工程科学学报，第38卷，第7期：1008-1016,2016年7月 Chinese Journal of Engineering,Vol.38,No.7:1008-1016,July 2016 D0l:10.13374/j.issn2095-9389.2016.07.017:http://journals..ustb.edu.cn 不确定离散时滞系统的H。保性能预见控制 廖福成⑧，苏晓洁，廖永龙 北京科技大学数理学院，北京100083 ☒通信作者，Email:feliao@usth.cdu.cn 摘要针对一类具有凸多面体不确定常参数的离散时间时滞系统，研究其H.最优保性能预见控制器的设计方法.首先， 与以往不同，本文的扩大误差系统仍然保留了时滞，以保证扩大误差系统的状态向量维数不随时滞的增加而增加.其次，针 对所构造的扩大误差系统，设计有记忆的状态反馈控制器，并利用线性矩阵不等式方法，导出确保所求控制器存在的条件及 该控制器设计的方法.最后，通过建立并求解一个含线性矩阵不等式约束的凸优化问题，给出扩大误差系统的鲁棒H保性 能控制器，该控制器对于原系统来说就是鲁棒H保性能预见控制器. 关键词离散系统：不确定系统：时滞预见控制：鲁棒控制：线性矩阵不等式 分类号TP273 H guaranteed performance preview control for uncertain discrete systems with time-delay LIAO Fu-cheng,SU Xiao-jie,LIAO Yong-ong School of Mathematics and Physics,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:fcliao@ustb.edu.cn ABSTRACT A design method of H optimal guaranteed performance preview controllers was investigated for a class of polytopic un- certain discrete system with time-delay and constant parameters.First,different from the previous approaches,in order to keep the di- mension of the state vector in the augmented error system from increasing with the addition of time-delay,the time-delay terms were maintained in that system.Then,a memory state feedback controller was designed for the augmented error system.The existence con- dition and the design method of the controller were obtained by the linear matrix inequality (LMI)method.At last,by solving an opti- mization problem with LMI constraint conditions,the H optimal guaranteed performance controller,which was the H guaranteed per- formance preview controller to the original system,was gained. KEY WORDS discrete systems;uncertain systems:time delay;preview control:robust control:linear matrix inequalities 时滞广泛存在于实际系统中，例如电力系统和生 然无记忆的控制器比较容易实现，但是当时滞的长度信 物系统，是引起系统不稳定和性能退化的重要原因，因 息已知时有记忆的状态反馈控制器能够同时利用当前和 此无论是在实践中还是在理论中研究时滞系统都是非 过去的状态信息，进而可以获得更好的系统性能- 常有必要的.在很多实际系统中，不仅需要保证系统 预见控制是充分利用已知的未来目标或未来干扰 稳定而且还要保证一个足够的性能水平，其中的一个 值信息来改善闭环系统品质的控制方法.预见控制有 解决方法是保性能控制.这种方法的优点在于可以提 以下优点：首先，通过利用可以预见的未来信息，使得 供一个性能指标函数的上界，因此由时滞引起的性能 人们能够提高闭环系统的跟踪性能：其次，可以方便地 指标的退化被保证小于这个界.在设计控制器时，虽 对已有的反馈控制系统追加预见前馈作用-.经过 收稿日期：201507-30 基金项目：国家自然科学基金资助项目(61174209)：内蒙古自治区科技创新引导奖励资金资助项目(2012)
工程科学学报，第 38 卷，第 7 期: 1008--1016，2016 年 7 月 Chinese Journal of Engineering，Vol． 38，No． 7: 1008--1016，July 2016 DOI: 10． 13374 /j． issn2095--9389． 2016． 07． 017; http: / /journals． ustb． edu． cn 不确定离散时滞系统的 H∞ 保性能预见控制 廖福成，苏晓洁，廖永龙 北京科技大学数理学院，北京 100083 通信作者，E-mail: fcliao@ ustb． edu． cn 摘 要 针对一类具有凸多面体不确定常参数的离散时间时滞系统，研究其 H∞ 最优保性能预见控制器的设计方法． 首先， 与以往不同，本文的扩大误差系统仍然保留了时滞，以保证扩大误差系统的状态向量维数不随时滞的增加而增加． 其次，针 对所构造的扩大误差系统，设计有记忆的状态反馈控制器，并利用线性矩阵不等式方法，导出确保所求控制器存在的条件及 该控制器设计的方法． 最后，通过建立并求解一个含线性矩阵不等式约束的凸优化问题，给出扩大误差系统的鲁棒 H∞ 保性 能控制器，该控制器对于原系统来说就是鲁棒 H∞ 保性能预见控制器． 关键词 离散系统; 不确定系统; 时滞; 预见控制; 鲁棒控制; 线性矩阵不等式 分类号 TP273 H∞ guaranteed performance preview control for uncertain discrete systems with time-delay LIAO Fu-cheng ，SU Xiao-jie，LIAO Yong-long School of Mathematics and Physics，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China Corresponding author，E-mail: fcliao@ ustb． edu． cn ABSTＲACT A design method of H∞ optimal guaranteed performance preview controllers was investigated for a class of polytopic uncertain discrete system with time-delay and constant parameters． First，different from the previous approaches，in order to keep the dimension of the state vector in the augmented error system from increasing with the addition of time-delay，the time-delay terms were maintained in that system． Then，a memory state feedback controller was designed for the augmented error system． The existence condition and the design method of the controller were obtained by the linear matrix inequality ( LMI) method． At last，by solving an optimization problem with LMI constraint conditions，the H∞ optimal guaranteed performance controller，which was the H∞ guaranteed performance preview controller to the original system，was gained． KEY WOＲDS discrete systems; uncertain systems; time delay; preview control; robust control; linear matrix inequalities 收稿日期: 2015--07--30 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 61174209) ; 内蒙古自治区科技创新引导奖励资金资助项目( 2012) 时滞广泛存在于实际系统中，例如电力系统和生 物系统，是引起系统不稳定和性能退化的重要原因，因 此无论是在实践中还是在理论中研究时滞系统都是非 常有必要的． 在很多实际系统中，不仅需要保证系统 稳定而且还要保证一个足够的性能水平，其中的一个 解决方法是保性能控制． 这种方法的优点在于可以提 供一个性能指标函数的上界，因此由时滞引起的性能 指标的退化被保证小于这个界． 在设计控制器时，虽 然无记忆的控制器比较容易实现，但是当时滞的长度信 息已知时有记忆的状态反馈控制器能够同时利用当前和 过去的状态信息，进而可以获得更好的系统性能［1--3］． 预见控制是充分利用已知的未来目标或未来干扰 值信息来改善闭环系统品质的控制方法． 预见控制有 以下优点: 首先，通过利用可以预见的未来信息，使得 人们能够提高闭环系统的跟踪性能; 其次，可以方便地 对已有的反馈控制系统追加预见前馈作用［4--5］． 经过
