1.4倒易点阵和布里渊区 (Reciprocal lattice;Brillouin zones) 一.定义 二.倒易点阵和晶体点阵的关系 三.倒易点阵的物理意义 四.倒易点阵实例 五.布里渊区 参考：黄昆书1.3节；p175-179;Kittel8版2.3节
1.4 倒易点阵和布里渊区 (Reciprocal lattice; Brillouin zones) 一 . 定义 二. 倒易点阵和晶体点阵的关系 三. 倒易点阵的物理意义 四. 倒易点阵实例 五. 布里渊区 参考：黄昆书 1.3 节；p175-179; Kittel 8版 2.3 节
一.定义：假设1，a2,a3是一个晶体点阵的基矢，该点阵的 格矢为：Rm=n,a+n,a2+na3 原胞体积是： 2=a1(a2×a3) 现在定义3个新的基矢 b1=2π a2×a3 a1·(a2xa3) 1,b2,b3构成一个新点阵： b2=2π a3×a1 a·(a2×ā) (h,k,I是整数。) b=2π a1×a2 a(a2×a3 位移矢量 Gnkl hbr+kb2+1b3 就构成了上面点阵的 倒易点阵，上面变换公式中出现的2π因子，对于晶体学 家来说并没有多大用处，但对于固体物理研究却带来了极 大的方便。倒易点阵的概念是Ewald1921年在处理晶体X 射线衍射问题时首先引入的，对我们理解衍射问题极有帮 助，更是整个固体物理的核心概念
一 . 定义：假设 是一个晶体点阵的基矢，该点阵的 格矢为： 原胞体积是： 现在定义 3个新的基矢 构成一个新点阵： ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2 1 2 3 2 3 1 2 2 2 a a a a a b a a a a a b a a a a a b K K K K K K K K K K K K K K K K K K ⋅ × × = ⋅ × × = ⋅ × × = π π π 位移矢量 就构成了上面点阵的 倒易点阵，上面变换公式中出现的 因子，对于晶体学 家来说并没有多大用处，但对于固体物理研究却带来了极 大的方便。倒易点阵的概念是Ewald 1921年在处理晶体X 射线衍射问题时首先引入的，对我们理解衍射问题极有帮 助，更是整个固体物理的核心概念。 aaa 123 , , G G G Ω= × aa a 12 3 ( ) G G G Rn =++ na na na 11 1 123 i JG G G G bbb 123 , , GGG 2π G hb kb lb hkl =++ 1 23 JG G G G （ h,k,l 是整数。）
二.倒易点阵和晶体点阵之间的关系： 倒易点阵是从晶体点阵（以后简称正点阵）中定义出的， 可以方便地证明它和正点阵之间有如下关系： b,·d,=2πδ 1.两个点阵的基矢之间： 1,i=j 0,i≠ 1 2.两个点阵的格矢之积是2π的整数倍： Gh.Rn=2πm 3.两个点阵原胞体积之间的关系是： 2°=b1(b2xb3)= (2π)3 2 4.正点阵晶面族(h,k,I)与倒易点阵格矢Gk相互垂直， Gnkl hb1 +kb2 +163 且有： 2π d
二. 倒易点阵和晶体点阵之间的关系： 倒易点阵是从晶体点阵（以后简称正点阵）中定义出的， 可以方便地证明它和正点阵之间有如下关系： 2. 两个点阵的格矢之积是 的整数倍： 3. 两个点阵原胞体积之间的关系是： 4. 正点阵晶面族 与倒易点阵格矢 相互垂直， 1. 两个点阵的基矢之间： 2π ( ,k,l) h Ghkl JG Ghkl 1 2 3 =++ hb kb lb JG G G G 且有： ⎩⎨⎧ ≠= = ⋅ = i j i j b a ij i j ij 0 , 1, 2 δ πδ K K G R h n = 2 mπ JG JG i 3 * 12 3 (2 ) bb b ( ) π Ω= × = Ω G G G i 2 hkl hkl d G π = JG
1.证明：根据矢量运算规则，从倒格矢定义即可说明。 2.证明： Rn-Gm (nar+na2+na3)(hb+kb2 +1b3) =2π(n,h+n,k+n)=2πm (m为整数) 4.证明：先证明倒格矢Gh4=h,a1+ha2+h,a3 与正格子的晶面系(h,hh3)正交。 如图所示，晶面系(h,h,h)中最靠近原点的晶面(ABC) 在正格子基矢a1,a2,a3的截距分别为：a1a2a3 h’h2’h
