6.4在恒定磁场中电子的运动： 一.恒定磁场中的准经典运动 二.自由电子的量子理论 三. 晶体中电子的有效质量近似 四.回旋共振 五.霍尔效应 六.De Haas一Van Alphen效应 见黄昆书5.4；5.5；5.6节 讨论晶体电子在恒定磁场中的运动，是分析晶体许多重 要物理效应的理论基础，有两种方法：准经典近似和求解含 磁场的Schrδdinger方程，前一方法所得结果物理图像清晰， 但有一定的局限性。正确地解释这些现象是能带论的成功之 作，反之这些现象也成为能带论最有力的实验证据
6.4 在恒定磁场中电子的运动： 见黄昆书 5.4；5.5；5.6节 一. 恒定磁场中的准经典运动 二. 自由电子的量子理论 三. 晶体中电子的有效质量近似 四. 回旋共振 五. 霍尔效应 六. De Haas－Van Alphen效应 讨论晶体电子在恒定磁场中的运动，是分析晶体许多重 要物理效应的理论基础，有两种方法：准经典近似和求解含 磁场的Schrödinger方程，前一方法所得结果物理图像清晰， 但有一定的局限性。正确地解释这些现象是能带论的成功之 作，反之这些现象也成为能带论最有力的实验证据
一.恒定磁场中的准经典运动 依然沿用准经典运动的两个基本方程： 肉，E(侧 i jk -e vx Vy F=-ev(k)xB=方 B B B dt 只考虑磁场中的行为，公式中没有电场力，只有 Lorent忆力，磁场对电子的作用和电场不同，它不作功 不改变电子的能量。该公式表明，在只涉及外力时， 晶体动量起着普通动量的作用，我们假定只在z方向有 磁场，先在波矢空间下讨论B引och电子的行为
一. 恒定磁场中的准经典运动 依然沿用准经典运动的两个基本方程： ( ) ( ) = ( ) E e t = Ñ - ´ h h 1 d d k v k k k F v k B = { 只考虑磁场中的行为，公式中没有电场力，只有 Lorentz 力，磁场对电子的作用和电场不同，它不作功 不改变电子的能量。该公式表明，在只涉及外力时， 晶体动量起着普通动量的作用，我们假定只在z方向有 磁场，先在波矢空间下讨论Bloch电子的行为。 x y z x y z i j k e v v v B B B -
dk ⊥B 表明沿磁场方向k的分量不随时间而变， dt 即在k空间中，电子在垂直于磁场B的平面内运动； 又由于Lorentz力不做功，F⊥y,所以电子的能量E(k)不 随时间而变，即电子在等能面上运动。 综合以上两点，可以 看出： 电子在k空间中 的运动轨迹是垂直于 磁场的平面与等能面 的交线，即电子在垂 直于磁场的等能线上 运动。一般情形等能 线形状是很复杂的
t ^ d d k B 表明沿磁场方向 k 的分量不随时间而变， 即在 k 空间中，电子在垂直于磁场 B 的平面内运动； 又由于Lorentz力不做功， ，所以电子的能量 E(k)不 随时间而变，即电子在等能面上运动。 F v ^ 综合以上两点，可以 看出： 电子在 k 空间中 的运动轨迹是垂直于 磁场的平面与等能面 的交线，即电子在垂 直于磁场的等能线上 运动。一般情形等能 线形状是很复杂的。 B
也可从公式dk=[()×B]d出发直接说明此点： 上式表明：磁场作用下，电子在k空间运动，其位移dk垂 直于V和B所决定的平面，dk垂直于B,这意味着电子的 轨道处于与磁场垂直的平面内，dk还垂直于V,因为v垂 直于k空间的等能面，这意味着dk处在这个等能面内，综 合上述两点可以确定：电子沿着垂直于磁场的等能线做旋转 运动，且对磁场而言是反时针旋转。 电子沿等能线运动， 既不从磁场吸收能量 电子轨道 ，也不把能量传递给 磁场，这与电磁学中 等能线) 电荷和磁场相互作用 的规律是一致的
( ) e = t - é ´ ù ë û h 也可从公式 d d k v k B 出发直接说明此点： 上式表明：磁场作用下，电子在 k 空间运动，其位移dk 垂 直于 v 和 B 所决定的平面，dk 垂直于 B，这意味着电子的 轨道处于与磁场垂直的平面内，dk 还垂直于 v ，因为 v 垂 直于 k 空间的等能面，这意味着 dk 处在这个等能面内，综 合上述两点可以确定：电子沿着垂直于磁场的等能线做旋转 运动，且对磁场而言是反时针旋转。 电子沿等能线运动， 既不从磁场吸收能量 ，也不把能量传递给 磁场，这与电磁学中 电荷和磁场相互作用 的规律是一致的
如图所示电子在k空间中的运动是循环的，经过一段时间 后又回到出发的那一点。按照上式： 电子回旋运动周期： dk dk E=const v取垂直于磁场的分量。 回旋运动圆频率(Cyclotron frequency): 2元 0。= =2πeB T dk E=const 这里，微分dk是沿回路周边取的，一般情况形状复杂