廖福成等：不确定离散时滞系统的H保性能预见控制 ·1009· 50多年的发展，学术界已经建立了离散时间线性系 矩阵，A。Ao和B。是具有适当维数的不确定矩阵，d 统、连续时间线性系统的完整理论，并且在广义系统预 是系统的状态时滞，为正整数 见控制理论、多采样系统预见控制理论等方面有了一 首先，对系统(1)作如下假设 些进展6-.一些学者还将预见控制的思想与H,控制 假设1设不确定矩阵具有如下的凸多面体 相结合，提出预见控制系统的H控制理论▣ 形式： 文献1]通过假设不确定矩阵为常数矩阵，设计 了一个带有预见信号的控制器，基于Lyapunov稳定性 A=AAn=A8,B,=B0.(②) 定理，给出使扩大误差系统稳定的不确定矩阵的上界 式中，A,A和B(i=1,2,…,l)为具有适当维数的常 的估计.文献2-14]假设不确定矩阵为常数矩阵，研 矩阵，0=(6,62…0，)TeR为不确定的常参数 究具有凸多面体不确定性的不确定系统的鲁棒预见控 向量且满足 制问题，通过设计一个带有预见信号的反馈控制器来 0e0:={0eR'18,≥0(i=1,2,,0,∑6.=1} 改善系统的性能.文献5]针对一类用矩阵凸多面体 (3) 形式表示的不确定线性离散时滞系统，提出一种通过 无记忆状态反馈实现的具有H干扰抑制的保成本控 注1这里的假设表明系统的不确定性是不随时 制.文献6]对带有输入约束且具有凸多面体不确定 间变化的，不确定参数向量0在一个1维凸多面体中 性和未知输入的离散不确定状态时滞系统，设计了有 取值. 记忆的状态反馈模型预测控制器.文献7-21]分别 其次，设目标信号为r()并对其作如下假设. 针对不同的不确定时滞系统，通过利用Lyapunov稳定 假设2设目标信号r(k)的可预见步数为M,即 性理论和线性矩阵不等式方法，设计了各自的状态反 在当前时刻k,r(k),r(k+1),…,r(k+M)是已知 馈保性能控制律，使得闭环系统渐近稳定，并且系统的 的，并假设M,步之后目标信号值不变，即 性能指标不超过某个确定的上界. r(k+i)=r(k+M),i=M,+1,M,+2,…. 本文在文献4]的基础上设计一类不确定离散 注2理论研究和实际例子均表明，只有一段时间的 时滞系统的带有预见作用的鲁棒H保性能控制器. 可预见信号对系统的性能有较明显的影响，预见步数以 不同于文献4]，本文将设计有记忆的状态反馈控制 外的目标信号值对系统性能的影响不大☒，所以一般假 器，这样使得我们不仅能充分利用未来目标信息，也能 设可预见步数之外的值为常向量.事实上，普通的反馈控 充分利用系统当前和过去的状态信息，使得闭环系统 制系统不利用可预见信号，相当于预见步数为零 的观测输出能够更准确跟踪目标信号.我们还将通过 定义误差信号： 数值仿真在有记忆控制器的条件下对预见步数分别为 e(k)=y()-r(k) (4) M,=4、M,=10以及没有预见的情况进行比较，显示出 对系统(1)引入下面的二次型性能指标函数： 目标信号的预见作用对跟踪目标信号的优越性. J=Σ(e()g.e(因+Am'HAu().(6) 本文使用如下记号：P>0(P≥0)表示P为正定 式中，Q。>0,H>0为给定的权重矩阵 (半正定)矩阵；P>Q(P≥Q)表示P-Q>0(P-Q≥ 本文的目的是设计一个带有预见作用的有记忆的 0):负定和半负定矩阵记号可以类似定义：入（·）表 状态反馈控制器，使得闭环系统满足下面三点： 示矩阵(·)的最大特征值：用w(k)∈，表示序列 (1)当w(k)=0时渐近稳定： (w()}是平方和收敛的，即∑o()u()<0: (2)具有H.干扰抑制的保性能性； IwI,表示w(k)的l3范数. (3)在不确定性和外部干扰的影响下，其观测输 出y(k)仍能够无静态误差地跟踪目标信号r(),即 1问题描述及基本假设 lime(k)lim(y (-r(k))=0. 考虑具有状态时滞的线性离散时间系统 本文用到下面的引理 x(k+1)=(A+Ao)x(k)+(A+A)x(k-d)+ 引理(Schur补)四 对于给定的对称矩阵 (B+B。)u()+Bw(k), Φ= y(k）)=Ex(k). 重重 (1) 下列三个条件是等价的： 式中，x(k)∈R”是状态向量，u(k)∈R是输入向量， (1)Φ<0： y(k)eR是观测输出向量，w(k)∈R”且w(k)∈L2 （Ⅱ)重，<0，中a-ΦΦ重2<0： 是干扰向量，A、A4、B、B。和E是具有适当维数的常数 （Ⅲ)中2<0，重，-重2Φ2Φ3<0
廖福成等: 不确定离散时滞系统的 H∞ 保性能预见控制 50 多年的发展，学术界已经建立了离散时间线性系 统、连续时间线性系统的完整理论，并且在广义系统预 见控制理论、多采样系统预见控制理论等方面有了一 些进展［6--8］． 一些学者还将预见控制的思想与 H∞ 控制 相结合，提出预见控制系统的 H∞ 控制理论［9--10］． 文献［11］通过假设不确定矩阵为常数矩阵，设计 了一个带有预见信号的控制器，基于 Lyapunov 稳定性 定理，给出使扩大误差系统稳定的不确定矩阵的上界 的估计． 文献［12--14］假设不确定矩阵为常数矩阵，研 究具有凸多面体不确定性的不确定系统的鲁棒预见控 制问题，通过设计一个带有预见信号的反馈控制器来 改善系统的性能． 文献［15］针对一类用矩阵凸多面体 形式表示的不确定线性离散时滞系统，提出一种通过 无记忆状态反馈实现的具有 H∞ 干扰抑制的保成本控 制． 文献［16］对带有输入约束且具有凸多面体不确定 性和未知输入的离散不确定状态时滞系统，设计了有 记忆的状态反馈模型预测控制器． 文献［17--21］分别 针对不同的不确定时滞系统，通过利用 Lyapunov 稳定 性理论和线性矩阵不等式方法，设计了各自的状态反 馈保性能控制律，使得闭环系统渐近稳定，并且系统的 性能指标不超过某个确定的上界． 本文在文献［14］的基础上设计一类不确定离散 时滞系统的带有预见作用的鲁棒 H∞ 保性能控制器． 不同于文献［14］，本文将设计有记忆的状态反馈控制 器，这样使得我们不仅能充分利用未来目标信息，也能 充分利用系统当前和过去的状态信息，使得闭环系统 的观测输出能够更准确跟踪目标信号． 我们还将通过 数值仿真在有记忆控制器的条件下对预见步数分别为 Mr = 4、Mr = 10 以及没有预见的情况进行比较，显示出 目标信号的预见作用对跟踪目标信号的优越性． 本文使用如下记号: P ＞ 0 ( P≥0) 表示 P 为正定 ( 半正定) 矩阵; P ＞ Q( P≥Q) 表示 P － Q ＞ 0( P － Q≥ 0) ; 负定和半负定矩阵记号可以类似定义; λmax (·) 表 示矩阵(·) 的 最 大 特 征 值; 用 ω( k) ∈ l2 表示 序 列 { ω( k) } ∞ k = 0是平方和收敛的，即 ∑ ∞ k = 0 ωT ( k) ω( k) ＜ ∞ ; ‖ω‖2 表示 ω( k) 的 l2 范数． 1 问题描述及基本假设 考虑具有状态时滞的线性离散时间系统 x( k + 1) = ( A + A0 ) x( k) + ( Ad + Ad0 ) x( k － d) + ( B + B0 ) u( k) + Bωω( k) ， y( k) = Ex( k) { ． ( 1) 式中，x( k) ∈Ｒn 是状态向量，u( k) ∈Ｒm 是输入向量， y( k) ∈Ｒq 是观测输出向量，ω( k) ∈Ｒp 且 ω( k) ∈l2 是干扰向量，A、Ad、B、Bω 和 E 是具有适当维数的常数 矩阵，A0、Ad0 和 B0 是具有适当维数的不确定矩阵，d 是系统的状态时滞，为正整数． 首先，对系统( 1) 作如下假设． 假设 1 设不确定矩阵具有如下的凸多面体 形式: A0 = ∑ l i = 1 Aiθi，Ad0 = ∑ l i = 1 Adiθi，B0 = ∑ l i = 1 Biθi ． ( 2) 式中，Ai、Adi和 Bi ( i = 1，2，…，l) 为具有适当维数的常 矩阵，θ = ( θ1 θ2 … θl ) T ∈Ｒl 为不确定的常参数 向量且满足 θ∈Θ: = { θ∈Ｒl | θi≥0( i = 1，2，…，l) ，∑ l i = 1 θi = 1 } ． ( 3) 注 1 这里的假设表明系统的不确定性是不随时 间变化的，不确定参数向量 θ 在一个 l 维凸多面体中 取值． 其次，设目标信号为 r( k) 并对其作如下假设． 假设 2 设目标信号 r( k) 的可预见步数为 Mr，即 在当前时刻 k，r( k) ，r( k + 1) ，…，r( k + Mr ) 是已知 的，并假设 Mr 步之后目标信号值不变，即 r( k + i) = r( k + Mr ) ，i = Mr + 1，Mr + 2，…． 注2 理论研究和实际例子均表明，只有一段时间的 可预见信号对系统的性能有较明显的影响，预见步数以 外的目标信号值对系统性能的影响不大［22］，所以一般假 设可预见步数之外的值为常向量． 事实上，普通的反馈控 制系统不利用可预见信号，相当于预见步数为零． 定义误差信号: e( k) = y( k) － r( k) ． ( 4) 对系统( 1) 引入下面的二次型性能指标函数: J = ∑ ∞ k = 0 ( eT ( k) Qee( k) + ΔuT ( k) HΔu( k) ) ． ( 5) 式中，Qe ＞ 0，H ＞ 0 为给定的权重矩阵． 本文的目的是设计一个带有预见作用的有记忆的 状态反馈控制器，使得闭环系统满足下面三点: ( 1) 当 ω( k) = 0 时渐近稳定; ( 2) 具有 H∞ 干扰抑制的保性能性; ( 3) 在不确定性和外部干扰的影响下，其观测输 出 y( k) 仍能够无静态误差地跟踪目标信号 r( k) ，即 lim k→∞ e( k) = limk→∞ ( y( k) － r( k) ) = 0． 本文用到下面的引理． 引理( Schur 补) ［23］ 对于给定的对称矩阵 Φ = Φ11 Φ12 ΦT ( 12 Φ ) 22 ， 下列三个条件是等价的: ( Ⅰ) Φ ＜ 0; ( Ⅱ) Φ11 ＜ 0，Φ22 － ΦT 12Φ－ 1 11 Φ12 ＜ 0; ( Ⅲ) Φ22 ＜ 0，Φ11 － Φ12Φ－ 1 22 ΦT 12 ＜ 0． · 9001 ·
