数骤
一、数列及性质 数列的概念：按照一定规律排成的一列数a,a2..an或 简记为{u}称为数列，其中每一个数称为数列的项，第n项 an称为数列的通项。 数列{a,}也可以看成是定义在全体正整数集上的函数，即 amfm,n=1,2,3,.或n∈N。 例1、 数列片即，)，其通项a.=了m= 2…n n 0数列宁即时其适a=》
一、数列及性质 数列的概念：按照一定规律排成的一列数a1 ,a2……an….或 简记为{un }称为数列，其中每一个数称为数列的项，第n项 an称为数列的通项。 n a f n n ， n 、 n 1 ..., ( ) 1 ,... 2 1 } 1, 1 例1 数列{ 即 其通项 = = 数列 {an }也可以看成是定义在全体正整数集上的函数，即 an =f(n),n=1,2,3,…..或n∈N。 n n n n 、 ， a f n 2 1 ..., ( ) 2 1 ... 2 1 , 2 1 } 2 1 2 { 2 例 数列 即 其通项 = =
一、数列的性质 数列的有界性 定义1-1，设有数列{a,】,若存在正数M,使得对一切n, 都有la,I3M,则称数列{an}有界，M称为{an的一个 界。若这样的正数M不存在，则称数列{an}无界。 数列的单调性 定义1-2，设有数列{an,若对于任意n,都有a≤an+ (或a≥an+1),则称数列{an}单增（或单减），单增 或单减数列统称为单调数列
一、数列的性质 数列的有界性 定义1-1，设有数列{an}，若存在正数M，使得对一切n， 都有|an|≤M，则称数列{an }有界，M称为{an }的一个 界。若这样的正数M不存在，则称数列{an }无界。 数列的有界性 数列的单调性 定义1-2，设有数列{an}，若对于任意n，都有an≤ an+1 （或an≥ an+1 ），则称数列{an }单增（或单减），单增 或单减数列统称为单调数列
二、数列的极限 1、考察：数列}，当n无限增大时，的变化趋势？ 观察：当n无限增大时（记n→o), 分抚限趋近于0（记】→0） 实验n:1,10,,10010000, 1 1 110100210000 n 结论：数列二有一个稳定的变化趋势，即当n→o时，}→0
二、数列的极限 ？ n n ， n 、 考察： 数列 当 无限增大时 }的变化趋势 1 }, { 1 1 { 0) 1 } 0( 1 { → → n n ： n （ n ）， 无限趋近于 记 观察 当 无限增大时 记 ,.... 10000 1 ,..., 100 1 ,..., 10 1 :1,..., 1 :1,...,10,...,100,...,10000,...; n 实验：n } 0 1 } , { 1 { → → n n ， n 结论： 数列 有一个稳定的变化趋势 即当 时 1 1 2 3 4
2、数列极限的概念 定义1-3，设有数列{an),a是常数，若对于任意ε>0， 总存在正整数N,有|an-ak8,则称数列{an的极限是a (或称a是数列{an的极限)，或称数列{an收敛于a, ({an}是收敛数列)，记为lim a=a,或：an→a,(n→o) 若数列{a不存在极限，则称数列{an}发散，数列{an} 的极限是a。 极限的-N定义 lim a=a台(1)，ε>0(2)，3NeN(3),Vn>N n→0 (4),有|an-ak8
2、数列极限的概念 ({ } ) lim , ,( ) ( { } ) { } | | { } 1 3 { } 0 = → → − − → a ， a a ：a a n a a ， a a， N， a a ， a a ， a ， a ， ， n n n n n n n n n 是收敛数列 记为 或 或称 是数列 的极限 或称数列 收敛于 总存在正整数 有 则称数列 的极限是 定义 设有数列 是常数 若对于任意 若数列{an }不存在极限，则称数列{an } 发散，数列{an } 的极限是a。 an a n = → lim (1), 0 N N+ (2), (3),n N (4), | a − a | 有 n 极限的ε-N定义
2、几何解释 |an-ak&→a-￡0，就有一个以a为中心，以为半径的邻域U(a,), 或开区间(a-&,a+),数列{an中总存在一项aw,在此项后面 的所有项aw+waN+2,它们在数轴上所对应的点都落在U(a,) 或开区间(a-6,a+8)之中，而至多能有N个点a,a2,….aw在此 邻域之外。 - N41 ε可以任意小，所以数列{an}中各项所对应的点都无 限聚集在点a的附近
2、几何解释 a − a a − a a + n n | | a − a a + aN+1 aN+2 a1 。 a a ， N a a a a ， a a a a a a ， ， a ， a N N N n N 邻域之外 或开区间 之中 而至多能有 个点 在此 的所有项 它们在数轴上所对应的点都落在 或开区间 数列 中总存在一项 在此项后面 对任意 就有一个以 为中心 以 为半径的邻域 ( , ) , ,... ..., ( , ) ( , ), { } 0 ( , ), 1 2 1 2 − + − + + + ε可以任意小，所以数列{an}中各项所对应的点都无 限聚集在点a的附近
3、关于数列极限概念的几点说明 (1)、关于e 1)、一方面：ε是任意给出的，它具有绝对的任意性， 只有这样，才能保证a。一>a的无限性； 另一方面：ε又具有相对的固定性，一旦给出，便相对 固定，而这样相对固定性是通过不等式a,a<ε来体 现的，从而也可估算an与a的近似程度，显然，ε的绝 对性是通过无限多个相对固定性表现出来的。 2)、是任意的正数，则ε2√E..也都是任 意给定的正数
3、关于数列极限概念的几点说明 （1）、关于ε 1)、一方面: ε是任意给出的，它具有绝对的任意性， 只有这样，才能保证an—>a的无限性； 另一方面: ε又具有相对的固定性，一旦给出，便相对 固定，而这样相对固定性是通过不等式|an -a|< ε来体 现的，从而也可估算an与a的近似程度，显然， ε的绝 对性是通过无限多个相对固定性表现出来的。 2)、ε是任意的正数，则ε 2 …也都是任 意给定的正数。
3、关于数列极限概念的几点说明 （2)、关于N 1)、在数列极限的定义中，第二句“存在N∈N”,在 于说明正整数N的存在性，N与有关，愈小，N便愈 大； 2)、若存在N>N,当n>N时，仍有a,aK8,从而也 有an—>a
3、关于数列极限概念的几点说明 （2）、关于N 1)、在数列极限的定义中，第二句“存在N∈N+ ”，在 于说明正整数N的存在性，N与ε有关， ε愈小，N便愈 大； 2)、若存在N1>N，当n>N1时，仍有 |an -a|a