1.2晶体的对称性：晶系，点群，空间群 一.对称性的概念 二.晶体中允许的对称操作 三.晶体宏观对称性的表述：点群 四.七个晶系和14种晶体点阵 五.晶体的微观对称性：空间群 六.点群对称性和晶体的物理性质 参考：黄昆书1.5-1.7节 阎守胜2.2节 ·除去晶体点阵外，晶体的结构还能够用什么样 的语言方便地描述？
1.2 晶体的对称性：晶系，点群，空间群 一 . 对称性的概念 二. 晶体中允许的对称操作 三. 晶体宏观对称性的表述：点群 四. 七个晶系和14种晶体点阵 五. 晶体的微观对称性：空间群 六. 点群对称性和晶体的物理性质 参考：黄昆 书 1.5－1.7 节 阎守胜 2.2 节 • 除去晶体点阵外，晶体的结构还能够用什么样 的语言方便地描述?
一.对称性的概念： 一个物体（或图形)具有对称性，是指该物 体（或图形）是由两个或两个以上的部分组成， 经过一定的空间操作（线性变换），各部分调换 位置之后整个物体（或图形）保持不变的性质。 对称操作：维持整个物体不变而进行的操作称作对 称操作。即：操作前后物体任意两点间的距离保持 不变的操作。 点对称操作：在对称操作过程中至少有一点保持不动 的操作。有限大小的物体，只能有点对称操作。 对称元素：对称操作过程中保持不变的几何要素： 点，反演中心；线，旋转轴；面，反映面等
对称操作：维持整个物体不变而进行的操作称作对 称操作。即：操作前后物体任意两点间的距离保持 不变的操作。 点对称操作：在对称操作过程中至少有一点保持不动 的操作。有限大小的物体，只能有点对称操作。 对称元素：对称操作过程中保持不变的几何要素： 点，反演中心；线，旋转轴；面，反映面等。 一.对称性的概念： 一个物体（或图形）具有对称性，是指该物 体（或图形）是由两个或两个以上的部分组成， 经过一定的空间操作（线性变换），各部分调换 位置之后整个物体（或图形）保持不变的性质
一些图形的对称操作： (a)圆 (b)正方形 (c)等腰梯形 (d)不规则四边形 对称形不同的几种图形 如何概括和区别四种图形的对称性？ 从旋转来看，圆形对绕中心的任何旋转都是不变的；正方形 只能旋转 才保持不变；后2个图形只有2π的旋转。 圆形的任一直径都是对称线；正方形只有4条连线是对称线； 等腰梯形只有两底中心连线是对称线
一些图形的对称操作： ● ● 如何概括和区别四种图形的对称性？ 从旋转来看，圆形对绕中心的任何旋转都是不变的；正方形 只能旋转 才保持不变；后 2个图形只有 的旋转。 圆形的任一直径都是对称线；正方形只有 4条连线是对称线； 等腰梯形只有两底中心连线是对称线。 3 , , 2 2 π π π 2 π
以上，考察在一定几何变换之下物体的不变性，使 用的几何变换（旋转和反射)都是正交变换一 保持 两点距离不变的变换： a11 2 13 数学上可以写作： a31 032 a33 02 03 其中A为正交矩阵 A = 02 03 a31 032 033 从解析几何知道，符合正交 变换的是：绕固定轴的转动 cos0 -sinθ0 (Rotation about an axis) A= sine 00 绕z轴旋转0角
以上，考察在一定几何变换之下物体的不变性，使 用的几何变换（旋转和反射）都是正交变换——保持 两点距离不变的变换： 11 12 13 21 22 23 31 32 33 ' ' ' x aaa x y aaa y z aaa z ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ i 11 12 13 21 22 23 31 32 33 i j aaa A aaa aaa ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ HG 其中 Aij 为正交矩阵 从解析几何知道，符合正交 变换的是：绕固定轴的转动 (Rotation about an axis) 绕 z 轴旋转 θ 角 cos sin 0 sin cos 0 0 01 Ai j θ θ θ θ ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ HG 数学上可以写作：
反演：(Inversion) 1,() A街 x,y,2〉-X,-y,-2 反映(Reflection) m,o (Z=0的平面) 恒等操作 Au 1(E) 0 表示对称操作的符号有两种，这里用的是国际符号
10 0 0 10 00 1 10 0 01 0 00 1 100 010 001 ij ij ij A A A ⎛ ⎞ −⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ HG HG HG 反演：（Inversion ) 1,(i) 反映 （Reflection ) 恒等操作 m , σ （Z=0 的平面） 1(E) xyz x y z ,, , , →− − − 表示对称操作的符号有两种，这里用的是国际符号
