第七章 金属电导理论 在讨论晶体的能带时，我们假定离子所构成的晶 格是静止的（或者类似静止的，既不考虑晶格和电子 系统之间的能量和动量交换)；在讨论晶格振动问题 时，我们也有类似的假定。但是，实际晶体中晶格同 电子之间存在能量和动量地交换，既存在电子-声子相 互作用。 对于一个在外场中实际晶体系统，电子在外场中 被加速（吸收能量），同时以发射声子的方式损失能 量。发射声子就是激发晶格振动模式。电子除去会受 到晶格的散射外，还会受到晶体中杂质、缺陷等散射
第七章 金属电导理论 在讨论晶体的能带时，我们假定离子所构成的晶 格是静止的（或者类似静止的，既不考虑晶格和电子 系统之间的能量和动量交换）；在讨论晶格振动问题 时，我们也有类似的假定。但是，实际晶体中晶格同 电子之间存在能量和动量地交换，既存在电子-声子相 互作用。 对于一个在外场中实际晶体系统，电子在外场中 被加速（吸收能量），同时以发射声子的方式损失能 量。发射声子就是激发晶格振动模式。电子除去会受 到晶格的散射外，还会受到晶体中杂质、缺陷等散射
其次，在自由电子论讨论电导问题时使用了一个忽略 电子碰撞细节的弛豫时间近似。在这个近似中假定电子在 外场中的非平衡分布对于电子碰撞的几率，以及碰撞后电 子的分布没有任何影响。尽管这个假定对于简化问题非常 有用，但我们可以很容易就看到其中的问题。因为既使是 在独立电子近似下，电子的分布对于电子碰撞几率和碰撞 后电子的分布都会有至关重要的影响。因为根据泡利不相 容原理，被碰撞的电子只可能跃迁到空态上，这就限制了 碰撞的发生。此外，碰撞前电子的分布形式也限定了碰撞 后电子的可能分布形式，所以具有不同能带结构的不同金 属，它们的电阻率会相差很大
其次，在自由电子论讨论电导问题时使用了一个忽略 电子碰撞细节的弛豫时间近似。在这个近似中假定电子在 外场中的非平衡分布对于电子碰撞的几率，以及碰撞后电 子的分布没有任何影响。尽管这个假定对于简化问题非常 有用，但我们可以很容易就看到其中的问题。因为既使是 在独立电子近似下，电子的分布对于电子碰撞几率和碰撞 后电子的分布都会有至关重要的影响。因为根据泡利不相 容原理，被碰撞的电子只可能跃迁到空态上，这就限制了 碰撞的发生。此外，碰撞前电子的分布形式也限定了碰撞 后电子的可能分布形式，所以具有不同能带结构的不同金 属，它们的电阻率会相差很大
总之，我们要在能带论的基础上重新处理电导问题。 按照能带论，晶体中电子速度为： .()=E() 晶体中的电子是按能带分布的，处于不同能带、不同 状态的电子有着不同的速度（波包速度），所以它们对电导 的贡献是不同的，只有建立起能够确定外场作用下非平衡分 布函数的半经典方程一Boltzmann方程后才有可能处理好 金属电导问题。 除去电导以外，晶体的许多重要性质，如热导、热电 效应、电流磁效应等与电子的输运过程有关的性质也和上 述分析一样，需要在能带论基础上重新考虑。所以本章给 出的结果对输运过程有普遍意义
除去电导以外，晶体的许多重要性质，如热导、热电 效应、电流磁效应等与电子的输运过程有关的性质也和上 述分析一样，需要在能带论基础上重新考虑。所以本章给 出的结果对输运过程有普遍意义。 ( ) 1 (k ) E k n k n v h v u = Ñv 总之，我们要在能带论的基础上重新处理电导问题。 按照能带论，晶体中电子速度为： 晶体中的电子是按能带分布的，处于不同能带、不同 状态的电子有着不同的速度（波包速度），所以它们对电导 的贡献是不同的，只有建立起能够确定外场作用下非平衡分 布函数的半经典方程—— Boltzmann 方程后才有可能处理好 金属电导问题
