定积分的应用 平面图形的面积 1、直角坐标系中 2、极坐标系中 二、旋转体的体积
定积分的应用 一、平面图形的面积 二、旋转体的体积 1、直角坐标系中 2、极坐标系中
§61定积分的微元法 少 回顾：曲边梯形的面积 1°分割：把a,b1分成n个小区间 y= /(x) -11X=-- V[x,x+dx]C[a,b],Ax=dx 0 龙5+d bx 2近似代替：任取5∈[xk-pXk], △A≈f(5k)△xk: →x∈[x,x+d],△A=dA≈f(x)dk 3°求和∑A4≈∑f5)△x: A=心dM=fx)d 4取极限：A=m∑f(5)△x
回顾:曲边梯形的面积 a bx y o y = f (x) A B xi-1 xi 1 1 [ , ], 1 [ , ] k− k k = k − k− x x x x x 分割：把 a b 分成n个小区间 ； 近似代替 任取 k k k k k k A f x ： x ，x − ( ) 2 [ ], 1 i ( ) i f ： A f x ； n k k k n k k = = 1 1 3 求和 ( ) = → = n k k k ：A f x 1 0 4 lim ( ) 取极限 [x, x + dx] [a,b],x = dx x[x, x + dx],A = dA f (x)dx = = b a b a A dA f (x)dx §6-1定积分的微元法 x x + dx
§6.2平面图形的面积 一、直角坐标系中平面区域的面积： 1、x型区域： 设y=f)y=g)为连续函数，求由y=f),y=g, x=a与x=b所围成的平面图形的面积A. y=f(x) y=f(x) y=f(x) y=g(x) xx+dx h x a xx+dx b x xx+dx b (1) (2) 3 (f(x)-g(x))dx
一、直角坐标系中平面区域的面积: y 设y=f(x),y=g(x)为连续函数,求由y=f(x), y=g(x), x=a与x=b所围成的平面图形的面积A. o a b x x = a y = f (x) D x = b x x + dx (1) o a b x x = a y = f (x) D y = g(x) x x + dx y o a b x y = f (x) D y = g(x) x x + dx y (2) (3) y = g(x) 1、x型区域： = − b a A ( f (x) g(x))dx §6.2 平面图形的面积
二 平面区域的面积 2、y型区域： 设x=p(y),x=w(y)为连续函数，求由x=p(y) x=W(y)与y=c,y=d所围成的平面图形的面积A y=d y d D d D + y+dy V+ 水=p(y x=p(0八 x=o(y) V=0 0 5) 6 A=["(o(y)-W(y)dx
二 平面区域的面积 y ( ) , . ( ), ( ) ( ) x y y c y d A x y x y ， x y 与 所围成的平面图形的面积 设 为连续函数 求由 = = = = = = o x c d y = c x = ( y) D y = d x = ( y) y y + dy (4) o x D y o x D y 2、 y 型区域: (5) (6) x = ( y) x = ( y) y y + dy c d x = ( y) x = ( y) y + dyy d c = − d c A ((y) (y))dx
v=f(x d v型区域 x型区域 y=g(x) 0 a b D D 作辅助线L,该线把区域D分成 D 三个X一型小区域D1、D2、D3: D:
D D1 D2 D3 l y o x y = f (x) y = g(x) a b y o x c d x型区域 y型区域 作辅助线L，该线把区域D分成 三个X—型小区域D1、D2、D3
例1求由曲线y=x3与直线x=-1、x=2及x轴 所围成的平面图形的面积。 yy=x3
例1 求由曲线y=x3 与直线x=-1、x=2及x轴 所围成的平面图形的面积。 O A2 A1 y=x3 x y 2 -1
例2：求由曲线y=sinx,y=c0Sx,x=0,x= 2 所围成的平面区域的面积。 y=sin x A A B
x yO 所围成的平面区域的面积。 例 求由曲线 2 2 : sin , cos , 0, y = x y = x x = x = y = cos x 1 y = sin x A 2 4 A2 A1 B1 B2 B4 B3
例3求由抛物线y2=2x与直线y=X-4 所围成的平面区域的面积。 y y2=2x B(8,4) y=x-4 A(2,-2)
例3 求由抛物线y 2=2x与直线 y=x-4 所围成的平面区域的面积。 y=x-4 x y O y 2=2x A(2,-2） B(8,4） A2 A1
例4：求椭圆x =1所围图形的面积(a,b>0) 62 bla-x A.B b = Va2-x2
x y 4 : 1 ( , 0) 22 22 + = a b by ax 例 求椭圆 所围图形的面积。2 2 a x ab y = − B 1 A 1 2 2 a x ab y = − −