·1010· 工程科学学报，第38卷，第7期 下面首先构造扩大误差系统，然后针对所构造的 (0 EA. 扩大误差系统来设计满足上面性能的带预见作用的有 0 A 09= (10a) 记忆控制器 000 2扩大误差系统的构造 0E∑A0:0 2.1误差系统的构造 差分算子△定义为 A= 0 0 △x(k)=x(k)-x(k-1). (6) 0 0 对系统(1)的状态方程两端取差分得到 △x(k+1)=(A+A)△r(k)+(A,+AD)△r(k-d)+ 0EA0) (B+B)△u(k)+B△w(k). (7) A 09:= A0, (10b) 注3由于不确定矩阵为常数矩阵，所以△是线 00 0 性算子，因此对系统(1)的状态方程两端取差分时有 式(7)的形式. EB, 对误差信号取差分有△e(k)=△y(k)-△r(k), B.0. 所以， BA △e(k+1)=△y(k+1)-△r(k+1)= E△x(k+1)-△r(k+1). (10c) 注意到△e(k+1)=e(k+1)-e(k),代入上式得 式(9)即为我们所构造的误差系统.下面我们来 e(k+1)=e(k)+E△r(k+1)-△r(k+1)= 构造扩大误差系统.注意，式(9)中保留了系统的时 e(k)+E(A+A)△r(k)+E(A+Am)△x(k-d)+ E(B+B。)△u(k)+EB.△w()-△r(k+1).(8) 滞，从而不需要提升过程，因此也就不会使得式(9)的 综合式(7)与式(8)得到 阶数随时滞d的增加而变大. 2.2扩大误差系统的构造 X(k+1)=(A+A)X(k)+ 为了把目标信号引入系统(9)进而构造扩大误差 (A+)(kd)+(B+B)Au (k)+ 系统，定义向量 Bw(k)+G△r(k+1). (9) △r(k+1) 其中 △r(k+2) EA -EB. x,()= e(k) I (k)= △x(k) A= 0 A B △r(k+M) w(k-1) 0 0 0 由假设2有 0EA。 0) (0 EA,0 x,(k+1)=Ax,(k) (11) A。= 0 A。0A= 0 A40 其中 0 00 0… 0 0 0) 0 0 (0 EA 0) 0 I… (EB 0 An= 0 A 0 B= B Ar= 0 0 0 00 0 I EB。) 0 0 0 EB B。= B. 综合式(9)和式(11)得到 B X(k+1)=(A+A。)X(k)+(A,+An)X(k-d)+ 0 (B+B)△u(k)+B.w(k). (12) A。、A,和B。为不确定矩阵，利用假设(1)知它们 此即我们所构造的扩大误差系统，其中 满足 0 0), 0 ∑A: 0 a-低任
工程科学学报，第 38 卷，第 7 期 下面首先构造扩大误差系统，然后针对所构造的 扩大误差系统来设计满足上面性能的带预见作用的有 记忆控制器． 2 扩大误差系统的构造 2. 1 误差系统的构造 差分算子 Δ 定义为 Δx( k) = x( k) － x( k － 1) ． ( 6) 对系统( 1) 的状态方程两端取差分得到 Δx( k + 1) = ( A + A0 ) Δx( k) + ( Ad + Ad0 ) Δx( k － d) + ( B + B0 ) Δu( k) + BωΔω( k) ． ( 7) 注 3 由于不确定矩阵为常数矩阵，所以 Δ 是线 性算子，因此对系统( 1) 的状态方程两端取差分时有 式( 7) 的形式． 对误差信号取差分有 Δe( k) = Δy( k) － Δr( k) ， 所以， Δe( k + 1) = Δy( k + 1) － Δr( k + 1) = EΔx( k + 1) － Δr( k + 1) ． 注意到 Δe( k + 1) = e( k + 1) － e( k) ，代入上式得 e( k + 1) = e( k) + EΔx( k + 1) － Δr( k + 1) = e( k) + E( A + A0 ) Δx( k) + E( Ad + Ad0 ) Δx( k － d) + E( B + B0 ) Δu( k) + EBωΔω( k) － Δr( k + 1) ． ( 8) 综合式( 7) 与式( 8) 得到 X 槇( k + 1) = ( A 槇 + A 槇0 ) X 槇( k) + ( A 槇d + A 槇d0 ) X 槇( k － d) + ( B 槇 + B 槇0 ) Δu( k) + B 槇ωω( k) + GΔr( k + 1) ． ( 9) 其中 X 槇( k) = e( k) Δx( k) ω( k － 1 ) ，A 槇 = I EA － EBω 0 A － Bω 0 0 0 ， A 槇0 = 0 EA0 0 0 A0 0 0 0 0 ，A 槇d = 0 EAd 0 0 Ad 0 0 0 0 ， A 槇d0 = 0 EAd0 0 0 Ad0 0 0 0 0 ，B 槇 = EB B 0 ， B 槇0 = EB0 B0 0 ，B 槇ω = EBω Bω I ，G = － I 0 0 ． A 槇0、A 槇d0和 B 槇0 为不确定矩阵，利用假设( 1) 知它们 满足 A 槇0 = 0 E∑ l i = 1 Aiθi 0 0 ∑ l i = 1 Aiθi 0 0 0 0 = ∑ l i = 1 0 EAi 0 0 Ai 0 0 0 0 θi = ∑ l i = 1 A 槇iθi， ( 10a) A 槇d0 = 0 E∑ l i = 1 Adiθi 0 0 ∑ l i = 1 Adiθi 0 0 0 0 = ∑ l i = 1 0 EAdi 0 0 Adi 0 0 0 0 θi = ∑ l i = 1 A 槇diθi， ( 10b) B 槇0 = E∑ l i = 1 Biθi ∑ l i = 1 Biθi 0 = ∑ l i = 1 EBi Bi 0 θi = ∑ l i = 1 B 槇iθi ． ( 10c) 式( 9) 即为我们所构造的误差系统． 下面我们来 构造扩大误差系统． 注意，式( 9) 中保留了系统的时 滞，从而不需要提升过程，因此也就不会使得式( 9) 的 阶数随时滞 d 的增加而变大． 2. 2 扩大误差系统的构造 为了把目标信号引入系统( 9) 进而构造扩大误差 系统，定义向量 xr ( k) = Δr( k + 1) Δr( k + 2) Δr( k + Mr ) ． 由假设 2 有 xr ( k + 1) = AＲ xr ( k) ． ( 11) 其中 AＲ = 0 I 0 … 0 0 0 I … 0 0 0 0 … I 0 0 0 … 0 ． 综合式( 9) 和式( 11) 得到 X( k + 1) = ( A + A0 ) X( k) + ( Ad + Ad0 ) X( k － d) + ( B + B0 ) Δu( k) + Bωω( k) ． ( 12) 此即我们所构造的扩大误差系统，其中 X( k) = X 槇( k) xr ( k ) ，GP = ( G 0 … 0) ， A = A G 槇 P 0 A Ｒ ，A0 = A 槇 0 0 0 0 ，Ad = A 槇 d 0 0 0 ， · 0101 ·
廖福成等：不确定离散时滞系统的H.保性能预见控制 1011 z(k)=(C+DK)X()+DLX(k-d).(18) -周a-低}a倍 为推导方便起见，我们引入记号 A(0)=(A+BK)+(A。+B,K), A。,An,B。为不确定矩阵，由式(10)知它们满足 B(8)=(A,+BL)+(A。+B。L). (19) (②“低- 则闭环系统可成 x(k+I)=A(0)X(k)+B(0)X(k-d)+Bw(k). (20) (13a) 下面我们用线性矩阵不等式的有关理论和方法来 低-g 确定控制器(17)中控制增益矩阵K和L,使闭环系统 满足上面所要求的鲁棒性能. (13b) 3具有H干扰抑制的最优保性能控制器的 设计 -含- B,0.(13c) 下面的定理1给出使得闭环系统(20)具有H.干 扰抑制保性能可镇定的充分条件 式中，AA和B(i=1,2,…,)为具有适当维数的常 定理1在假设1和2成立的条件下，对于给定的 矩阵.把性能指标(5)用扩大误差系统(12)中的状态 y>0,若存在矩阵P>0、S>0和矩阵K、L,使得对于 向量表示，有 所有允许的不确定性和干扰，矩阵不等式 J=A(因Q(+An(因HAn(因). -P-1 0 A()B(0)B. 0 0 -I C+DK DL 0 0 (14) A"(0)(C+DK)T -P 0 0 I 其中 <0 B"(0) (DL)T 0 -S 0 B 0 0 -y210 0* 0 0 0 0 -S-1 (21) 0（Mx9x(,x 再定义新的变量 成立，则式(17)为系统(12)的具有H_干扰抑制的保 z(k)=CX(k)+D△u(k) (15) 性能可镇定控制律，且成本函数满足 式中 J≤R(0)Px(0)+∑R()sx(0=了.(22) c= 2000 0000/ 其中，A(0),B(0)如式(19)所示 证明：我们分三步来完成本定理的证明 则性能指标函数(14)等价于 第1步，令 J=∑2'(z(=z( (16) (AT(0)PA(0)-P+S AT(0)PB(0) = 于是，系统(1)的带有预见作用并具有H干扰抑制的 B(0)PA(e) B"(0)PB(0)-S 最优保性能跟踪控制器的设计问题就转化为扩大误差 我们来证明当不等式(21)成立时A<0.对线性矩阵 系统(12)的具有H.干扰抑制的最优保性能控制器的 不等式(21)左边进行合同变换，即式(21)左乘F右乘 设计问题 F,其中 针对扩大误差系统(12)及性能指标函数(16)，设 /100000 计如下形式的有记忆的状态反馈控制器： 00000I △u()=KX(k)+LX(k-d) (17) 00.1000 F= 其中K和L是待定的矩阵.将该控制器代入扩大误差 000100 系统(12)，得闭环系统 0000I0 X(k+1)=((A+BK)+(A。+BK))X()+ 010000 ((A+BL)+(A+BoL))X(k-d)+B.o(k). 由于合同变换把负定矩阵变为负定矩阵，所以从式 把式(17)代入式(15)得到 (21)得到