电子回旋运动周期： 回旋运动圆频率（Cyclotron frequency)： const const const d d d E E E k k T t eB v = = = k ^ = = = ò ò ò v v h w Ñ Ñ Ñ & v 取垂直于磁场的分量。 const 2 2 d c E eB T k v p w p = ^ = = ò v h Ñ 如图所示电子在 k 空间中的运动是循环的，经过一段时间 后又回到出发的那一点。按照上式： 这里，微分dk 是沿回路周边取的，一般情况形状复杂
对于自由电子： E- 一 (k)= m dk, eB dt m eB 有： m =0 或：v(k)= m 电子的运动轨道为圆，如下图 在等能线上，k,=const.. 2元=2πeB 2πeB eB T dk m.2元k, m hk
对于自由电子： ( ) = h 2 2 k E 2m k 电子的运动轨道为圆，如下图 ( ) ^ ^ = hk v m k 在等能线上，k^ ＝ const. const 2 2 2 d 2 c E eB eB eB T m k m k v k p p w p p ^ = ^ ^ = = = = × ò v h h h Ñ d d d d d 0 d x y y x z k eB k t m k eB k t m k t = - = = ( ) ( ) d d k v k m k e k B t m = = - ´ r r h r r ur 有： 或：
磁场作用下自由电子 在k空间中的运动轨道 k常数 是圆。其回旋频率： eB 0。= m e常数 从前面讨论中可以看出： Bloch电子在磁场中虽然也在做回旋运动，但由于其等能面 的复杂变化（见6.8节)，其运动轨迹要复杂的多，因而其 回旋频率的表达式需要具体积分求出。在能带底和能带顶， 情况变得简单，可以给出类似自由电子的表达式： eB 0e m*是Bloch电子的有效质量 m*
磁场作用下自由电子 在 k 空间中的运动轨道 是圆。其回旋频率： c eB m w = 从前面讨论中可以看出： Bloch 电子在磁场中虽然也在做回旋运动，但由于其等能面 的复杂变化（见 6.8 节），其运动轨迹要复杂的多，因而其 回旋频率的表达式需要具体积分求出。在能带底和能带顶， 情况变得简单，可以给出类似自由电子的表达式： * c eB m w = m* 是 Bloch 电子的有效质量
由上面自由电子的公式可以给出： 磁场沿z轴方向，有 dv:_ eB dt m dv. eB dt 投影 m =0 dt 在实空间中，沿磁场方向， V,是常数，即做匀速运动， 电子的运动轨迹为一螺旋线
在实空间中，沿磁场方向， 是常数，即做匀速运动， 电子的运动轨迹为一螺旋线。 由上面自由电子的公式可以给出： 磁场沿 z 轴方向，有 0 x y y x z v eB v t m v eB v t m v t = - = = d d d d d d z v
解为 Vx Vocos@t v +y2 Vy Vosin@ot eB v.const. 00 m 实空间中电子的运动图象：沿磁场方向（方向)，电子作匀 速运动，在垂直于磁场的平面内，电子作匀速圆周运动。 eB 回转频率： 00= m 对于晶体中的电子 F=-evx B
解为 0 0 0 0 cos sin x y z v v v v v . w w = = = const t { t 2 2 2 0 0 x y v v v eB m w = + = 实空间中电子的运动图象：沿磁场方向（z方向），电子作匀 速运动，在垂直于磁场的平面内，电子作匀速圆周运动。 回转频率： 0 eB m w = 对于晶体中的电子 { d 1 dt m e * é ù = × ê ú ë û - ´ v F F = v B
在主轴坐标系中有 =1 v dv=. dt mx dt m. dt m. 若磁场方向取在z轴方向，B=B,即可写出其相 应的准经典运动方程。 dvs eB di mx dy. eB -V dt my dv. 0 dt 这与普通物理中的结果是一致的
在主轴坐标系中有 d 1 d 1 d 1 , , d d d x z y x y z x y z v v v F F F t m t m t m * * * === 若磁场方向取在 z轴方向，B＝Bk，即可写出其相 应的准经典运动方程。 d d d d d 0 d x y x y x y z v eB v t m v eB v t m v t * * = - = = 这与普通物理中的结果是一致的