线能微分方程
复习：可分离变量的微分方程 一般形式：y'=f(x)·g(y) 解法： dy (1)分离变量： f(x)dx g(y) (2)两边积分： ∫a 求得通 解
复习：可分离变量的微分方程 f x d x g y d y ( ) ( ) = y = f (x) g(y) 解 法： 一般形式： （1）分离变量： （2）两边积分： d y = f x d x g y ( ) ( ) 1 求得通 解
引例1：马尔萨斯(malthus)人口模型 马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后 发现，人口净增长率基本上是一常数 ”=出生率一死亡率， 也就是单位时间内人口增长量与当时人口数成正比。 若设t时刻人口数为p(,则有 =p0或p-p0=0 dt 这就是著名的马尔萨斯人口指数增长模型
引例1：马尔萨斯（malthus）人口模型 马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后 发现，人口净增长率r基本上是一常数 r =出生率－死亡率， 也就是单位时间内人口增长量与当时人口数成正比。 若设 t 时刻人口数为p(t)，则有 = rp(t) p − rp(t) = 0 d t d p 或 这就是著名的马尔萨斯人口指数增长模型
引例2跳伞员为什么可以安全着陆？ 设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力与他下落的 速度成正比（比例系数为常数k>0),起跳时的速度 为0.则下落的速度与时间之间存在函数关系， 分析：设下落的速度为（④，则加速度M=y'(),跳 伞员下落时同时受到重力与阻力的作用，重力大小 为g,方向与v一致；阻力大小为ky,方向与v相 反，从而跳伞员所受外力为： F=mg-kv 于是，由牛顿第二定律可得 mg-ky=my
引例2 跳伞员为什么可以安全着陆？ 设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力与他下落的 速度成正比 (比例系数为常数 k > 0)，起跳时的速度 为0.则下落的速度与时间之间存在函数关系. 分析：设下落的速度为v(t), 则加速度 a = v (t),跳 伞员下落时同时受到重力与阻力的作用，重力大小 为mg，方向与v一致；阻力大小为kv，方向与v相 反，从而跳伞员所受外力为： F = mg – kv 于是，由牛顿第二定律可得 mg - kv = mv
又由题意得初始条件 Y1-o=0 my=mg-kv 可见初值问题 v(0)=0 是一个一阶线性非齐次微分方程，其通解为 V= mg+Ce m k 由y(0)=0得C=-g/k所以，特解 V= g(1-em） k
又由题意得初始条件 v t=0 = 0 可见初值问题 = = − v(0) 0 mv mg k v 是一个一阶线性非齐次微分方程，其通解为 t m k C k m g v − = + e 由 v(0) = 0 得 C = -mg/k.所以，特解 (1 ) t m k k mg v − = −e
可以求出m)=lmm坚1-e)=m3 k 从上式可以看出，随着时间的推移，速度y逐渐趋 于一个稳定的常数。也就是说，跳伞员开始是做 速运动，但逐渐趋于匀速运动。正因为如此，跳伞 员才得以安全的着陆。 思考：方程y2-6x)dy+2vdx=0的通解如何求？ 分析： 这不是一个y关于x的一阶线性微分方程。注意到， 方程中所含的x是一次的，那么，是否可以反过来想
从上式可以看出，随着时间的推移，速度 v 逐渐趋 k mg k mg v t t m k t = − = − → 可以求出 lim ( ) lim (1 e ) 于一个稳定的常数。也就是说，跳伞员开始是做 速运动，但逐渐趋于匀速运动。正因为如此，跳伞 加 员才得以安全的着陆。 思考： 方程 ( 6 ) 2 0 2 y − x d y+ ydx= 的通解如何求？ 分析： 这不是一个y关于x的一阶线性微分方程。注意到， 方程中所含的x是一次的，那么，是否可以反过来想
试着把x看成y的函数，会有什么结果呢？ 方程可以变形为 3x=- dx 3 dy y 2 显然，这是一个x关于y的一阶线性微分方程。 即x+P(y)x=Q(y)的通解公式为 c-fon
试着把x看成y的函数，会有什么结果呢？ 方程可以变形为 2 3 y x d y y d x − = − 显然，这是一个x关于y的一阶线性微分方程。 即 x + P(y) x = Q(y) 的通解公式为 = + − x e C Q y e d y P( y)d y P( y)d y ( )
将y+P(x)y=Q(x)改写为 dy2(x)dx-P(x)dx yy 两边积分得 --Pd 上式右端第一个积分含有未知函数y,它是x的函数。 尽管整个积分算不出来，但这个积分一定是x的函数， 这是一个待定的函数，不妨记为(x):
将 y + P(x) y = Q(x) 改写为 dx P x dx y Q x y dy ( ) ( ) = − 两边积分得 = dx − P x dx y Q x y ( ) ( ) ln 上式右端第一个积分含有未知函数y，它是x的函数。 尽管整个积分算不出来，但这个积分一定是x的函数， 这是一个待定的函数，不妨记为 u(x)
于是 Inly=u(x)-「P(x)d 即 y=e"(x).e-JP(x)d 令c(x)=e(),它也是待定的函数，这时上式变为 y=c(x)e-JP(od 这和我们前面的猜测完全一致
令 ( ) , u( x) c x = e 它也是待定的函数，这时上式变为 = − P x dx y c x e ( ) ( ) 这和我们前面的猜测完全一致。 于是 ln y = u(x) − P(x)dx 即 − = u x P x dx y e e ( ) ( )