廖福成等: 不确定离散时滞系统的 H∞ 保性能预见控制 Ad0 = A 槇 d0 0 0 0 ，B = B 槇 ( ) 0 ，B0 = B 槇0 0 ，Bω = B 槇ω 0 ． A0，Ad0，B0 为不确定矩阵，由式( 10) 知它们满足 A0 = ∑ l i = 1 A 槇iθi 0 0 0 = ∑ l i = 1 A 槇 i 0 0 0 θi = ∑ l i = 1 Aiθi， ( 13a) Ad0 = ∑ l i = 1 A 槇diθi 0 0 0 = ∑ l i = 1 A 槇 di 0 0 0 θi = ∑ l i = 1 Adiθi， ( 13b) B0 = ∑ l i = 1 B 槇iθi 0 = ∑ l i = 1 B 槇i 0 θi = ∑ l i = 1 Biθi ． ( 13c) 式中，Ai、Adi和 Bi ( i = 1，2，…，l) 为具有适当维数的常 矩阵． 把性能指标( 5) 用扩大误差系统( 12) 中的状态 向量表示，有 J = ∑ ∞ k = 0 ( XT ( k) QX( k) + ΔuT ( k) HΔu( k) ) ． ( 14) 其中 Q = Qe 0n × n 0p × p 0( Mr × q) × ( Mr × q ) ． 再定义新的变量 z( k) = C X( k) + DΔu( k) ． ( 15) 式中 C = Q1 /2 e 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 ，D = 0 H( 1 /2 )． 则性能指标函数( 14) 等价于 J = ∑ ∞ k = 0 z T ( k) z( k) = ‖z( k) ‖2 2 ． ( 16) 于是，系统( 1) 的带有预见作用并具有 H∞ 干扰抑制的 最优保性能跟踪控制器的设计问题就转化为扩大误差 系统( 12) 的具有 H∞ 干扰抑制的最优保性能控制器的 设计问题． 针对扩大误差系统( 12) 及性能指标函数( 16) ，设 计如下形式的有记忆的状态反馈控制器: Δu( k) = K X( k) + L X( k － d) ． ( 17) 其中 K 和 L 是待定的矩阵． 将该控制器代入扩大误差 系统( 12) ，得闭环系统 X( k + 1) = ( ( A + BK) + ( A0 + B0K) ) X( k) + ( ( Ad + BL) + ( Ad0 + B0L) ) X( k － d) + Bωω( k) ． 把式( 17) 代入式( 15) 得到 z( k) = ( C + DK) X( k) + DL X( k － d) ． ( 18) 为推导方便起见，我们引入记号 A( θ) = ( A + BK) + ( A0 + B0K) ， B( θ) = ( Ad + BL) + ( Ad0 + B0L) ． ( 19) 则闭环系统可成 X( k + 1) = A( θ) X( k) + B( θ) X( k － d) + Bωω( k) ． ( 20) 下面我们用线性矩阵不等式的有关理论和方法来 确定控制器( 17) 中控制增益矩阵 K 和 L，使闭环系统 满足上面所要求的鲁棒性能． 3 具有 H∞ 干扰抑制的最优保性能控制器的 设计 下面的定理 1 给出使得闭环系统( 20) 具有 H∞ 干 扰抑制保性能可镇定的充分条件． 定理1 在假设1 和2 成立的条件下，对于给定的 γ ＞ 0，若存在矩阵 P ＞ 0、S ＞ 0 和矩阵 K、L，使得对于 所有允许的不确定性和干扰，矩阵不等式 － P － 1 0 A( θ) B( θ) Bω 0 0 － I C+ DK DL 0 0 AT ( θ) ( C+ DK) T － P 0 0 I BT ( θ) ( DL) T 0 － S 0 0 BT ω 0 0 0 － γ 2 I 0 0 0 I 0 0 － S － 1 ＜0 ( 21) 成立，则式( 17) 为系统( 12) 的具有 H∞ 干扰抑制的保 性能可镇定控制律，且成本函数满足 J≤XT ( 0) P X( 0) + ∑ －1 i = －d XT ( i) S X( i) = J* ． ( 22) 其中，A( θ) ，B( θ) 如式( 19) 所示． 证明: 我们分三步来完成本定理的证明． 第 1 步，令 Λ = AT ( θ) P A( θ) － P + S AT ( θ) P B( θ) BT ( θ) P A( θ) BT ( θ) P B( θ) － ( ) S ． 我们来证明当不等式( 21) 成立时 Λ ＜ 0． 对线性矩阵 不等式( 21) 左边进行合同变换，即式( 21) 左乘 F 右乘 FT ，其中 F = I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I 0 0 I 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 I 0 0 I 0 0 0 0 ． 由于合同变换把负定矩阵变为负定矩阵，所以从式 ( 21) 得到 · 1101 ·
·1012· 工程科学学报，第38卷，第7期 -P-1 0 A(0)B(0 B 0 (k-d-1)B(0)PB()-Sx(k-d-1)= 0 --1 I 0 0 0 ((k-1)X(k-d-1))· A(0 -P 0 0 (C+DK)T (PA()-P+S A(PB(. 0,S>0,所以Lyapunov函数(23)正定.当o 0 -I C+DK DL 0 (k)=0时，对Lyapunov函数(23)沿着闭环系统(20) A(8) (C+DK)T -P+S 0 0 <0 的轨线取差分得到 B(0) (DL)T 0 -S 0 △V=V(X(k))-V(X(k-1))= B 0 0 0 -y21 X(k)PX()-(k-1)PX(k-1)+ 注意到 -P 01 分()sx)- 文(0sx闭= 0-s0, .--1 再对上式运用Schur补引理，有 A(0)X(k-1)+B(0)X(k-d-1)]'. A(0) (C+DK)T PA(0)x(k-1)+B(0)X(k-d-1)]- B"(0) (DL)T P 0/A(0) B(0) R-P-+龙asx0- 八C+DKDL0/+ 0 B 0 月0s0= (S-P 0 0) 0-S0<0 (k-1)(8)PA(0)-P+S】x(k-1)+ 00-y21J 2X(k-1)A(0)PB(0)X(k-d-1)+ 即 A"(0)PA(0)-P+S+(C+DK)"(X+DK)AT(0)PB(0)+(C+DK)(DL)AT(0)PB. B (0)PA(0)+(DL)(C+DK) B"(0)PB(0)+(DL)T (DL)-S B"(0)PB. <0 BIPA(0) BPB(0) BPB。-y2I
工程科学学报，第 38 卷，第 7 期 － P － 1 0 A( θ) B( θ) Bω 0 0 － S － 1 I 0 0 0 AT ( θ) I － P 0 0 ( C + DK) T BT ( θ) 0 0 － S 0 ( DL) T BT ω 0 0 0 － γ2 I 0 0 0 C + DK DL 0 － I ＜0． 由此推出 － P － 1 0 A( θ) B( θ) 0 － S － 1 I 0 AT ( θ) I － P 0 BT ( θ) 0 0 － S ＜ 0． 注意到 － P － 1 0 0 － S ( － 1 ) ＜ 0， 对上面这个线性矩阵不等式应用 Schur 补引理得到 － P 0 0 － ( ) S － AT ( θ) I BT ( θ) ( ) 0 － P － 1 0 0 － S ( － 1 ) － 1 A( θ) B( θ) I ( ) 0 ＜ 0． 经计算知，最后这个不等式左端即为 Λ，所以我们推出 了 Λ ＜ 0． 第 2 步，利用 Lyapunov 第 2 方法证明当 ω( k) = 0 时闭环系统渐近稳定． 选取 Lyapunov 函数 V( X( k) ) = XT ( k) P X( k) + ∑ k －1 i = k －d XT ( i) S X( i) ． ( 23) 由于 P ＞ 0，S ＞ 0，所以 Lyapunov 函数( 23) 正定． 当 ω ( k) = 0 时，对 Lyapunov 函数( 23) 沿着闭环系统( 20) 的轨线取差分得到 ΔV = V( X( k) ) － V( X( k － 1) ) = XT ( k) P X( k) － XT ( k － 1) P X( k － 1) + ∑ k －1 i = k －d XT ( i) S X( i) － ∑ k －2 i = k －d －1 XT ( i) S X( i) = ［A( θ) X( k － 1) + B( θ) X( k － d － 1) ］T · P［A( θ) X( k － 1) + B( θ) X( k － d － 1) ］－ XT ( k － 1) P X( k － 1) + ∑ k －1 i = k －d XT ( i) S X( i) － ∑ k －2 i = k －d －1 XT ( i) S X( i) = XT ( k － 1) ［AT ( θ) P A( θ) － P + S］X( k － 1) + 2 XT ( k － 1) AT ( θ) P B( θ) X( k － d － 1) + XT ( k － d － 1) ［BT ( θ) P B( θ) － S］X( k － d － 1) = ( XT ( k － 1) XT ( k － d － 1) )· AT ( θ) P A( θ) － P + S AT ( θ) P B( θ) BT ( θ) P A( θ) BT ( θ) P B( θ) － ( ) S · X( k － 1) X( k － d － 1 ( ) ) ． 即 ΔV = ( XT ( k － 1) XT ( k － d － 1) ) Λ X( k － 1) X( k － d － 1 ( ) ) ． 由于在第 1 步已经证明 Λ ＜ 0，所以 ΔV 负定． 由 Lyapunov 稳定性理论，我们证明当 ω( k) = 0 时闭环系 统渐近稳定． 第 3 步，证明闭环系统具有 H∞ 干扰抑制的保性 能性． 当 ω( k) ≠0 时，对式( 21) 再次应用 Schur 补引 理，可以得到 － P － 1 0 A( θ) B( θ) Bω 0 － I C + DK DL 0 AT ( θ) ( C + DK) T － P 0 0 BT ( θ) ( DL) T 0 － S 0 BT ω 0 0 0 － γ2 I + 0 0 I 0 0 S( 0 0 I 0 0 ＜ 0 ) ． 即 － P － 1 0 A( θ) B( θ) Bω 0 － I C + DK DL 0 AT ( θ) ( C + DK) T － P + S 0 0 BT ( θ) ( DL) T 0 － S 0 BT ω 0 0 0 － γ 2 I ＜0． 注意到 － P － 1 0 0 － ( )I ＜ 0， 再对上式运用 Schur 补引理，有 AT ( θ) ( C + DK) T BT ( θ) ( DL) T BT ω 0 P 0 0( )I A( θ) B( θ) Bω C + DK DL ( ) 0 + S － P 0 0 0 － S 0 0 0 － γ 2 I ＜0， 即 AT ( θ) P A( θ) － P + S + ( C + DK) T ( X + DK) AT ( θ) P B( θ) + ( C + DK) T ( DL) AT ( θ) P Bω BT ( θ) P A( θ) + ( DL) T ( C + DK) BT ( θ) P B( θ) + ( DL) T ( DL) － S BT ( θ) P Bω BT ω P A( θ) BT ω P B( θ) BT ω P Bω － γ2 I ＜ 0． · 2101 ·