2. 证明： 1 2 3 1 23 11 1 123 ( )( ) 2( ) 2 R G n a n a n a hb kb lb n hkl π π nh nk nl m = + + ++ = ++ = JG JG G G G G G G i i （m 为整数） 1. 证明：根据矢量运算规则，从倒格矢定义即可说明。 4. 证明：先证明倒格矢 与正格子的晶面系 正交。 如图所示，晶面系 中最靠近原点的晶面（ABC） 在正格子基矢 的截距分别为： 123 ,, 1 2 3 12 3 G ha ha ha hh h =+ + JG GGG 123 ( ) hhh 123 ( ) hhh aaa 123 , , G G G 123 123 , , aaa hhh G G G
于是： CA=OA-OC as Gh CB=0B-OC= a3 0 h h a2 az h2 ·G4h4CA= A A6+hb+Ab爱爱 图1-18 晶面与倒易点阵位矢关系示意图 =2π-2π=0 同理 Gh,CB=0而且CA,CB都在(ABC)面上， 所以 Gh,与晶面系(h,h,h)正交
1 3 1 3 2 3 2 3 a a CA OA OC h h a a CB OB OC h h = − =− = − =− G G JJG JJJG JJJG G G JJJG JJJG JJJG 于是： 123 1 3 123 12 3 1 3 ( )( ) 220 G CA hh h a a hb hb hb h h π π = ++ − =−= JG JJG ∵ i G G GGG i G CB hh h 123 = 0 JG JJJG 同理 而且 都在（ i ABC)面上， 所以 与晶面系 正交。 CA CB , JJG JJJG 123 Ghh h JG 123 ( ) hhh
晶面系的面间距就是原点到ABC面的距离，由于Gh,⊥(ABC) 可以证明： =OA 2π dahnls G Giah 由此我们得出结论：倒易点阵的一个基矢是和正点阵晶格中 的一族晶面相对应的，它的方向是该族晶面的法线方向，而 它的大小是该族晶面面间距倒数的2π倍。又因为倒易点阵基 矢对应一个阵点，因而可以说：晶体点阵中的晶面取向和晶 面面间距这2个参量在倒易点阵里只用一个点阵矢量（或说 阵点)就能综合地表达出来
晶面系的面间距就是原点到ABC面的距离，由于 可以证明： 123 G ABC hh h ⊥ ( ) JG 123 123 123 123 hh h 2 hh h hh h hh h G d OA G G π = = JG JJJG i JG JG 由此我们得出结论：倒易点阵的一个基矢是和正点阵晶格中 的一族晶面相对应的，它的方向是该族晶面的法线方向，而 它的大小是该族晶面面间距倒数的 2π倍。又因为倒易点阵基 矢对应一个阵点，因而可以说：晶体点阵中的晶面取向和晶 面面间距这 2 个参量在倒易点阵里只用一个点阵矢量（或说 阵点）就能综合地表达出来
(hkl) Gnkl =Ghkiln 0 (a/h) Figure 1-49 Construction for the determination of the spacing between successive (hkl)planes. 上述第4点的图示。见Blakemore p70
上述第4点的图示。见Blakemore p70
5.正点阵和倒易点阵是互易的：由正点阵a,a2,a3给出倒易 点阵b1,b2,3现假定b1,b2,b为正点阵，则其 倒易点阵根据定义：一c,=2元(2×) 利用三重矢积公式：Ax(BxC)=B(AC)-C(AB) 可以得到不×系-晋aa日aa)-2a Ω 又因为： 2.2=b1(b2×b3)2=(2π)2(a1b1)=(2π) 所以： 0- 2π(2π)2-- a1=a1 Ω Ω 同样可以证明：C2=a2,C3=Q3
