第三章 晶格振动 3.1晶格振动的经典理论 3.2 晶格振动的量子化一声子 3.3固体热容的量子理论 3.4离子晶体的红外光学性质 3.5非简谐效应：晶体的热膨胀和热传导 3.6晶格振动的实验研究 参考黄昆书第三章，Kittel书第四和第五两章
第三章 晶格振动 3.1 晶格振动的经典理论 3.2 晶格振动的量子化－声子 3.3 固体热容的量子理论 3.4 离子晶体的红外光学性质 3.5 非简谐效应：晶体的热膨胀和热传导 3.6 晶格振动的实验研究 参考黄昆书第三章，Kittel 书第四和第五两章
固体的许多性质都可以基于静态模型来理解（即 晶体点阵模型)，即认为构成固体的原子在空间做严 格的周期性排列，在该框架内，我们讨论了X光衍射 发生的条件，求出了晶体的结合能，以后还将在此框 架内，建立能带论，计算金属大量的平衡性质。然而 它只是实际原（离）子构形的一种近似，因为原子或 离子是不可能严格的固定在其平衡位置上的，而是在 固体温度所控制的能量范围内在平衡位置附近做微振 动。只有深入地了解了晶格振动的规律，更多的晶体 性质才能得到理解。如：固体热容，热膨胀，热传 导，融化，声的传播，电导率，压电现象，某些光学 和介电性质，位移性相变，超导现象，晶体和辐射波 的相互作用等等
固体的许多性质都可以基于静态模型来理解（即 晶体点阵模型），即认为构成固体的原子在空间做严 格的周期性排列，在该框架内，我们讨论了X 光衍射 发生的条件，求出了晶体的结合能，以后还将在此框 架内，建立能带论，计算金属大量的平衡性质。然而 它只是实际原（离）子构形的一种近似，因为原子或 离子是不可能严格的固定在其平衡位置上的，而是在 固体温度所控制的能量范围内在平衡位置附近做微振 动。只有深入地了解了晶格振动的规律，更多的晶体 性质才能得到理解。如：固体热容，热膨胀，热传 导，融化，声的传播，电导率，压电现象，某些光学 和介电性质，位移性相变，超导现象，晶体和辐射波 的相互作用等等
晶格振动的研究始于固体热容研究，19世纪初人们就通过 Dulong-Petit定律 =3NkB≠f(T),(E=3NkT) 认识到：热容量是原子热运动在宏观上的最直接表现，然而直到 20世纪初才由Einstein利用Plank量子假说解释了固体热容为什 么会随温度降低而下降的现象(1907年)，从而推动了固体原子 振动的研究，1912年玻恩(Born,1954年Nobel物理学奖获得者) 和冯卡门(Von-Karman)发表了论晶体点阵振动的论文，首次使 用了周期性边界条件，但他们的研究当时被忽视了，因为同年发 表的更为简单的Debye热容理论（弹性波近似）已经可以很好的 说明当时的实验结果了，但后来更为精确的测量却表明了Debye 模型不足，所以1935年Blakman才重新利用Born和Von-Karman 近似讨论晶格振动，发展成现在的晶格动力学理论。后来黄昆先 生在晶格振动研究上成就突出，特别是1954年和Born共同写作 的《晶格动力学》一书已成为该领域公认的权威著作
晶格振动的研究始于固体热容研究，19 世纪初人们就通过 Dulong-Petit 定律 认识到：热容量是原子热运动在宏观上的最直接表现，然而直到 20世纪初才由Einstein 利用Plank量子假说解释了固体热容为什 么会随温度降低而下降的现象（1907年），从而推动了固体原子 振动的研究，1912年玻恩(Born，1954年 Nobel物理学奖获得者) 和冯卡门（Von-Karman)发表了论晶体点阵振动的论文，首次使 用了周期性边界条件，但他们的研究当时被忽视了，因为同年发 表的更为简单的Debye热容理论（弹性波近似）已经可以很好的 说明当时的实验结果了，但后来更为精确的测量却表明了Debye 模型不足，所以1935年Blakman才重新利用Born和Von-Karman 近似讨论晶格振动，发展成现在的晶格动力学理论。后来黄昆先 生在晶格振动研究上成就突出，特别是1954年和Born共同写作 的《晶格动力学》一书已成为该领域公认的权威著作。 3 ( ),( 3 ) V A B A B V E c N k f T E N k T T æ ö ¶ = ç ÷ = ¹ = ¶ è ø
我国科学家黄昆院士在晶格振动理论上做出了重要贡献。 黄昆院士简介：（摘录） 1945-1947年，在英国布列斯托(Bristol)大学物理系学 习，获哲学博士学位；发表《稀固溶体的X光漫散射》论文， 理论上预言“黄散射”。 1948-1951年，任英国利物浦大学理论物理系博士后研究 员，这期间建立了“黄方程”，提出了声子极化激元的概念，并 与李爱扶(A.Rhys)建立了多声子跃迁理论。 1947-1952年，与玻恩教授合著《晶格动力学》一书（英 国牛津出版社，1954年)。(2006年中文版) 黄昆对晶格动力学和声子物理学的发展做出了卓越的贡 献。他的名字与多声子跃迁理论、X光漫散射理论、晶格振动 长波唯象方程、二维体系光学声子模联系在一起。他是“极化 激元”概念的最早阐述者