廖福成等：不确定离散时滞系统的H.保性能预见控制 ·1013· 令专(k)=(X(k-1)X(k-d-1)w(k- 为系统(12)的具有H_干扰抑制的保性能控制器，且 1)T上式两边同时左乘(k),右乘专(k)就得到 性能指标函数满足式(24).其中 △V+z(k-1)z(k-1)-y2w(k-1)w(k-1)X(i)PX(i), )在式(3)所描述的集合中，所以有 即 ∑8，0,如果存在矩阵M、N和 有H.干扰抑制的最优保性能控制律的充分条件. 矩阵X>0、Y>0,使得对所有允许的不确定性和干扰， 定理3若凸优化问题 线性矩阵不等式 dB. (-X 0 重4B。 0 s.L.(I)式(25)成立， 0 U -I CX+DM DN 0 0 (n)al <0, (CX+DM)T 大 U -x -X 0 0 4 (DN)T <0 0 -Y0 0 ( B 0 0 0 -y210 有一个最优解(a,B,X,Y,M,N),则控制律 0 00 -Y Au (k)=MX'-x(k)+NY-'X(k-d) (25) 为系统(12)的具有H.干扰抑制的最优保性能控制 成立，则控制律 律，它使闭环系统(20)的性能指标(16)最小化，且相 Au(k)=MX-X(k)+NY-'X(k-d) (26) 应的性能上界为a+dB·
廖福成等: 不确定离散时滞系统的 H∞ 保性能预见控制 令 ξ( k) = ( XT ( k － 1) XT ( k － d － 1) ωT ( k － 1) ) T 上式两边同时左乘 ξT ( k) ，右乘 ξ( k) 就得到 ΔV + z T ( k － 1) z( k － 1) － γ2 ωT ( k － 1) ω( k － 1) ＜ 0， 即 z T ( k － 1) z( k － 1) ＜ γ2 ωT ( k － 1) ω( k － 1) － ΔV． 对 k 从 1 到∞ 求和得 J = ∑ ∞ k = 0 z T ( k) z( k) = ‖z( k) ‖2 2 ＜ γ2 ‖ω( k) ‖2 2 + V( 0) = γ2 ‖ω( k) ‖2 2 + XT ( 0) P X( 0) + ∑ －1 i = －d XT ( i) P X( i) ， 即 J = ‖z( k) ‖2 2 ＜ γ2 ‖ω( k) ‖2 2 + XT ( 0) P X( 0) + ∑ －1 i = －d XT ( i) S X( i) ． 显然，从 ω( k) 到 z( k) 的 H∞ 范数满足一定的抑制度水 平 γ，且当 ω( k) = 0 时式( 17) 定义的性能指标满足式 ( 22) ． 定理得证． 注意到由式( 22) 给出的性能指标的上界 J* 显含 初始条件． 为了让结果简单起见，假设初始状 态 在 集合 ζ = { X( i) ∈Ｒn + p + ( Mr + 1) q : X( i) = Uvi， vT i vi≤1，i = － d，－ d + 1，…，1，0} ． 中，其中 U 为一已知的常数矩阵． 在这个假设下由式 ( 22) 得到 J≤vT 0 ( UT PU) v0 + ∑ －1 i = －d vT i ( UT SU) vi≤ λmax ( UT PU) ( vT 0 v0 ) + ∑ －1 i = －d λmax ( UT SU) ( vT i vi ) ≤ λmax ( UT PU) + ∑ －1 i = －d λmax ( UT SU) = λmax ( UT PU) + dλmax ( UT SU) ． ( 24) 另外，定理 1 中矩阵不等式( 21) 中一些元素包含 不确定矩阵，因此不方便使用． 我们现在给出另外的 不包含任何不确定矩阵的判别条件． 定理 2 对于给定的 γ ＞ 0，如果存在矩阵 M、N 和 矩阵 X ＞ 0、Y ＞ 0，使得对所有允许的不确定性和干扰， 线性矩阵不等式 －X 0 Φ13 Φ14 Bω 0 0 － I CX + DM DN 0 0 ΦT 13 ( CX + DM) T －X 0 0 X ΦT 14 ( DN) T 0 － Y 0 0 BT ω 0 0 0 － γ2 I 0 0 0 X 0 0 － Y ＜ 0 ( 25) 成立，则控制律 Δu( k) = M X － 1X( k) + N Y － 1X( k － d) ( 26) 为系统( 12) 的具有 H∞ 干扰抑制的保性能控制器，且 性能指标函数满足式( 24) ． 其中 Φ13 = ( AX + BM) + ( AiX + BiM) ， Φ14 = ( AdY + BN) + ( AdiY + BiN) ， ( i = 1，2，…，l) ． 注 4 我们称满足不等式( 25) 的矩阵组( M，N， X，Y) 为式( 25) 的可行解． 证明: 把不等式( 25) 左端的矩阵记为 Ξ，由于不 等式( 25) 关于 Ai、Adi和 B 是线性的且 θi ( i = 1，2，…， l) 在式( 3) 所描述的集合中，所以有 ∑ l i = 1 Ξθi ＜ 0． 经计算上面的不等式即为 －X 0 Γ13 Γ14 Bω 0 0 － I CX + DM DN 0 0 ΓT 13 ( CX + DM) T －X 0 0 X ΓT 14 ( DN) T 0 － Y 0 0 BT ω 0 0 0 － γ2 I 0 0 0 X 0 0 － Y ＜0． ( 27) 其中 Γ13 = ( AX + BM) + ( A0X + B0M) ， Γ14 = ( AdY + BN) + ( Ad0Y + B0N) ． 令 X = P － 1，Y = S － 1，M = KP － 1，N = LS － 1，并在不 等式( 27) 两边左乘 Ψ = diag( I，I，P，S，I，I) 右乘 ΨT 即 得不等式( 21) ，从而定理 1 的条件成立，由定理 1 知此 时的控制律 Δu( k) = K X( k) + L X( k － d) = M X － 1X( k) + N Y － 1X( k － d) 为系统( 12) 的具有 H∞ 干扰抑制的保性能控制器，并 且适当选择初始值后相应的性能指标满足式( 24) ，定 理得证． 下面的定理 3 给出控制律( 26) 为系统( 12) 的具 有 H∞ 干扰抑制的最优保性能控制律的充分条件． 定理 3 若凸优化问题 min α，β，X，Y，M，N α + dβ， s． t． ( Ⅰ) 式( 25) 成立， ( Ⅱ) － αI UT U － ( X) ＜ 0， ( Ⅲ) － βI UT U － ( ) Y ＜ 0， 有一个最优解( α* ，β* ，X* ，Y* ，M* ，N* ) ，则控制律 Δu( k) = M* X* － 1X( k) + N* Y* － 1X( k － d) 为系统( 12) 的具有 H∞ 干扰抑制的最优保性能控制 律，它使闭环系统( 20) 的性能指标( 16) 最小化，且相 应的性能上界为 α* + dβ* ． · 3101 ·
·1014 工程科学学报，第38卷，第7期 证明：由定理1和定理2知，(I)保证了系统 △u(k)=u(k)-u(k-1). (12)在控制律(26)下是具有H.干扰抑制鲁棒稳定 由此立即得到(28)式.证毕. 的，且相应的性能指标满足式(24). N. 再由Schur补引理知（Ⅱ）和（Ⅲ）分别等价于 注意，式(28)中∑K,()△r(k+), L,山 U'PU=UX-U50. 系统的鲁棒稳定和系统的具有H,干扰抑制度水平y 于是假设2的要求也满足.干扰信号取为 的最优保性能控制. r0, k<0: 证明：首先，若定理3的凸优化问题存在最优解 (k)=sin (0.1uk) k≥0 (a,B,X,Y,M,N),则状态反馈 (k+0.5)a6’ Au(k)=KX(k)+LX(k-d)= 由无穷级数的性质知w(k)∈l2·干扰信号的图形如图 M'X'-X(k)+N Y'-'X(k-d) 1所示 为系统(20)在性能指标(16)下的具有H_抑制度水平 0.4 y的最优保性能控制律. 其次，由定理1知该控制律可以使得扩大误差系 0.3 统的闭环系统渐近稳定，故有 03 ime(k）=lm0()-r()=0, 0.1 即系统(1)的闭环系统的输出y(k)可以无静态误差地 跟踪目标信号r(). 0. 最后，对控制增益矩阵K和L作如下分解： K=(K。KxK。K,(1)…K,(M,), L=(L.LxL。L,(1)…L,(M,). 2 406080100120140 则 图1干扰信号 △u(k)=Ke(k)+K△r(k)+Ko(k-1)+ Fig.I Disturbance signal ∑K,(i)△r(k+i)+ 取H=1,Q。=6.针对无预见即M,=0、有预见 L.e(k-d)+LsAx(k-d)+L.@(k-d-1)+ M,=4和M,=10三种情况，分别求解定理2中的矩阵 不等式，然后求出闭环系统的输出，观察本文方法的有 L,(闭△rk-d+. 效性 又因为 首先考虑没有预见的情形，设计有记忆状态反馈
工程科学学报，第 38 卷，第 7 期 证明: 由 定 理 1 和 定 理 2 知，( Ⅰ) 保证 了 系 统 ( 12) 在控制律( 26) 下是具有 H∞ 干扰抑制鲁棒稳定 的，且相应的性能指标满足式( 24) ． 再由 Schur 补引理知( Ⅱ) 和( Ⅲ) 分别等价于 UT PU = UT X － 1U ＜ αI，UT SU = UT Y － 1U ＜ βI． 故有 J≤λmax ( UT PU) + dλmax ( UT SU) ＜ α + d β． 证毕． 下面的定理 4 给出原系统( 1) 的带有预见作用的 且具有 H∞ 干扰抑制的最优保性能控制律的具体形式． 定理 4 若定理 3 中的凸优化问题存在最优解， 则系统( 1) 的控制输入为 u( k) = Kee( k) + KΔxΔx( k) + Kωω( k － 1) + ∑ Mr i = 1 Kr ( i) Δr( k + i) + u( k － 1) + Lee( k － d) + LΔxΔx( k － d) + Lωω( k － d － 1) + ∑ Mr i = 1 Lr ( i) Δr( k － d + i) ． ( 28) 式中 K = ( Ke KΔx Kω Kr ( 1) … Kr ( Mr ) ) ， L = ( Le LΔx Lω Lr ( 1) … Lr ( Mr ) ) ． 在此控制律下，系统( 1) 的闭环系统的输出 y( k) 可以 无静态误差地跟踪目标信号 r( k) ，并且能够实现闭环 系统的鲁棒稳定和系统的具有 H∞ 干扰抑制度水平 γ 的最优保性能控制． 证明: 首先，若定理 3 的凸优化问题存在最优解 ( α* ，β* ，X* ，Y* ，M* ，N* ) ，则状态反馈 Δu( k) = K X( k) + L X( k － d) = M* X* － 1X( k) + N* Y* － 1X( k － d) 为系统( 20) 在性能指标( 16) 下的具有 H∞ 抑制度水平 γ 的最优保性能控制律． 其次，由定理 1 知该控制律可以使得扩大误差系 统的闭环系统渐近稳定，故有 lim k→∞ e( k) = limk→∞ ( y( k) － r( k) ) = 0， 即系统( 1) 的闭环系统的输出 y( k) 可以无静态误差地 跟踪目标信号 r( k) ． 