试卷代号： 座位号 中央广播电视大学华年度第学期期末考试 数学与应用数学应用餐率统计试愿C卷 年 月 想号 三 四 总分 分数 填空通（每空格3分，共30分） 1.设A、B、C是3个随机事件，则“A不发生，且B.C中至少有一事件发生，用 A、B、C表示为 2.设随机变量X服从参数为2的指数分智，则数学刚望E+世2X)为 3.设A、B互不相容，PA)=P,P代册=g,则P代万B): 4,甲，乙两门高射炮被此验立地向一架飞机射击，设甲击中的概率为Q3,乙击中的 概率为0.4，则飞机技击中的概率为一 点设随机变量X与Y数立，X~电，p小Y~E,p小.且代X≥)小-号则 P+Y=为一 6.设陌机变量X服从普阿松分布，且P气X=3)= e2则E(X)- 3 7.从数字1、2、3,4,5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是 西数的概率为— 8.设8与0是未知参数8的两个 估计，且对任意的日满是D0)<D8), 则称可比可2有效 9,加工某零作需三道工序，各工序互不影响。其次品率分别为华、3绕，5路。则加工的 零件是次品的假率为一 10.在对总体参数的假设检验中，若给定显著性水平口(0<征<】)，则犯第一类错误 的概率是一 二，判断题：若对打”：若错打“”。（每小题2分，共20分）
试卷代号： 座位号 中央广播电视大学 学年度第 学期期末考试 数学与应用数学应用概率统计试题 C 卷 年 月 题号 一 二 三 四 总分 分数 一、 填空题（每空格 3 分，共 30 分） 1. 设 A、B、C 是 3 个随机事件，则“A 不发生，且 B、C 中至少有一事件发生”，用 A、B、C 表示为 ； 2．设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，则数学期望 ( ) X E X e −2 + 为 ； 3．设 A、B 互不相容， P(A) = p ， P(B) = q ，则 P(A B) = ； 4．甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机射击，设甲击中的概率为 0.3，乙击中的 概率为 0.4，则飞机被击中的概率为 ； 5．设随机变量 X 与 Y 独立， X ~ B(2, p)，Y ~ B(3, p) ，且 ( ) 9 5 P X 1 = ，则 PX +Y =1 为 ； 6．设随机变量 X 服从普阿松分布，且 2 3 4 ( 3) − P X = = e ，则 E(X ) = ； 7．从数字 1、2、3、4、5 中任取 3 个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是 偶数的概率为 ； 8．设 1 与 2 是未知参数 的两个 估计，且对任意的 满足 ( ) ( ) 1 2 D D ， 则称 1 比 2 有效； 9．加工某零件需三道工序，各工序互不影响，其次品率分别为 2%、3%、5%，则加工的 零件是次品的概率为 ； 10．在对总体参数的假设检验中，若给定显著性水平 （ 0 1 ），则犯第一类错误 的概率是 。 二、判断题：若对打“”；若错打“”。（每小题 2 分，共 20 分）
1.X.X2,X,是取自总体N以.)的样本，则不=立x,服从N0D分布： 2.函数F)=+上ac水01是未知参数，X1,X2,…,Xm是米自总体X的一个容量为刀的简单随机样 本，川矩估计法求0的估计量
1． X X Xn , , , 1 2 是取自总体 ( , ) 2 N 的样本，则 = = n i X i n X 1 1 服从 N(0,1) 分布； （ ） 2．函数 F(x) = + arctan x(− x +) 1 3 1 必为某随机变 量 X 的分布函数； （ ） 3．若 P(AB) = 0 ，则 AB 一定是空集； （ ） 4 ．对于任意两个事件 A、B ，必有 A B = A B ； （ ） 5．设 X1 , X 2 , , Xn 为总体 X 的随机样本，若 ( ) g X X Xn , , , 1 2 为一统计量，则 ( ) g X X Xn , , , 1 2 必为一连续函数。 （ ） 6．设 A、B、C 表示 3 个事件，则 A B C 表示“ A、B、C 中不多于一个发生”； （ ） 7．若 ( ) 2 X ~ N , ，则 E(X) = ,D(X) = ； （ ） 8．已知随机变量 X 与 Y 相互独立， D(X ) = 8, D(Y) = 4 ，则 D(X −Y) = 4 ； （ ） 9 ． 设 总 体 X ~ N(, 1) ， X1 , X 2 , X3 是 来 自 于 总 体 的 样 本 ， 则 1 2 3 6 3 6 1 6 1 ˆ = X + X + X 是 的无偏估计量； （ ） 10．设 A, B 是两个随机变量，且 0 P(A) 1，0 P(B), 1， 若 P(B A) = P(B ) ，则必 有 P(AB) = P(A)P(B) ； （ ） 三、计算题（每小题 7 分，共 35 分） 1．设总体 X 的概率密度为 ( ) ( ) + = ，其他 ， ； 0 1 0 1 ; x x f x 式中 -1 是未知参数， X X Xn , , , 1 2 是来自总体 X 的一个容量为 n 的简单随机样 本，用矩估计法求 的估计量
2.已知随机变量X的餐率密度为风x)=A州，一历<x<+切，试求(1)常数A: 2)P0<X< 3.某车间的白糖包装机包装量X、N(0.。2）其中0=500g,g2未知。一天开 工后为检验包装顺量，拍取了已装好的糖9袋，算得样本均值x=S04g,样本标准差 s=5g,试确定包装机工作是否正常？（显著性水平位=001,0.0W2⑧）=33554) 4.已知E(X)=-LDX)-3,试求3X2-2- 5,设某家庭有三个孩子，在已知至少有一个女孩的条作下。求这个家庭至少有一个男 孩的概率（假设一个小孩为男或女是等可能的）》， 四、证明题(15分) 设(X,X:",X,)是取自总体N0σ)的样本，试证明饶计量 S一三化-是总体方差a的无结计量
2．已知随机变量 X 的概率密度为 = − + − p x Ae x x ( ) , ，试求（1）常数 A ； （2） P0 X 1。 3．某车间的白糖包装机包装量 ( ) 2 0 X ~ N , ，其中 0 = 500g ， 2 未知。一天开 工后为检验包装质量，抽取了已装好的糖 9 袋，算得样本均值 x 504g _ = ，样本标准差 s = 5g ，试确定包装机工作是否正常？（显著性水平 = 0.01，t0.01 2 (8) = 3.3554 ） 4．已知 E(X ) = −1, D(X ) = 3 ，试求 [3( 2)] 2 E X − 。 5．设某家庭有三个孩子，在已知至少有一个女孩的条件下，求这个家庭至少有一个男 孩的概率（假设一个小孩为男或女是等可能的）。 四、证明题（15 分） 设 ( , , , ) X1 X2 Xn 是取自总体 (0, ) 2 N 的样本，试证明统计量 = 2 S = − − n i Xi X n 1 2 ( ) 1 1 是总体方差 2 的无偏估计量
参考答案： 一、填空题（每空格3分，共30分） 1.AU(BUC) 2.1 31-p-g 40.58 5是 62 号 8无偏 9.0.10 10.g. 二，判断圈（每小题2分，共20分） 1.错 2错 3错 4对 5.错 6错 7.错 &错 9.错 10对 三、计算题（每小题7分，共35分） .解：x)小-∫-∫0+he-8+ +2 3分 由矩估计法知
参考答案： 一、填空题（每空格 3 分，共 30 分） 1． ( ) __ A B C 2．1 3. 1− p − q 4. 0.58 5． 243 80 6.2 7. 5 2 8.无偏 9. 0.10 10. 。 二、判断题（每小题 2 分，共 20 分） 1．错 2. 错 3. 错 4. 对 5．错 6. 错 7. 错 8. 错 9. 错 10.对 三、计算题（每小题 7 分，共 35 分） 1． 解： ( ) ( ) ( ) 2 1 ; 1 1 0 + + = = + = + − E X x f x dx x x dx 3 分 由矩估计法知