本章思路： 金属载流子在外电场和温度梯度的驱动下会发生定向运 动，但他们同时也受到杂质、缺陷和晶格振动的散射，两种 因素相互竞争、最终达到平衡，从而形成稳态的输运现象。 我们采用半经典的Boltzmann方程及其弛豫时间近似作为处 理固体输运性质的基础。 采用半经典理论框架来处理本质上是量子力学多粒子系 统的行为，显然是有局限性的，因而需要更彻底的量子多体 理论来处理，但这类理论的具体计算比较复杂，要采用多体 Green函数，且只有在少数典型情况下取得了实用的结果， 这些结果大体验证了更加直观的上述半经典方法的可靠性， 因而在多数场合，我们更乐意使用Boltzmann方程来处理固 体输运现象
本章思路： 金属载流子在外电场和温度梯度的驱动下会发生定向运 动，但他们同时也受到杂质、缺陷和晶格振动的散射，两种 因素相互竞争、最终达到平衡，从而形成稳态的输运现象。 我们采用半经典的 Boltzmann 方程及其弛豫时间近似作为处 理固体输运性质的基础。 采用半经典理论框架来处理本质上是量子力学多粒子系 统的行为，显然是有局限性的，因而需要更彻底的量子多体 理论来处理，但这类理论的具体计算比较复杂，要采用多体 Green函数，且只有在少数典型情况下取得了实用的结果， 这些结果大体验证了更加直观的上述半经典方法的可靠性， 因而在多数场合，我们更乐意使用 Boltzmann 方程来处理固 体输运现象
7.1分布函数和Boltzmanni方程 (参考黄昆书6.3节p290) 处于平衡时，电子的分布遵从Fermi一Dirac统计， fo= 均匀体系与 r无关。 其中E=E(,u≈EF。在有外场（如电场、磁场或 温度梯度场)存在时，电子的平衡分布被破坏，在散射 比较弱的情况下，类似于气体分子运动论，我们可以用 由坐标r和波矢k组成的相空间中的半经典分布函数 f(r,k,)来描述电子的运动
7.1 分布函数和 Boltzmann方程 处于平衡时，电子的分布遵从 Fermi－Dirac 统计， 其中E = En (k)， 。在有外场（如电场、磁场或 温度梯度场）存在时，电子的平衡分布被破坏，在散射 比较弱的情况下，类似于气体分子运动论，我们可以用 由坐标 r 和波矢 k 组成的相空间中的半经典分布函数 f (r, k, t) 来描述电子的运动。 （参考黄昆书6.3节p290） ( ) 0 1 exp 1 B f E k k T m = æ ö - ç ÷ - è ø m » EF 均匀体系与 r 无关
分布函数f(r,k,)的物理意义是，在t时刻，电子的位 置处在r→+dr的体积元内，电子的状态处在k→k+dk范 围内单位体积的电子数为： (r,kt)drdk 2 dn= 分布函数f随时间的改变主要来自两方面：一是电子在 外场作用下的漂移运动，从而引起分布函数的变化，这属于 破坏平衡的因素，称为漂移变化；另一个是由于电子的碰撞 而引起分布函数的变化，它是建立或恢复平衡的因素，称为 碰撞变化。因此，分布函数的变化率为： df af dt 8t Ot
分布函数 f (r, k, t)的物理意义是，在 t 时刻，电子的位 置处在 r →r+dr 的体积元内，电子的状态处在 k → k+dk 范 围内单位体积的电子数为： ( ) 3 3 3 2 d d d 8 n f r k p = r,k,t 分布函数 f 随时间的改变主要来自两方面：一是电子在 外场作用下的漂移运动，从而引起分布函数的变化，这属于 破坏平衡的因素，称为漂移变化；另一个是由于电子的碰撞 而引起分布函数的变化，它是建立或恢复平衡的因素，称为 碰撞变化。因此，分布函数的变化率为： d c d d f f f f t t t t æ ¶ ö æ ¶ ¶ ö æ ö = ç ÷ + + ç ÷ ç ÷ è ¶ ø è ¶ ¶ ø è ø
为漂移项， 为碰撞项， 为瞬变项 当体系达到稳定时，分布函数f中不显含时间 )且-0 =0 漂移项代表不考虑碰撞时，r,k,t处的电子来自于 r-dr,k-dk,t-dt。 f正，E,)=f下-t,k-dt,t-dt)