最后，对控制增益矩阵 K 和 L 作如下分解: K = ( Ke KΔx Kω Kr ( 1) … Kr ( Mr ) ) ， L = ( Le LΔx Lω Lr ( 1) … Lr ( Mr ) ) ． 则 Δu( k) = Kee( k) + KΔxΔx( k) + Kωω( k － 1) + ∑ Mr i = 1 Kr ( i) Δr( k + i) + Lee( k － d) + LΔxΔx( k － d) + Lωω( k － d － 1) + ∑ Mr i = 1 Lr ( i) Δr( k － d + i) ． 又因为 Δu( k) = u( k) － u( k － 1) ． 由此立即得到( 28) 式． 证毕． 注意，式( 28) 中 ∑ Mr i = 1 Kr ( i) Δr( k + i) ，∑ Mr i = 1 Lr ( i) Δr ( k － d + i) 里面就包含目标预见项． 4 数值仿真 考虑不确定离散时滞系统( 1) ，其中 A = － 0. 4 － 0. 1 ( ) 0. 1 0. 7 ，Ad = 0. 3 － 0. 1 ( ) 0 0. 5 ， B = 0. 5 ( ) 0. 4 ，Bω = 0. 4 ( ) － 0. 6 ，E = ( － 0. 08 0. 08) ， A0 = 0 0. 02 ( ) 0. 01 － 0. 05 × 0. 75 + 0 0. 01 ( ) 0. 01 － 0. 05 × 0. 25， Ad0 = 0. 02 0. 02 ( ) 0. 01 0. 01 × 0. 75 + 0. 02 0. 03 ( ) 0. 01 0 × 0. 25， B0 = 0. 01 ( ) 0. 03 × 0. 75 + 0. 01 ( ) 0. 02 × 0. 25． 于是系统( 1) 中 θ1 = 0. 75，θ2 = 0. 25，并取时滞 d = 3． 设可预见的目标信号为 r( k) = 0， k ＜ 30; 0. 15( k － 30) ， 30≤k≤50; 3， k ＞ 50 { ． 于是假设 2 的要求也满足． 干扰信号取为 ω( k) = 0， k ＜ 0; sin ( 0. 1πk) ( k + 0. 5) { 0. 6 ， k≥0． 由无穷级数的性质知 ω( k) ∈l2 ． 干扰信号的图形如图 1 所示． 图 1 干扰信号 Fig． 1 Disturbance signal 取 H = 1，Qe = 6． 针对无预见即 Mr = 0、有预见 Mr = 4 和 Mr = 10 三种情况，分别求解定理 2 中的矩阵 不等式，然后求出闭环系统的输出，观察本文方法的有 效性． 首先考虑没有预见的情形，设计有记忆状态反馈 · 4101 ·
廖福成等：不确定离散时滞系统的H保性能预见控制 *1015· 控制器，得到 3.5 K=-2.656837730622494, 3.0 K=（-0.145503519173387-0.994954594163420), K=-0.907668826259338, L.=2.083820467964729×10-2 2.0 L4=(-0.037932736690689-0.792438714744819), L=-3.970047467372047×10-2. 10 ·目标信号的 一输出响应).M-0 其次设计预见步数为M,=4的有记忆状态反馈控 0.5 一输出响应传)M=4 输出响应).M-10 制器，得到 K.=-2.534997159246481, 40 6080100120140 K.=（-0.113398103421583-0.958788888095752), K.=-0.851458256868457, 图2闭环系统的输出响应 K.=(2.5350354051833862.552657533319541 Fig.2 Output response of the closed-oop system 2.4029153373261372.355836882087502), 用有减小超调量和缩短调整时间的功效，而这正是我 L=4.666996564507593×10-2 们需要的. L4=（-0.057219277349888-0.775731563137065), 在数值仿真中我们选择状态向量初始值恒为零. L=1.207394426283570×10-2, 图2中响应曲线在时间为k=0到k=30的部分和达 Lg= 到稳态即k=80以后有微小波动是外部干扰信号 -10-1×(0.4464435931397310.496107638083416 w(k)作用的结果.去掉这个干扰，采用同样的控制器 0.5206002873818900.446973538285213). 进行数值仿真，得到的输出响应如图3所示.对比图2 最后设计预见步数为M,=10的有记忆状态反馈 和图3即可看出干扰的作用，同时也能看出即使系统 控制器，得到 受到持续的大的干扰，本文控制器仍然使得系统的输 K=-2.521806402199866, 出很好地跟踪目标信号 K.=(-0.108604025829666-0.954544783669786), K。=-0.844120593022232, 3.0 Kg=(2.5218218104842072.540080193645069 5 2.3901956281462132.345227439369667 2.1913906177660312.138580168907181 2.0 1.5 目标信号（的 1.9984231087046851.944573451203176 1.0 输出响应你)，M,=0 输出响应M=4 1.8153878174732711.752813270653810), 0.5 输出响应)M=10 L.=-1.481577436677659×10-0, 0 L4=(-0.060471029948745-0.72806510087900), 20 406080100120140 L.=1.053965153911005×10-0, L。=10-9×(0.150054464658782 图3无外部干扰时闭环系统的输出响应 0.1159903219592090.12983682911123 Fig.3 Output response of the closed-oop system without disturbance 0.1157188893797570.118767253408085 action 0.1116714877344540.109347274670963 我们指出，由于定理1和定理2都给出的是充分 0.1069115563123090.103463534985749 条件，所以当定理的某些条件不满足时结果可能也是 0.084338971742647). 对的.例如，针对此例，仿真发现如果把干扰信号取为 各种情况闭环系统的输出响应如图2所示 0 (k<0), 从图2看出，针对所选定的目标信号，在有记忆的 (k)= sin(0.1πk) (k≥0) 状态反馈的条件下，随着加入目标预见作用，输出响应 (k+0.5) 的超调量明显减小，而且随着预见步数的增加（从 对于s≥0，上面的闭环系统输出就能够跟踪目标信 M=5到M.=10),超调量继续减小.事实上，观察图 号.事实上，当0≤s≤0.5时，w(k)∈12就不成立了. 1中时间在20~40之间的响应曲线可以看出，由于目 又例如，仿真发现6，和6，也可以突破9，+62=1的限 标预见的作用，使得系统输出响应在目标信号数值发 制.同样地，仿真表明本例对于较大的时滞d结果也 生变化之前就开始对这种变化有所反应，因此预见作 正确。这里从略
廖福成等: 不确定离散时滞系统的 H∞ 保性能预见控制 控制器，得到 Ke = － 2. 656837730622494， KΔx = ( － 0. 145503519173387 － 0. 994954594163420) ， Kω = － 0. 907668826259338， Le = 2. 083820467964729 × 10 － 12， LΔx = ( － 0. 037932736690689 － 0. 792438714744819) ， Lω = － 3. 970047467372047 × 10 － 12 ． 其次设计预见步数为 Mr = 4 的有记忆状态反馈控 制器，得到 Ke = － 2. 534997159246481， KΔx = ( － 0. 113398103421583 － 0. 958788888095752) ， Kω = － 0. 851458256868457， KＲ = ( 2. 535035405183386 2. 552657533319541 2. 402915337326137 2. 355836882087502) ， Le = 4. 666996564507593 × 10 － 12， LΔx = ( － 0. 057219277349888 － 0. 775731563137065) ， Lω = 1. 207394426283570 × 10 － 12， LＲ = － 10 － 11 × ( 0. 446443593139731 0. 496107638083416 0. 520600287381890 0. 446973538285213) ． 最后设计预见步数为 Mr = 10 的有记忆状态反馈 控制器，得到 Ke = － 2. 521806402199866， KΔx = ( － 0. 108604025829666 － 0. 954544783669786) ， Kω = － 0. 844120593022232， KＲ = ( 2. 521821810484207 2. 540080193645069 2. 390195628146213 2. 345227439369667 2. 191390617766031 2. 138580168907181 1. 998423108704685 1. 944573451203176 1. 815387817473271 1. 752813270653810) ， Le = － 1. 481577436677659 × 10 － 10， LΔx = ( － 0. 060471029948745 － 0. 772806510087900) ， Lω = 1. 053965153911005 × 10 － 10， LＲ = 10 － 9 × ( 0. 150054464658782 0. 115990321959209 0. 12983682911123 0. 115718889379757 0. 118767253408085 0. 