黄昆院士简介: （摘录） 1945-1947年，在英国布列斯托（Bristol）大学物理系学 习，获哲学博士学位；发表《稀固溶体的X光漫散射》论文， 理论上预言“黄散射” 。 1948-1951年，任英国利物浦大学理论物理系博士后研究 员，这期间建立了“黄方程” ，提出了声子极化激元的概念，并 与李爱扶（A.Rhys）建立了多声子跃迁理论。 1947-1952年，与玻恩教授合著《晶格动力学》一书（英 国牛津出版社，1954年）。（2006年中文版） 黄昆对晶格动力学和声子物理学的发展做出了卓越的贡 献。他的名字与多声子跃迁理论、X光漫散射理论、晶格振动 长波唯象方程、二维体系光学声子模联系在一起。他是“极化 激元”概念的最早阐述者 。 我国科学家黄昆院士在晶格振动理论上做出了重要贡献
3.1晶格振动的经典理论 一维单原子链的晶格振动 一维双原子链的晶格振动 三.三维晶体中原子的振动 参考： 四.态密度函数 黄昆书3.2一3.4节（p82-103) 3.8节（p132-137) 五.近似条件与使用范围 Kittel书4.1和4.2两节 晶格振动虽是一个十分复杂的多粒子问题，但在一定条 件下，依然可以在经典范畴求解，一维原子链的振动就是最 典型的例子，它的振动既简单可解，又能较全面地表现出 晶格振动的基本特点
3.1 晶格振动的经典理论 参考： 黄昆书 3.2－3.4节（p82-103） 3.8节（p132-137) Kittel 书 4.1 和 4.2两节 一. 一维单原子链的晶格振动 二. 一维双原子链的晶格振动 三. 三维晶体中原子的振动 四. 态密度函数 五. 近似条件与使用范围 晶格振动虽是一个十分复杂的多粒子问题，但在一定条 件下，依然可以在经典范畴求解，一维原子链的振动就是最 典型的例子，它的振动既简单可解，又能较全面地表现出 晶格振动的基本特点
一.一维单原子链的振动 运动方程： 考虑N个质量为m的同种原子组成的一维单原子链的。设 平衡时相邻原子间距为a(即原胞大小)，在t时刻第n个原 子偏离其平衡位置的位移为n (+1)a (n+2)a &微880m0om0 1(n-2)a }(n-1)a 装匹 Un_2 un un+2
一. 一维单原子链的振动 运动方程： 考虑N个质量为 m 的同种原子组成的一维单原子链的。设 平衡时相邻原子间距为 a（即原胞大小），在 t 时刻第 n 个原 子偏离其平衡位置的位移为 mn n u n 1 u + n 2 u n 1 + u - n 2 u -
为了建立起运动方程，我们首先要对原子之间的相互作用力 做些讨论，设在平衡时，两原子的相互作用势为V(),产生 相对位移（例如δ=u1-w,)后势能发生变化是V(a+δ）， 将它在平衡位置附近做泰勒展开： 首项是常数，可取为能量零点，由于平衡时势能取极小值，第 二项为零，简谐近似下，我们只取到第三项，即势能展开式 中的二阶项（δ项)，而忽略三阶及三阶以上的项，显然， 这只适用于微振动，即δ值很小的情况。此时，恢复力： 6=-β6 相当于把相邻原子间的相互作用力看 dr dr2 作是正比于相对位移的弹性恢复力。 d"V B称为恢复力常数 B=
为了建立起运动方程，我们首先要对原子之间的相互作用力 做些讨论，设在平衡时，两原子的相互作用势为V(a)，产生 相对位移（例如 ）后势能发生变化是V(a+δ) ， 将它在平衡位置附近做泰勒展开： n n 1 d u u = - + 2 3 2 3 2 3 d 1 d 1 d ( ) ( ) ( ) d a 2 d 3! d a a V V V V r V a V a r r r d d d d æ ö æ ö æ ö = + = + + + + ××× ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø 首项是常数，可取为能量零点，由于平衡时势能取极小值，第 二项为零，简谐近似下，我们只取到第三项，即势能展开式 中的二阶项（δ2项），而忽略三阶及三阶以上的项，显然， 这只适用于微振动，即δ值很小的情况。此时，恢复力： 2 2 d d d d a V V f r r d bd æ ö = - = -ç ÷ = - è ø β称为恢复力常数 2 2 d d a V r b æ ö = -ç ÷ è ø 相当于把相邻原子间的相互作用力看 作是正比于相对位移的弹性恢复力