. 2分 a42 故得参数日的矩估计量 0.2-1 2分 1-x 2.解：)由于-C4e州k=2= 21,+所以=州，a分) :(4分) 3.解：原假设H0:4=500 1分 样本均值x=504,样本方差2=25， 1分 于是 1=-= 504-500 =24 2分 √s21n 25 1 对于a=0.01,自由度n-1=8,f0.0W28)=3.3554 1分 因为<tan-) 1分 2 所以接受H0,即认为包装机工作正常， 1分 4.解：利用均值的性质可得可3X2-2)=3E(X2)-6:(3分) 又因为E(X2)=DX)+(E(X)2,所以E(X2)=3+(-)2=4:(3分) 代入上式可以求得可3(X2-2】=6。(1分) 5.解：授A为“三个核子中至少有一个男核”，B为“三个核子中至少有一个女孩”。 由
__ 2 1 = X + + 2 分 故得参数 的矩估计量 __ __ 1 2 1 X X − − = 2 分 2．解：（1）由于 ( ) 2 1 0 = = = + − + − − + − p x dx Ae dx A e dx x x 即 2A=1，A= 2 1 ，所以 x p x e − = 2 1 ( ) ； （3 分） （2） 2 1 2 1 {0 1} 1 1 0 − − − = = e P X e dx x ； （4 分） 3．解：原假设 H0 : = 500 1 分 样本均值 504 _ x = ，样本方差 25 2 s = ， 1 分 于是 2.4 9 25 504 500 / 2 0 = − = − = − − s n x t 2 分 对于 = 0.01 ，自由度 n −1= 8，t0.01 2 (8) = 3.3554 1 分 因为 ( 1) 2 t t n − 1 分 所以接受 H0 ，即认为包装机工作正常。 1 分 4．解：利用均值的性质可得 [3( 2)] 3 ( ) 6 2 2 E X − = E X − ；（3 分） 又因为 2 2 E(X ) = D(X) + (E(X)) ，所以 ( ) 3 ( 1) 4 2 2 E X = + − = ； （3 分） 代入上式可以求得 [3( 2)] 6 2 E X − = 。（1 分） 5． 解： 设 A 为“三个孩子中至少有一个男孩”， B 为“三个孩子中至少有一个女孩”。 由
例=1宁号 3分 易见 P(AB)- 2分 故所求概率为 P(AB)-P(AB) 2分 P(B) 8 四、证明题(15分) 证明：因为(X,X,,X,)是取自总体N0,02)的样本，所以 Ex)-Dx)+(EX,y-g,ET)-D+(ETy.g,《分) 2x-w2x-2xR+)） 4它-空xR+ 位对{区a利 n03-n×）=0 n-1 因此一三化-是绝体方整女的无偏俗计鼠。8分
( ) 8 7 2 1 1 3 P B = − = 3 分 易见 ( ) 8 6 P AB = 2 分 故所求概率为 ( ) ( ) ( ) 7 6 8 7 8 6 = = = P B P AB P A B 2 分 四、证明题（15 分） 证明：因为 ( , , , ) X1 X2 Xn 是取自总体 (0, ) 2 N 的样本，所以 2 2 2 E(Xi ) = D(Xi ) + (E(Xi )) = ， n E X D X E X 2 2 2 ( ) ( ) ( ( )) = + = ； （7 分） 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 ( ) 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 1 ( 2 ) 1 1 ( ) 1 1 − = − = − − = − − = − + − = − + − = − − = = = = = = n n n n E X nE X n E X nX n E X X X nX n X X X X n X X E n E n i i n i i n i i n i i n i i i n i i 因此 = − − n i Xi X n 1 2 ( ) 1 1 是总体方差 2 的无偏估计量。 （8 分）