111671487734454 0. 109347274670963 0. 106911556312309 0. 103463534985749 0. 084338971742647) ． 各种情况闭环系统的输出响应如图 2 所示． 从图 2 看出，针对所选定的目标信号，在有记忆的 状态反馈的条件下，随着加入目标预见作用，输出响应 的超调 量 明 显 减 小，而 且 随 着 预 见 步 数 的 增 加 ( 从 Mr = 5 到 Mr = 10) ，超调量继续减小． 事实上，观察图 1 中时间在 20 ～ 40 之间的响应曲线可以看出，由于目 标预见的作用，使得系统输出响应在目标信号数值发 生变化之前就开始对这种变化有所反应，因此预见作 图 2 闭环系统的输出响应 Fig． 2 Output response of the closed-loop system 用有减小超调量和缩短调整时间的功效，而这正是我 们需要的． 在数值仿真中我们选择状态向量初始值恒为零． 图 2 中响应曲线在时间为 k = 0 到 k = 30 的部分和达 到稳态即 k = 80 以 后 有 微 小 波 动 是 外 部 干 扰 信 号 ω( k) 作用的结果． 去掉这个干扰，采用同样的控制器 进行数值仿真，得到的输出响应如图 3 所示． 对比图 2 和图 3 即可看出干扰的作用，同时也能看出即使系统 受到持续的大的干扰，本文控制器仍然使得系统的输 出很好地跟踪目标信号． 图 3 无外部干扰时闭环系统的输出响应 Fig． 3 Output response of the closed-loop system without disturbance action 我们指出，由于定理 1 和定理 2 都给出的是充分 条件，所以当定理的某些条件不满足时结果可能也是 对的． 例如，针对此例，仿真发现如果把干扰信号取为 ω( k) = 0 ( k ＜ 0) ， sin ( 0. 1πk) ( k + 0. 5) s { ( k≥0) ． 对于 s≥0，上面的闭环系统输出就能够跟踪目标信 号． 事实上，当 0≤s≤0. 5 时，ω( k) ∈l2 就不成立了． 又例如，仿真发现 θ1 和 θ2 也可以突破 θ1 + θ2 = 1 的限 制． 同样地，仿真表明本例对于较大的时滞 d 结果也 正确． 这里从略． · 5101 ·
·1016 工程科学学报，第38卷，第7期 5结论 geles,2014:4398 [10]Kojima A.Controller design for preview and delayed systems 本文不同于以往预见控制理论中通过提升过程去 IEEE Trans Autom Control,2015,60(2)404 掉时滞的研究方法，而是构造含有时滞的误差系统，进 [11]Wang D,Liao FC.Robust preview control for uncertain dis- 而构造仍含有时滞的扩大误差系统.这样就避免了扩 creteime systems /International Conference of Numerical Anal- 大误差系统的阶数随时滞的增大而增加时导致的计算 ysis and Applied Mathematics.Kos,2012:2028 [12]Takaba K.Robust preview tracking control for polytopic uncer- 量非常大的问题.在此基础上，针对扩大误差系统设 tain systems //37th Conference on Decision Control.Tampa, 计有记忆的状态反馈控制器.该控制器充分利用扩大 1998:1765 误差系统当前和过去的状态信息进而改善系统的性 [13]Liao F,Wang JL,Yang G H.LMI-based reliable robust preview 能，然后运用Lyapunov函数及线性矩阵不等式的相关 tracking control against actuator faults /Proceedings of the A- 理论给出控制器的具体形式，而对于原时滞系统来说 merican Control Conference.Arlington,2001:1047 该控制器为有记忆预见控制器，它既包含目标信号的 [14]Takaba K.Robust servomechanism with preview action for poly- topic uncertain systems.Int Robust Nonlinear Control,2000, 预见项又充分利用了原系统当前和过去的状态信息更 10(2):101 有助于改善系统性能.最后的数值仿真说明了本文控 [15]Liu F,Su H Y,Jiang P G,et al.Guaranteed cost control with 制器的有效性 H=disturbance attenuation for polytopic uncertain discrete-time systems with delay.Control Decis,2002,17(1):103 参考文献 (刘飞，苏宏业，蒋培刚，等.不确定离散时滞系统具有H, [1]Azuma T,Ikeda K,Kondo T,et al.Memory state feedback con- 干扰抑制的保成本控制.控制与决策，2002,17(1)：103) trol synthesis for linear systems with time-delay via a finite number [16]Ji D H,Park J H.Yoo W J,et al.Robust memory state feed- of linear matrix inequalities.Comput Electr Eng,2002,28 (3): back model predictive control for discrete-ime uncertain state de- 217 layed systems.Appl Math Comput,2009,215(6):2035 Moon Y S,Park P.Kwon W H,et al.Delay-dependent robust [17]Liu J F,Xia A S,Fu S B.Guaranteed performance control for stabilization of uncertain state-delayed systems.Int J Control, networked control systems with uncertain time-delay /Chinese 2001,74(14):1447 Control and Decision Conference.Xuzhou,2010:856 B]Park J H.Robust guaranteed cost control for uncertain linear dif- D8] Tian X M,Li C M,Chen S.Guaranteed cost control of linear ferential systems of neutral type.Appl Math Comput,2003,140 uncertain time-delay switched singular systems based on an LMI (23):523 approach.Int J Modell Identif Control,2012,17(2):109 4]Zhang W L.Bae J,Tomizuka M.Modified preview control for a D9] Yoneyama J.Robust guaranteed cost control of uncertain fuzzy wireless tracking control system with packet loss.IEEE/ASME systems under timevarying sampling.Appl Soft Comput,2011, Trans Mechatron,2015,20(1):299 11(1):249 [5]Hazell A,Limebeer DN.An efficient algorithm for discrete-time [20] Ghadiri H,Jahed-Motlagh M R,Yazdi M B.Robust output ob- H preview control.Automatica,2008,44(9):2441 server-based guaranteed cost control of a class of uncertain 6 Xu Y J,Liao FC.Preview control for a class of time-varying dis- switched neutral systems with interval time-varying mixed delays. crete systems with input time-delay.Control Decis,2013,28(3): Int J Control Autom Syst,2014,12(6)1167 466 21] Zhao H Y,Chen Q W,Xu S Y.H guaranteed cost control for (徐玉洁，廖福成.一类具有输入时滞的时变离散系统的预见 uncertain Markovian jump systems with mode-dependent distribu- 控制.控制与决策，2013,28(3)：466) ted delays and input delays.J Franklin Inst,2009,346(10): Liao F C,Cao M J,Hu Z X,et al.Design of an optimal preview 945 controller for linear discrete-ime causal descriptor systems.Int 22]Tsuchiva T,Egami T.Digital Preview and Predictire Control. Control,2012,85(10):1616 Beijing:Beijing Science and Technology Press,1994 [8]Liao F C,Tomizuka M,Cao M J,et al.Optimal preview control (土谷武士，江上正.最新自动控制技术：数字预见控制 for discrete-ime descriptor causal systems in a multirate setting. 北京：北京科学技术出版社，1994) t J Control,2013,86(5):844 23]Boyd S,Ghaoui L E,Feron E,et al.Linear Matrix Inequality in Kojima A.H filtering for a system with uncertain preview infor- Systems and Control Theory.Philadelphia:SIAM (Society for In- mation /53rd IEEE Conference on Decision and Control.Los An- dustrial and Applied Mathematics),1994