如只考虑最近邻原子间的相互作用，第n个原子受到的力： fn=f+2=-B(4n-4n+1)-B(4n-4n-1)=B(un+1+4n-1-24n)） 于是第n个原子的运动方程可写为： m d=B(4+4-24,） 一 维原子链上的每个原子，忽略边界原子的区别，应 有同样的方程，所以它是和原子数目相同的N个联立的线 性齐次方程。 方程的解：这样的线性齐次方程应有一个波形式的解： Hng Aei(ol-nag) 2元 λ A是振幅，w是角频率，q是波数，入是波长，naq是第n 个原子的位相因子，将试解代入方程求解
( ) ( ) ( ) f n = f f 1 + 2 = -b mn - mn+1 - b mn - mn-1 = b mn+ - 1 1 + - m m n n 2 如只考虑最近邻原子间的相互作用，第 n 个原子受到的力： ( ) 2 2 1 1 d 2 d n n n n u m t = b m + - + - m m 于是第n个原子的运动方程可写为： 一维原子链上的每个原子，忽略边界原子的区别，应 有同样的方程，所以它是和原子数目相同的 N个联立的线 性齐次方程。 方程的解：这样的线性齐次方程应有一个波形式的解： ( ) nq i t naq Ae w m - = A是振幅，ω是角频率，q 是波数，λ是波长，naq 是第n 个原子的位相因子，将试解代入方程求解。 2 q p l =
-mw'Ae-l=BhAeor-ao+Aeao-网-2ieeun -mo2=B(e-iag +eiag-2)=2B(cosaq-1) (利用欧拉公式) 色散关系 解得 -ag m Dispersion curves 这里⊙可正可负，我们取正值。丢掉了虚数解，因为晶体稳定 性要求o2≥0，否则原子位移将随时间增长而趋于无穷。 这个结果与无关，说明N个方程都有同样结果，即所有原 子都同时以相同的频率。和相同的振幅A在振动，但不同的 原子间有一个相差，相邻原子间的相差是ga 该结果还表示：只要⊙和q满足上述关系，试解就是联立方 程的解。通常把⊙和q的关系称作色散关系
这里ω可正可负，我们取正值。丢掉了虚数解，因为晶体稳定 性要求ω2≥0，否则原子位移将随时间增长而趋于无穷。 这个结果与 n 无关，说明 N 个方程都有同样结果，即所有原 子都同时以相同的频率ω和相同的振幅 A 在振动，但不同的 原子间有一个相差，相邻原子间的相差是 。 该结果还表示：只要ω和q 满足上述关系，试解就是联立方 程的解。通常把ω和 q 的关系称作色散关系。 ( ) ( ) ( ) ( ) { } 2 1 1 2 i t naq i t n aq i t n aq i t naq m Ae Ae Ae Ae w w w w w b é ù é ù ë û ë û - - - + - - - = + - ( ) ( ) 2 2 2 cos 1 iaq iaq mw b b e e aq - - = + - = - 1 2 sin 2 aq m b 解得 w = —— 色散关系 Dispersion curves qa （利用欧拉公式）
解的物理意义：格波 Aei(ot-nag) 原子振动以波的方式在晶体中传播。当两原子相距 2x 的 整数倍时，两原子具有相同的振幅和位相。 如：ma=na+2π1，m,n.l都是整数) 有：wn=Aexp[i(ot-mag)]=Aexp[i(ot-nag)]exp(-i2πl) Aexp i(ot-naq)=u, ≥1 该解表明：晶体中所有原子共同 参与的振动，以波的形式在整个 ↑】 n+2 晶体中传播，称为格波。 从形式上看，格波与连续介质弹性波完全类似，但连续介质 弹性波中的x是可以连续取值的；而在格波中只能取na格点位 置这样的孤立值。 连续介质弹性波：Ae(o-q)
解的物理意义： 格波 原子振动以波的方式在晶体中传播。当两原子相距 的 整数倍时，两原子具有相同的振幅和位相。 2 ma na l,(m, , n l q p = + 都是整数）。 2 q p 如： ( ) ( ) ( ) exp exp exp( 2 ) exp m n u A i t maq A i t naq i l A i t naq u w w p w = é - ù = é ù - - ë û ë û = é ù - = ë û 有： = 1 该解表明：晶体中所有原子共同 参与的振动，以波的形式在整个 晶体中传播，称为格波。 从形式上看，格波与连续介质弹性波完全类似，但连续介质 弹性波中的 x 是可以连续取值的；而在格波中只能取 na 格点位 置这样的孤立值。 ( ) nq i t naq Ae w m - = ( ) A i t xq e 连续介质弹性波： w -