一、无穷小量的概念 定义1：极限为零的变量称为无穷小量即mf(x)=0则称f(x)为 这一极限过程的无穷小量，简称无穷小。 当x→0时，x,5x,x2,x3,sinx,tanx都是无穷小量， 当x→+o时，1,2，无-arctanx都是无穷小量； 当x→o时，{”都是无穷小量。 njn+ij3
一、无穷小量的概念 定义1：极限为零的变量称为无穷小量即 lim f (x) = 0则称f (x)为 这一极限过程的无穷小量，简称无穷小。 当x 0时，x ,5x, x , x ,sin x,tan x都是无穷小量； → 2 3 x ； x x ， 当 时 x arctan 都是无穷小量 2 ,2 , 1 → + − − 。 n n n 当x 时， n 都是无穷小量 + → 3 1 , 1 , 1
limf(x)=A台1imf(x)-A=0台f)-l,mA=0 台1im(f(x)-A)=0 ∴.f(x)-A是x→x时的无穷小量 记为：(x)=f(x)-A 定理一、若1imf(x)=A台f(x)=A+(x),其中lima(x)=0 x→x
( ) ( ) ( ) lim ( ) 0 0 0 = = + = → → 、 l im f x A f x A x ， x x x x x 定理一 若 其中 f x A x x = → lim ( ) 0 ( ) 0 0 − = → l im f x A x x lim ( ) 0 0 0 − = → → f x l im A x x x x ( ( ) ) 0 0 − = → l im f x A x x f (x) − A是x → x0 时的无穷小量 记为： (x) = f (x)− A
二、无穷小量的性质 性质1有限个无穷小量的代数和为无穷小量； 性质2有限个无穷小量的乘积为无穷小量。 特殊： 推论1任一常数与无穷小量的乘积为无穷小量 推论2有界变量与无穷小量的乘积为无穷小量 例1、x→0时，f(x)=x是无穷小量，g(x)=sn二是有界变量， 因水ns,所以mxsm!=0
二、无穷小量的性质 性质1 有限个无穷小量的代数和为无穷小量； 性质2 有限个无穷小量的乘积为无穷小量。 特殊： 推论1 任一常数与无穷小量的乘积为无穷小量 推论2 有界变量与无穷小量的乘积为无穷小量 0 1 1 lim .sin 1 sin 1 1 0 ( ) ( ) sin 0 = → = = → x ， x x ， x 、 x ， f x x ， g x x 因为 所以 例 时 是无穷小量 是有界变量
三、无穷小量阶的比较 定义5：设，B是同一极限过程中的两个无穷小量（均不为0） (①、若im2-0,则称a是比高阶的无穷小量，记a=0(B) B (2以若mg=o,则称是比B低阶的无穷小量 (⊙以若m台-c(为常数，则称a是与洞阶的无穷小量 特殊：当c=时，则称是与B等价的无穷小量，记a~B ④以若m会-c(c20c>0则称是m价无穷小量
三、无穷小量阶的比较 (1) lim 0 0( ) 5 , ( 0) 若 = 则称 是比 高阶的无穷小量 记 = 定义 设 是同一极限过程中的两个无穷小量 均不为 、 ， ， ： 若 则称是比低阶的无穷小量 (2)、 lim = ， 若 为常数 则称是与同阶的无穷小量 (3)、 lim = c,(c )， 特殊： 当c =1时， 则称是与等价的无穷小量， 记 ~ 、 若 k c c c ， 则称是的k阶无穷小量 (4) lim = ,( 0, 0)
例2、 1),im=0,则x是x的高阶无穷小 x→0X 2λlmx 0r3 =o,则x是x的低阶无穷小 3)入lim an2x=2,则an2x是x的同阶无穷小 4),lim sinx=l,则sinx与x等价无穷小，snx~x x-→0X 1-cosx 1 5λlim 0x2 则1-cosx与x2同价无穷小，而1-cosx是x的2阶无穷小
则 是 的高阶无穷小 例 ， x x x x 、 、 x 3 3 0 1) lim 0 2 = → 3 则 是 3 的低阶无穷小 0 2) lim ， x x x x 、 x = → ， 则 x是x的同阶无穷小 x x 、 x 2 tan 2 tan 2 3) lim 0 = → ， x x ， x x x x 、 x 1 sin sin ~ sin 4) lim 0 = 则 与 等价无穷小 → 则1 cos 与 同价无穷小 而1 cos 是 的2阶无穷小 2 1 cos 1 5) lim 2 2 0 ， x x ， x x x x 、 x = − − − →
定理2、若在同一极限过程中a~a,B~B,且lm2存在， 则lm&=lm号 a BB 例3、X→0，tgx~x,Sin2x~2x, 1),lim- tgx x 1 0 sin 2x =2x=2 2).lim wm2=m2x-万 x→0 (gx)3 x01
1 1 1 1 1 1 lim lim 2 ~ , ~ lim 则 = 定理 、 若在同一极限过程中 ， 且 存在， x tgx 、 、x tgx x x x， x sin 2 1) lim 3 0, ~ ,sin 2 ~ 2 →0 例 → x x x 2 lim →0 = 2 1 = 3 2 5 3 0 ( ) ( ) sin 2 2) lim tgx x x x 、 x + → + 3 2 5 3 0 ( ) 2 lim x x x x x + → + = = 2
四、无穷大量 定义5、3：极限为无穷大的变量为无穷大量，即 1imfx)=oo,则fx为这一极限过程的无穷大量，简称无 穷大。 定理5、3：1)，若mf(x)=oo,则lim =0; f(x) 2)若1imf(x)=0(f(x)≠0)，则1im f(x) /x)=1
四、无穷大量 定义5、3： 极限为无穷大的变量为无穷大量，即 limf(x)=∞,则f(x)为这一极限过程的无穷大量，简称无 穷大。 = = = = ( ) 1 2) lim ( ) 0)( ( ) 0) lim 0 ( ) 1 5 3:1) lim ( ) lim f x 、 f x f x ， ； f x 、 、 f x ， 若 则 定理 若 则 x f x 1 ( ) =
举例 f0)=1 当x→o时，f为无穷小量 当x→0时，fx)为无穷大量 当x>2时，f)既不是无穷大量也不是无穷小量
x f x 1 ( ) = 举例 当x → 时， f(x)为无穷小量 当x → 0时， f(x)为无穷大量 当x → 2时， f(x)既不是无穷大量也不是无穷小量