工程科学学报，第 38 卷，第 7 期 5 结论 本文不同于以往预见控制理论中通过提升过程去 掉时滞的研究方法，而是构造含有时滞的误差系统，进 而构造仍含有时滞的扩大误差系统． 这样就避免了扩 大误差系统的阶数随时滞的增大而增加时导致的计算 量非常大的问题． 在此基础上，针对扩大误差系统设 计有记忆的状态反馈控制器． 该控制器充分利用扩大 误差系统当前和过去的状态信息进而改善系统的性 能，然后运用 Lyapunov 函数及线性矩阵不等式的相关 理论给出控制器的具体形式，而对于原时滞系统来说 该控制器为有记忆预见控制器，它既包含目标信号的 预见项又充分利用了原系统当前和过去的状态信息更 有助于改善系统性能． 最后的数值仿真说明了本文控 制器的有效性． 参 考 文 献 ［1］ Azuma T，Ikeda K，Kondo T，et al． Memory state feedback control synthesis for linear systems with time-delay via a finite number of linear matrix inequalities． Comput Electr Eng，2002，28 ( 3) : 217 ［2］ Moon Y S，Park P，Kwon W H，et al． Delay-dependent robust stabilization of uncertain state-delayed systems． Int J Control， 2001，74( 14) : 1447 ［3］ Park J H． Ｒobust guaranteed cost control for uncertain linear differential systems of neutral type． Appl Math Comput，2003，140 ( 2-3) : 523 ［4］ Zhang W L，Bae J，Tomizuka M． Modified preview control for a wireless tracking control system with packet loss． IEEE /ASME Trans Mechatron，2015，20( 1) : 299 ［5］ Hazell A，Limebeer D J N． An efficient algorithm for discrete-time H∞ preview control． Automatica，2008，44( 9) : 2441 ［6］ Xu Y J，Liao F C． Preview control for a class of time-varying discrete systems with input time-delay． Control Decis，2013，28( 3) : 466 ( 徐玉洁，廖福成． 一类具有输入时滞的时变离散系统的预见 控制． 控制与决策，2013，28( 3) : 466) ［7］ Liao F C，Cao M J，Hu Z X，et al． Design of an optimal preview controller for linear discrete-time causal descriptor systems． Int J Control，2012，85( 10) : 1616 ［8］ Liao F C，Tomizuka M，Cao M J，et al． Optimal preview control for discrete-time descriptor causal systems in a multirate setting． Int J Control，2013，86( 5) : 844 ［9］ Kojima A． H∞ filtering for a system with uncertain preview information / / 53rd IEEE Conference on Decision and Control． Los Angeles，2014: 4398 ［10］ Kojima A． Controller design for preview and delayed systems． IEEE Trans Autom Control，2015，60( 2) : 404 ［11］ Wang D，Liao F C． Ｒobust preview control for uncertain discrete-time systems / / International Conference of Numerical Analysis and Applied Mathematics． Kos，2012: 2028 ［12］ Takaba K． Ｒobust preview tracking control for polytopic uncertain systems / /37th Conference on Decision ＆ Control． Tampa， 1998: 1765 ［13］ Liao F，Wang J L，Yang G H． LMI-based reliable robust preview tracking control against actuator faults / / Proceedings of the American Control Conference． Arlington，2001: 1047 ［14］ Takaba K． Ｒobust servomechanism with preview action for polytopic uncertain systems． Int J Ｒobust Nonlinear Control，2000， 10( 2) : 101 ［15］ Liu F，Su H Y，Jiang P G，et al． Guaranteed cost control with H∞ disturbance attenuation for polytopic uncertain discrete-time systems with delay． Control Decis，2002，17( 1) : 103 ( 刘飞，苏宏业，蒋培刚，等． 不确定离散时滞系统具有 H∞ 干扰抑制的保成本控制． 控制与决策，2002，17( 1) : 103) ［16］ Ji D H，Park J H，Yoo W J，et al． Ｒobust memory state feedback model predictive control for discrete-time uncertain state delayed systems． Appl Math Comput，2009，215( 6) : 2035 ［17］ Liu J F，Xia A S，Fu S B． Guaranteed performance control for networked control systems with uncertain time-delay / / Chinese Control and Decision Conference． Xuzhou，2010: 856 ［18］ Tian X M，Li C M，Chen S． Guaranteed cost control of linear uncertain time-delay switched singular systems based on an LMI approach． Int J Modell Identif Control，2012，17( 2) : 109 ［19］ Yoneyama J． Ｒobust guaranteed cost control of uncertain fuzzy systems under time-varying sampling． Appl Soft Comput，2011， 11( 1) : 249 ［20］ Ghadiri H，Jahed-Motlagh M Ｒ，Yazdi M B． Ｒobust output observer-based guaranteed cost control of a class of uncertain switched neutral systems with interval time-varying mixed delays． Int J Control Autom Syst，2014，12( 6) : 1167 ［21］ Zhao H Y，Chen Q W，Xu S Y． H∞ guaranteed cost control for uncertain Markovian jump systems with mode-dependent distributed delays and input delays． J Franklin Inst，2009，346( 10) : 945 ［22］ Tsuchiya T，Egami T． Digital Preview and Predictive Control． Beijing: Beijing Science and Technology Press，1994 ( 土谷武士，江上正． 最新自动控制技术: 数字预见控制． 北京: 北京科学技术出版社，1994) ［23］ Boyd S，Ghaoui L E，Feron E，et al． Linear Matrix Inequality in Systems and Control Theory． Philadelphia: SIAM ( Society for Industrial and Applied Mathematics) ，1994 · 6101 ·