d f t æ ö ¶ ç ÷ è ø ¶ 为漂移项， c f t æ ö ¶ ç ÷ è ø ¶ 为碰撞项， f t æ ö ¶ ç ÷ è ø ¶ 为瞬变项 当体系达到稳定时，分布函数 f 中不显含时间 t 0 f t æ ö ¶ ç ÷ = è ø ¶ d 0 d f t 且 = d c 0 f f t t æ ¶ ¶ ö æ ö \ç ÷ + = ç ÷ è ¶ ¶ ø è ø 漂移项代表不考虑碰撞时，r，k，t 处的电子来自于 r-dr，k-dk，t-dt。 f (r,k ,t) = f (r - rdt,k - - kdt,t t d ) v v v v v v & &
存在碰撞时： f(行，无，t)=f(F-dt,k-d,t-dt)+ 可以展开f保留到dt的线性项得： f-,E-d,1-d0）=fck,）--i- af 8t 衍 则有： f行，k,)=f,k,)- 是-紧 at or ok +.+元= 8t coll
则有： 可以展开 f 保留到 dt 的线性项得： ( d , d , d ) ( , , ) f f f f r r t k k t t t f r k t r k t r k ¶ ¶ ¶ - - - = - - × - × ¶ ¶ ¶ v v v v v v & & v v & & v v 存在碰撞时： coll ( , , ) ( d , d , d ) f f r k t f r r t k k t t t t æ ö ¶ = - - - + ç ÷ è ø ¶ v v v v v v & & coll coll ( , , ) ( , , ) f f f f f r k t f r k t r k t r k t f f f f r k t r k t ¶ ¶ ¶ ¶æ ö = - - × - × + ç ÷ ¶ ¶ ¶ ¶ è ø ¶ ¶ ¶ ¶æ ö + × + × = ç ÷ ¶ ¶ ¶ ¶ è ø v v v v v v & & v v v v & & v v
因此稳态时，分布函数不显含时间，左边第一项为零： +龙. Boltzmann方程 Or ak coll 其中碰撞项的表示比较复杂，根据量子力学可以写出： （0）.Σe(e-1-e- ⊙(k',k),⊙(k,k)分别是电子从k态到k态，或者 反之的跃迁几率。 或者表示为： v.Vf+k.Vif=b-a (黄昆书6-52式p296)
×Ñ f + ×Ñ f = -b a & r k v k —— Boltzmann方程 因此稳态时，分布函数不显含时间，左边第一项为零： coll f f f r k r k t ¶ ¶ ¶æ ö × + × = ç ÷ ¶ ¶ ¶ è ø v v & & v v 或者表示为: （黄昆书6-52式p296） { ( ) [ ] ( ) [ ]} coll ' ( , , ) ' , ( ') 1 ( ) , ' ( ) 1 ( ') k f r k t k k f k f k k k f k f k t æ ö ¶ ç ÷ = Q - - Q - è ø ¶ å 其中碰撞项的表示比较复杂，根据量子力学可以写出： Q Q (k ' ,k ), (k k, ') 分别是电子从 k’态到 k 态，或者 反之的跃迁几率
其中：b=∫f(K)1-f(k)](K,k) dk' 8元 代表单位时间内因碰撞进入(？，k)处相空间单位体积内 的电子数。©(k',k)代表单位时间内从k态进入k态的 几率。该式考虑了泡利不相容原理。 a-f加-1pk) d'k' 代表了单位时间内由于碰撞而离开(，k)处单位体积的 电子数
其中： ( ) ( ) ( ) 3 3 d 1 , 8 k a f f p ¢ ¢ = é ù - ¢ ¢ Q × ò ë û k k k k k ( ) ( ) ( ) 3 3 d 1 , 8 k b f f p ¢ ¢ = ¢ ¢ é ù - Q × ò ë û k k k k k 代表了单位时间内由于碰撞而离开（r,k）处单位体积的 电子数。 代表单位时间内因碰撞进入（r,k）处相空间单位体积内 的电子数。 代表单位时间内从 k’ 态进入 k 态的 几率。该式考虑了泡利不相容原理。 Q(k k', )