二骨青系数线微分相
复习： 方程 通解 y"+p(x)y'+q(x)y=f(x) y=y+y" y”+p(x)y'+q(x)y=0 y=cy+C2y2 y"+py'+9y=0 →
复习： y + p ( x ) y + q ( x ) y = f ( x ) * y = y + y y + p ( x ) y + q ( x ) y = 0 1 1 2 2 y = c y + c y y + py + qy = 0 方程 通解
如何求y”+py'+gy=0的解： 猜想： y=ex y=e y"+py'+9y=0 特征方程 太特 殊 p+9+1=0 r2+pr+q=0 思考：已知方程y”+py+qy=0,如何写出特征方程r2+pr+g=0
如何求y+ py+ qy = 0的解: 猜想 : x y = e y + py + qy = 0 p + q + 1 = 0 r x y e = 0 2 r + pr + q = 太特殊 特征方程 思考 : 已知方程 y +p y + qy = 0, 如何写出特征方程r +2 pr+q = 0
特征方程r2+pr+g=0的解 ® 有两个不相等的实根， y=en,y =ex 0 =e-)x y=Ciy+C2y2=cenx +czex 思考：求解步骤？下面举例分析
r x r x y e y e 1 2 1 2 = , = 思考:求解步骤？下面举例分析 1 2 有两个不相等的实根r,r 特征方程r 2 + pr + q = 0的解 0< Δ r r x r x r x e e e y y ( ) 2 1 1 2 2 1 − = = r x r x y c y c y c e c e 1 2 = 1 1 + 2 2 = 1 + 2
特征方程r2+pr+q=0的解 有两个相等的实根=5=r 0 y=em,y2=xe 使是=是=4(x) y2 =u(x)ex →u(x)=? jy=cy+c2y2=ce+cxee 代入原方程得"(x)=0 思考：求解步骤？下面举例分析 u(x)=x
思考:求解步骤？下面举例分析 特征方程r 2 + pr + q = 0的解 Δ=0 r = r = r 有两个相等的实根1 2 rx y = y = e 1 2 r x r x y = c y + c y = (c + c )e = ce 1 1 2 2 1 2 , ? y1 = e y2 = rx ( ) 2 1 2 r x u x e y y y 使 = = rx y u(x)e 2 = u(x) = ? 代入原方程得u (x) = 0 u(x) = x rx rx y = e y = xe 1 2 , rx rx y c y c y c e c x e = 1 1 + 2 2 = 1 + 2
特征方程r2+pr+g=0的解 欧拉公式：e=cos Bx+isin Bx 有两共轭复根r=,2 y=e(Cos Bx+isin Bx),y=e (cos Bx-isin x) e(a+iB)x e(a-iB)x e2i y=Cy+C2y,=cie(avn+ce(a-mx 思考：求解步骤？下面举例分指， 代入原方程得"(x)=0 →u(x)=x 个
思考:求解步骤？下面举例分析 特征方程r 2 + pr + q = 0的解 Δ<0 1 2 有两共轭复根r = ,r 代入原方程得u (x) = 0 e x i x i x 欧拉公式: = cos + sin u(x) = x a i x a i x y e y e ( ) 2 ( ) 1 , + − = = i x a i x a i x e e e y y 2 ( ) ( ) 2 1 = = − + a i x a i x y c y c y c e c e ( ) 2 ( ) 1 1 2 2 1 + − = + = + (cos sin ), (cos sin ) 1 2 y e x i x y e x i x a x a x = + = −
特征方程r2+pr+g=0的解 A=0 有两个不相等的实根斯，2 有两个相等的实根=2=r有两共轭复根，5 见 0 h=e,32=e y=em,y2=xe 卫=Cy+Cy2=Ce'r+c,e y=cy+c2y2=ce+cxex
r x r x y e y e 1 2 1 2 = , = 1 2 有两个不相等的实根r,r 特征方程 r 2 + pr + q = 0的解 Δ=0 r = r = r 有两个相等的实根1 2 1 2 有两共轭复根r,r r x r x y c y c y c e c e 1 2 = 1 1 + 2 2 = 1 + 2 rx rx y = e y = xe 1 2 , rx rx y c y c y c e c x e = 1 1 + 2 2 = 1 + 2
例题： 例1、求方程y”-2y-3y=0的通解 例2、求方程y”-4y'+4y=0满足初始条件 y0)=1、y'(0)=4的解 例3求方程2y”+2y+3y=0的通解
例1、 求方程y −2y −3y = 0的通解. (0) 1 (0) 4 . 2 4 4 0 的解 例 求方程 满足初始条件 = = − + = y 、 y 、 y y y 例3、 求方程2y + 2y +3y = 0的通解. 例题：