第一节导数的概念 一、问题的提出 二、导数的定义 三、导函数 g【 四、导数的几何意义 五、与下一节课的衔接 公思考题
第一节 导数的概念 ❖一、问题的提出 ❖ 二、导数的定义 ❖ 三、导函数 ❖ 四、导数的几何意义 ❖ 五、与下一节课的衔接 ❖ 思考题
2切线问题割线的极限位置一切线位置 .251.51.75 2.252.52.753
2切线问题 割线的极限位置——切线位置 播放
y 如图，如果割线MN绕，点 y=f(x) M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在，点M处的切线 极限位置即 Xo MN-→0，∠NMT→0.设M(xo,y),N(x,y). 制线Mn的斜率为anp=y-少=f)-fx,) x-xo x-xo N沿曲线C)M,x→x。, 切线MT的斜率为k=tana=im f()-f(x) x-Xo
T 0 o x x x y y = f (x) C N M 如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线. 极限位置即 MN → 0,NMT → 0. ( , ), ( , ). 0 0 设 M x y N x y 割线MN的斜率为 0 0 tan x x y y − − = , ( ) ( ) 0 0 x x f x f x − − = , , N M x x0 ⎯沿曲线 ⎯ ⎯C→ → 切线MT的斜率为 . ( ) ( ) tan lim 0 0 0 x x f x f x k x x − − = = →
二、导数的定义 定义设函数y=∫(x)在点x,的某个邻域内 有定义，当自变量x在x,处取得增量△x(点 x,+△x仍在该邻域内时，相应地函数y取 得增量△y-f(x+△x)-f(x,);如果Ay与 △x之比当△x→0时的极限存在则称函数 y=f(x)在点x处可导，并称这个极限为函 数y=f(x)在点x处的导数记为yx
二、导数的定义 ( ) , , ( ) , 0 , ( ) ( ); ) , , ( ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 x x y f x x y y f x x x x y f x x f x y x x y x x x y f x x = = = → = + − + = 数 在 点 处的导数 记 为 在 点 处可导 并称这个极限为函 之比当 时的极限存在 则称函数 得增量 如 果 与 仍在该邻域内时 相应地函数 取 有定义 当自变量 在 处取得增量 点 定义 设函数 在 点 的某个邻域内
在，或 少 dx - Ay 即y=imA f(x。+△x)-f(x) △r0 △x 其它形式f'(x)=lim f(x。+)-f(x) h I(xo)=lim I(x)-f(x) x-xo
. ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 h f x h f x f x h + − = → 其它形式 . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x x f x f x f x x x − − = → x f x x f x x y y x x x x + − = = → → = ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 , ( ) 0 0 x x x x dx df x dx dy = 或 = 即
关于导数的说明： ★点导数是因变量在点x处的变化率，它 反映了因变量随自变量的变化而变化的快 慢程度 ★如果函数y=f(x)在开区间I内的每点 处都可导，就称函数f(x)在开区间I内可导
. , 0 慢程度 反映了因变量随自变量的变化而变化的快 点导数是因变量在点x 处的变化率 它 , ( ) . ( ) 处都可导 就称函数 在开区间 内可导 如果函数 在开区间 内的每点 f x I y = f x I ★ ★ 关于导数的说明：
对于任一x∈I,都对应着f(x)的一个确定的 导数值这个函数叫做原来函数f(x)的导函数， 记作，fx,或 dx dx 即y'=lim f(x+△x)-f(x) △x→0 △ 或f'o)=imfx+)-fe h-→0 h 注意：1.∫'(x)=f'(x)
. ( ) , ( ), . ( ) . , ( ) dx df x dx dy y f x f x x I f x 记作 或 导数值 这个函数叫做原来函数 的导函数 对于任一 都对应着 的一个确定的 x f x x f x y x + − = → ( ) ( ) lim 0 即 . ( ) ( ) ( ) lim 0 h f x h f x f x h + − = → 或 注意: 1. ( ) ( ) . 0 0 x x x f x f = =
2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近 函数 放间
播放 2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近 函数
例3设函数f(x)=sinx,求(sinx)'及(sinx)y 解：(sinx'=i sin(x+)-sin x h h sin- 2 -lim cos(+) =cosx. 2 即(sinx)}'=cosx. .(sin )cosx x= 2
例 3 ( ) sin , (sin ) (sin ) . 4 = = x 设函数 f x x 求 x 及 x 解 : h x h x x h sin( ) sin (sin ) lim0 + − = → 2 2 sin ) 2 lim cos( 0 h h h x h = + → = cos x . 即 (sin x) = cos x. 4 4 (sin ) cos = = = x x x x . 22 =
思考题 函数f(x)在某点x处的导数f'(x。) 与导函数'(x)有什么区别与联系？
思考题 函数 f (x)在某点x0处的导数 ( ) x0 f 与导函数 f (x)有什么区别与联系？