个电子线路上电压表的读数 X 服从区间[ , +1]上的均匀分布，其中 是该线路上 电压的真值，但它是未知的，假设 X X X n , , , 1 2 是此电压表上读数的一组样本，试证明： (1)样本均值 X 不是 的无偏估计；(2) 的矩估计是 的无偏估计。 参考答案： 一、填空题（每空格 3 分，共 30 分） 1． A B C 2. 1− p 3. 25 12 4. 0.2 5. 2 1 6. 4D(X ) + 9D(Y)
7.1-32 &N(0. 9.290 10.i=X. 二、判断题（每小题2分，共20分） 1,错 2对 3错 4.对 丘对 6对 7.对 8错 9.错 10.对 三、计算题（每小题7分，共35分） 2分 41 3分 k=0 k=0 即有 =ae4 =1 1分 所以a=e入 1分 2.解：由题设可如随机变量：的密度函数为p风x)= [2x,xE0,A0 ,其中A为正的常数， 0,其他 利用密度函数性版广风x达=1， (2分)
7. 2 1 3 − − e 8. N(0,1) 9.290 10. ＝ X 。 二、判断题（每小题 2 分，共 20 分） 1．错 2. 对 3. 错 4. 对 5. 对 6. 对 7. 对 8. 错 9. 错 10.对 三、计算题（每小题 7 分，共 35 分） 1．解：由 = = 1 1 i i p 得 2 分 1 ! 0 0 = = = = k k = k k P X k a 3 分 即有 = = = 0 1 ! k k ae k a 1 分 所以 − a = e 1 分 2. 解：由题设可知随机变量 的密度函数为 = 0, 其他 2 , (0, ) ( ) x x A p x ，其中 A 为正的常数， 利用密度函数性质 + − p(x)dx =1， （2 分）
可得：贰2h1,解得A-1. (5分) 玉解：由题设可知晨从=项分怎，即好-肌p小且B日=3，P-弓 又因为E()=即： (2分) 所以3=，解得n=21. (5分》 4.解：一元线性回归直线方程具有如下形式：立=à+x, (3分) 由题设条件可知少=à+4x,因此b=4. 又因为无=3，下=6，所以G=下-b近=6. (4分) 5。解：设x为电子管寿命，已知X、N.402) 故有总体均值“的置信度为0,5的置 的区同为 40 40 x-6J100 3分 由己知条件x=1000,a=0.05,ap=1.96 2分 代入上式得 (992.16,1007.84) 2分 四、证明题《15分) 证明：(1)因为X服从[8，日+1】上的均匀分布，所以X的数学期显 E00+g.0+分 1 2 又因为X,X,,X是一组样本，因此样本均值X的数学期型 E)=E)=8+2*8,故？不是0的无偏估计： (8分) 2)利用矩估计方法令(X)=天，即0+X,故0的矩估计为了- 2 又为（不-引-0，知它是0的无估计 (7分)
可得： = A xdx 0 2 1 ，解得 A = 1。 （5 分） 3. 解：由题设可知 服从二项分布，即 ~ B(n, p) ，且 E( ) = 3， 7 1 p = ， 又因为 E( ) = np ， （2 分） 所以 n 7 1 3 = ，解得 n = 21。 （5 分） 4. 解：一元线性回归直线方程具有如下形式： y a bx ˆ ˆ = ˆ + ， （3 分） 由题设条件可知 y ˆ = a ˆ + 4x ，因此 4 ˆ b = 。 又因为 x = 3， y = 6 ，所以 6 ˆ a ˆ = y − bx = − 。 （4 分） 5. 解：设 X 为电子管寿命，已知 ( ) 2 X ~ N ,40 ，故有总体均值 的置信度为 0.95 的置 信区间为 − + 100 40 100 40 0.05 2 _ 0.05 2 _ x u ，x u 3 分 由已知条件 1000 0.05 0.05 2 1.96 _ x = ， = ，u = 2 分 代入上式得 (992.16，1007.84) 2 分 四、证明题（15 分） 证 明 ：（ 1 ） 因 为 X 服 从 [ , +1] 上 的 均 匀 分 布 ， 所 以 X 的 数 学 期 望 2 1 2 ( 1) ( ) = + + + = E X ； 又因为 X X X n , , , 1 2 是一组样本，因此样本均值 X 的数学期望 = = + 2 1 E(X ) E(X ) ，故 X 不是 的无偏估计； （8 分） （2）利用矩估计方法，令 E(X) = X ，即 + = X 2 1 ，故 的矩估计为 2 1 X − ， 又因为 = − 2 1 E X ，知它是 的无偏估计。 （7 分）