如果，一个物体在某一正交变换下保持不变，我们就称这个 变换为物体的一个对称操作。一个物体可能的对称操作越多， 它的对称性就越高。立方体具有较高的对称性，它有48个对称 2π4π 操作：绕4条体对角线可以旋转 3,3共8个对称操作： 绕3个立方边可以旋转？，，3江 共9个对称操作；绕6条棱 2’2 对角线可以转动兀，共6个对称操作；加上恒等操作共24个。 立方体体心为中心反演，所以以上每一个操作加上中心反演 后，仍为对称操作，因此立方体共有48个对称操作
如果，一个物体在某一正交变换下保持不变，我们就称这个 变换为物体的一个对称操作。一个物体可能的对称操作越多， 它的对称性就越高。立方体具有较高的对称性，它有48个对称 操作：绕 4 条体对角线可以旋转 共 8个对称操作； 绕 3 个立方边可以旋 转 共 9个对称操作；绕 6 条 棱 对角线可以转动π，共 6 个对称操作；加上恒等操作共24个。 立方体体心为中心反演，所以以上每一个操作加上中心反演 后，仍为对称操作，因此立方体共有48个对称操作。 2 4, 3 3 π π 3 , , 2 2 π π π
通过仔细分析可知正四面体允许的对称操作只有 24个；正六角拄的对称操作也只有24个，它们都没有 立方体的对称性高。 B 请思考它们的对称操作？参见黄昆p22-24
通过仔细分析可知正四面体允许的对称操作只有 24个；正六角拄的对称操作也只有24个，它们都没有 立方体的对称性高。 请思考它们的对称操作？参见 黄昆 p22-24
对称操作群：一个物体的全部对称操作的集合，构成 对称操作群。描述物体的对称性需要找出物体的全部 对称操作，也就是找出它所具有的对称操作群。 数学上看，群代表一组元素的集合 G={E,A,B,C,D,..} 这些元素被赋予一定的乘法法则，满足下列性质： 1. 若A,B∈G则AB=C∈G,这是群的闭合性。 2.存在单位元素E,使所有元素满足： AE=A 3.任意元素A,存在逆元素：AA-1=E 4. 元素间满足结合律：A(BC)=(AB)C 一个物体全部对称操作的集合，也满足上述群的 定义，运算法则是连续操作，不动操作是单位元素
数学上看，群代表一组元素的集合 G= ｛E,A,B,C,D, …… ｝ 这些元素被赋予一定的乘法法则，满足下列性质： 1. 若A,B ∈G 则 AB ＝C ∈ G, 这是群的闭合性。 2. 存在单位元素E,使所有元素满足： AE=A 3. 任意元素 A，存在逆元素：AA-1=E 4. 元素间满足结合律：A(BC)=(AB)C 对称操作群： 一个物体的全部对称操作的集合，构成 对称操作群。描述物体的对称性需要找出物体的全部 对称操作，也就是找出它所具有的对称操作群。 一个物体全部对称操作的集合，也满足上述群的 定义，运算法则是连续操作，不动操作是单位元素
注意：在说明一个物体的对称性时，为了简便，有 时不去一一列举所有的对称操作，而是指出它的对称 元素，若一个物体绕某一个转轴转 2严以及它的倍数 物体保持不变时，便称作n重旋转轴，记做n;若一 个物体绕某一转轴转 2严再作反演以及转动它的倍数 n 再作反演物体保持不变时，该轴称作门重旋转一反演 轴，记做n。立方体的对称元素有：1,2,3,4，i,2,3,4 正四面体的对称元素只有：4,2,3却没有2,4,3 显然，列举出一个物体的对称元素和说出它的对称操 作一样，都可以表明出物体的对称特点
注意： 在说明一个物体的对称性时，为了简便，有 时不去一一列举所有的对称操作，而是指出它的对称 元素，若一个物体绕某一个转轴转 以及它的倍数 物体保持不变时，便称作 n 重旋转轴，记做 n ；若一 个物体绕某一转轴转 再作反演以及转动它的倍数 再作反演物体保持不变时，该轴称作 n 重旋转－反演 轴,记做 。立方体的对称元素有： 正四面体的对称元素只有： 却没有 显然，列举出一个物体的对称元素和说出它的对称操 作一样，都可以表明出物体的对称特点。 2 n π 2 n π n 1,2,3,4, ,2,3,4 i 4,2,3 2,4,3
二.晶体中允许的对称操作： 人们早就指出，晶体的外形（宏观）对称性是其原 子做周期性排列的结果。原子排列的周期性用晶体点阵 表示，晶体本身对称操作后不变，其晶体点阵在对称操 作后也应该保持不变，这就限制了晶体所可能有的点对 称操作数目，可以证明不论任何晶体，它的宏观对称元 素最多只可能有10种（一说8种）对称 元素：1,2,3,4,6,1,2,3,4,6 说明：2是反映面m,而3=3+i,6=3+m 不是独立的。 8种说法指1,2,3,4,6，i,m,4, 对称操作符号，除去以上使用的国际符号外，还通常 使用熊夫利符号
二. 晶体中允许的对称操作： 人们早就指出，晶体的外形（宏观）对称性是其原 子做周期性排列的结果。原子排列的周期性用晶体点阵 表示，晶体本身对称操作后不变，其晶体点阵在对称操 作后也应该保持不变，这就限制了晶体所可能有的点对 称操作数目，可以证明不论任何晶体，它的宏观对称元 素最多只可能有10种（一说8种）对称 元素： 1,2,3,4,6,1,2,3,4,6 说明： 是反映面 m，而 不是独立的。 8种说法指： 对称操作符号，除去以上使用的国际符号外，还通常 使用熊夫利符号。 2 3 3 ,6 3 = + =+ i m 1,2,3,4,6, , ,4, i m