5. 正点阵和倒易点阵是互易的：由正点阵 给出倒易 点阵 现假定 为正点阵，则其 倒易点阵根据定义为： bbb 123 , , G G G 2 3 1 * 2 c bb ( ) π = × Ω G G 2 23 31 12 1 2 2 (2 ) bb aa aa a ( )( ) ππ π ×= × × × = ΩΩ Ω G G GG GG G A×× = − ( )( )( ) B C B AC C AB JG JG JG JG JG JG JG JG JG 利用三重矢积公式： i i 可以得到： * 23 Ω ⋅Ω = × ⋅Ω = = b b b ab 1 2 3 11 ( ) (2 ) ( ) (2 ) π π G G G GG i i 2 1 11 * 2 (2 ) c aa π π = = Ω Ω G G G 又因为： 所以： c ac a 2 23 3 = = , , G GG G 同样可以证明： bbb 123 , , GGG aaa 123 , , G G G
三.倒易点阵(Reciprocal lattice)的物理意义： 倒易点阵的物理意义和在分析周期性结构和相应物性中 作为基本工具的作用，需要我们在使用中逐步理解。 当一个点阵具有位移矢量Rm=n,a1+n,a2+na3 时，考虑到周期性特点，一个物理量在r点的数值「() 也应该具有周期性：『(r)=T(r+R) 两边做Fourier展开，有： >I(G)exp(iG)=>I(G)exp(iG)exp(iGw-R.) 显然： exp(iGnkI-Rn)=1, 即： G-Rn=2πm 既然R是正点阵的格矢，符合该关系的 Ghkt 就是倒易点阵 的格矢。所以，同一物理量在正点阵中的表述和在倒易点阵中 的表述之间服从Fourier变换关系
三. 倒易点阵（Reciprocal lattice）的物理意义： 倒易点阵的物理意义和在分析周期性结构和相应物性中 作为基本工具的作用，需要我们在使用中逐步理解。 当一个点阵具有位移矢量 时，考虑到周期性特点，一个物理量在 r 点的数值 也应该具有周期性： 两边做Fourier展开，有： 显然： 即： 123 11 1 Rn =++ na na na JG GGG Γ( )r Γ =Γ + () ( ) r rRn G G JG ( ) exp( ) ( ) exp( ) exp( ) hkl hkl hkl hkl hkl n K K ∑ ∑ Γ =Γ G iG r G iG r iG R JG JG G JG JG G JG JG i ii exp( ) 1, 2 m hkl n hkl n iG R G R π = = JG JG i JG JG i 既然 是正点阵的格矢，符合该关系的 就是倒易点阵 的格矢。所以，同一物理量在正点阵中的表述和在倒易点阵中 的表述之间服从Fourier变换关系。 Rn JG Ghkl JG
实际上，晶体结构本身就是一个具有晶格周期性的 物理量，所以也可以说：倒易点阵是晶体点阵的 Fourier?变换，晶体点阵则是倒易点阵的Fourier逆变换。 因此，正格子的量纲是长度1，称作坐标空间，倒格子 的量钢是长度的倒数卜1，称作波矢空间。例如：正点阵 取cm,倒易点阵是cm-1,下面我们将看到： 晶体的显微图像是真实晶体结构在坐标空间的映像。 晶体的衍射图像则是晶体倒易点阵的映像。 倒易点阵是在晶体点阵（布拉菲格子）的基础上定 义的，所以每一种晶体结构，都有2个点阵与其相联 系，一个是晶体点阵，反映了构成原子在三维空间做周 期排列的图像；另一个是倒易点阵，反映了周期结构物 理性质的基本特征
实际上，晶体结构本身就是一个具有晶格周期性的 物理量，所以也可以说：倒易点阵是晶体点阵的 Fourier变换，晶体点阵则是倒易点阵的Fourier逆变换。 因此，正格子的量纲是长度 l, 称作坐标空间，倒格子 的量钢是长度的倒数 l-1，称作波矢空间。例如：正点阵 取cm,倒易点阵是cm-1, 下面我们将看到： 晶体的显微图像是真实晶体结构在坐标空间的映像。 晶体的衍射图像则是晶体倒易点阵的映像。 倒易点阵是在晶体点阵（布拉菲格子）的基础上定 义的，所以每一种晶体结构，都有 2个点阵与其相联 系，一个是晶体点阵，反映了构成原子在三维空间做周 期排列的图像；另一个是倒易点阵，反映了周期结构物 理性质的基本特征
