第换元粉法
引例： 求： 观察该积分，试着找 出解法。 解：令 =1,x=t,dx=3r'dt -可出 好新时++。 -可-1+1+7h=3(分-+nl+0+c A
观察该积分，试着找 出解法。 引例 ： 31 1 dx + x 3 3 2 x t x t dx t dt = = = , , 3 2 2 3 1 3 1 1 3 1 1 1 t t dx dt dt x t t − + = = + + + 1 1 2 3 ( 1 ) 3( ln 1 ) 1 2 t dt t t t c t = − + = − + + + + 1 3 3 3 3( ln 1 ) 2 = − + + + x x x c 解：令 求：
定理2 ∫fx)dk令x=o@f[o(p(udh=F)+c=F[p'(x)]+ct 其中，f(x)在区间止连续，x=p(t) 单调可微，且p(t)≠0 比较∫f[p()p(x)d=∫f[p(x)p(x) 副 =ff(u)du-F(w)+c=F[(+c 易证故略 注：关键就在于找出p(x)=? mn
易证故略 注：关键就在于找出φ（x）＝？ ' f x dx x t f t t dt ( ) ( ) ( ) ( ) = 令 1 F t c F x c ( ) ( ) − = + = + f x( ) x t = ( ) ' ( ) 0 t ' f x x dx f x d x ( ) ( ) ( ) ( ) = = = + = + f u du F u c F x c ( ) ( ) ( ) 定理2 其中， 在区间I上连续， 单调可微，且 比较
1、简单根式代换 例2、求∫√x工 解：令Vx-1=t,x=1+t2,dk=2tdt k-2可f=2 窗=2刘-+的 -2t-arctant+c=2vx-1-arctanx-1+c 超
1、简单根式代换 例22、求 x 1 dx x − 解：令 2 x t x t dx tdt − = = + = 1 , 1 , 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 x t t dx dt dt x t t − + − = = + + 2 1 2( ) 1 dt dt t = − + = − + = − − − + 2 arctan 2 1 arctan 1 t t c x x c
例23、求∫+产 解：令=t,x=t,dx=6tdi ,t+1 -6写-+i-1nl+巾+ =2F-3G-6-61nll++c 盈
φ(x)= ３x+ ２ 3 1 dx x x + 6 6 5 x t x t dx t dt = = = , , 6 5 3 3 3 2 1 6 6 1 t t dx dt dt x x t t t = = + + + 3 1 1 1 2 6 6 ( 1 ) 1 1 t dt t t dt t t + − = = − + − + + 1 1 3 2 6( ln 1 ) 3 2 = − + − + + t t t t c 1 1 3 6 6 6( ln 1 ) 3 2 = − + − + + x x x x c 3 6 6 = − − − + + 2 3 6 6ln 1 x x x x c 例23、求 解：令 于是
24、求以如 解：令 0-小(。”n可a 金可a 1+x 1+x+1 +9O
1 1 x dx x x + 2 2 2 1 1 2 , , 1 ( 1) x t t x dx dt x t t + = = = − − − 2 2 2 2 2 1 1 2 ( 1) ( ) 2 ( 1) 1 x t t dx t t dt dt x x t t + = − − = − − − 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 t dt dt dt t t − + = − = − + − − 例24、求 解：令 1 1 1 1 2 ln 2 ln 1 1 1 x t x x t c c t x x x + − − + = − − + = − − + + + +
2、三角代换 (思x=acost 例25、求∫Va2-xdx 行吗？) 解：令大=asn(号1≤孕h= 2 [Ya-xdx=[Ya-asint.acosidt eos恤-l片2 a 2 2 )+C a2
2、三角代换 2 2 a x dx − 例 25、求 2 2 2 1 cos 2 cos 2 2 a t a tdt dt + = = 2 2 1 ( sin 2 ) ( sin cos ) 2 2 2 a a = + + = + + t t c t t t c sin ( ), cos . 2 2 x a t t dx a tdt = − = x a t = cos 2 2 2 2 2 a x dx a a t a tdt − = − sin cos 解：令 （思考： 行吗？） 2 2 2 2 (arcsin ) 2 a x x a x c a a − = + +
dx 例26、求 (a>0) 解：令x=atant.(- π 2 asec2t In sect+tant+c Vx+a x+c 0 =Inx ta +x+a-Ina 令c=c-lna =Inx+vx2+a2+c
2 2 ( 0) dx a x a + 2 tan .( ), sec 2 2 x a t t dx a tdt = − = 2 2 2 2 2 2 sec sec tan dx a t dt tdt x a a t a = = + + 1 2 2 1 2 2 1 ln sec tan ln ln ln t t c x a x c a a x a x c a = + + + = + + = + + + − 2 2 = + + + ln x x a c 1 c c a = −ln 例26、求 解：令 令
d (a>0) 例27、求 vx-a 考x=a csct 解：令x=a sect,dx=asect.tan tdt u +C a a+r-a+e-lna 令c=c,-lna
2 2 1 2 2 1 ln ln ln x x a c a a x x a c a − = + + = + − + − 2 2 = + − + ln x x a c 1 c c a = −ln 2 2 ( 0) dx a x a − x a t dx a t tdt = = sec , sec tanx a t = csc 2 2 2 2 2 sec tan sec dx a t t dt x a a t a = − − 1 = + + ln sec tan t t c 例27、求 解：令 思 考 令
例29、求∫9x+6x-1 dx 思考 x+1 -dx dx W9x2+6x-1 解： 9x46x- 9x2+6x-1,配方成(3x+1)2-(2)2 3++67-6-
2 9 6 1 dx x x + − 2 9 6 1 dx x x + − 2 9 6 1 x x + − 2 2 (3 1) ( 2) x + − 2 2 2 2 1 (3 1) 3 (3 1) ( 2) (3 1) ( 2) dx d x x x + = = + − + − 1 2 ln (3 1) 9 6 1 3 = + + + − + x x x c 例29、求 解： ，配方成 ） 2 1 ? 9 6 1 x dx x x + = + − 思考