画数的极值及其求法
函数的极值及其求法
切线平行 观豪右图：找出高数yf) 于x轴 f(x) 的敏大值和敏小值。 x,为2，x为极大值点： x2,x4,x为极小值点。 定义1，设函数f在x邻域内有定义.若 对于该邻域内异于x的点c恒有： 1)、f在>f,则称f为函数fy的极大 (1) 值x为极大值点； 极大值与极小值统称为函数的极 2)、fdf),则称f为函数f的极小值，极大值点与极小值点统称为 值，x为极小值点： 极值点。 步骤： 定义2（极值的必要条件）：设函数侧在x1、求定义域及f(x方 处可导.且f:)教值（即x为极值点）， 2、求驻点，即f"(x)=O的点和不可导点 则f'c)=0. 3、判断f'(x)在上述点左右邻域的符号变化 定义3（极值的第一充分条件）：略 4、确定极值点，并求极值；
观察右图：找出函数y=f(x) 的极大值和极小值。 y = f (x) 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 为极小值点。 为极大值点； 2 4 6 1 2 3 , , , , x x x x x x 定义1,设函数y=f(x)在x0邻域内有定义.若 对于该邻域内异于x0的点x恒有: 1)、f(x0 )>f(x),则称f(x0 )为函数f(x)的极大 值,x0为极大值点； 2)、f(x0 )<f(x),则称f(x0 )为函数f(x)的极小 值,x0为极小值点； 极大值与极小值统称为函数的极 值，极大值点与极小值点统称为 极值点。 （1） 定义2(极值的必要条件)：设函数y=f(x)在x0 处可导. 且f(x0 )极值（即x0为极值点）， 则f ′ (x0 )=0. 切线平行 于x轴 定义3(极值的第一充分条件)：略 步骤: 1、求定义域及f (x); 2、求驻点，即f (x)＝0的点和不可导点; 3、判断f (x)在上述点左右邻域的符号变化; 4、确定极值点，并求极值;
验证： 极小值为f0)=0 极小值点为x=0 极小值为f0)=0 极小值点为x=0 (2 极大值为f0)=0 极大值为f1)=0 极大值点为x=1 极大值点为x=O y=x-1) (5) V=x3 f'(0)=0 但(0,0)不是极值 点 (6)
验证: y=x3 x y o 2 y = x x y o 2 y = −x x y y = x y o x x 1 （2） 2 y = −(x −1) y （4） （5） （6） （3） 极小值为f(0)=0 极小值点为x=0 极小值为f(0)=0 极小值点为x=0 极大值为f(0)=0 极大值点为x=0 极大值为f(1)=0 极大值点为x=1 在x=0处，没有极值 但(0,0)不是极值 点 f (0) = 0
(1)、图1~4中函数有什么性质？ (2)、导数f(x)有什么变化？ 一、函数单调性的充分条件 (1)y f'(x)>0 a 0 (3) (4) f'(x<0
一、函数单调性的充分条件 a x y o β a x y o β a x y o β a β o x (1) y (2) (3) (4) （1）、图1~4中函数有什么性质？ （2）、导数f ’(x)有什么变化？ f ’(x)>0 f ’(x)<0
定理1： 设函数y=fx)在区间(a,b)内可导， (I),若Vx∈(a,b),当f(x)>0时，则f(x)在(a,b)内单调递增； 由定义：x<x2∈(a,b)2x)<f(x2) (2),若Vx∈(a,b),当f(x)<0时，则f(x)在(a,b)内单调递减
定理1: 设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导， (1)、 若x(a,b),当f '(x) 0时,则f (x)在(a,b)内单调递增； (2)、 若x(a,b),当f '(x) 0时,则f (x)在(a,b)内单调递减； : ( , ) ？ 由定义 x1 x2 a b ？ ( ) ( ) 1 2 f x f x
定理证明： x、x2∈(a,b),设x10 f'(x)>0 ∴.f(x2)-f(x)>0 .f'(5)>0 即f(x)0 故f(x)单调增 例1
定理证明: 1 2 1 2 x、x (a,b),设x x : [ , ] , , , 1 2 使得 在 x x 中由拉格朗日中值定理知 至少存在一点 '( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 f x x f x f x = − − f '(x) 0 f '() 0 0 ( ) ( ) 2 1 2 1 − − x x f x f x 又x2 − x1 0 f (x2 )− f (x1 ) 0 ( ) ( ) 1 2 即f x f x 故f (x)单调增 例1
举例： 例2、证y=x2在(-0,0)内单减，在(0，+∞)内单增。 证：x∈(-0,0)，y=2x0 ∴.y=x2在(0，+∞)内单增 例3
举例 : 证:x (−,0), y'= 2 x 0 例 2、 证y x 在( ,0)内单减； 在(0, )内单增。 2 = − + 2 y = x x yo x ( 0,+), y'= 2 x 0 ( ,0 ) ; y = x2在 − 内单减 (0, ) . y = x2在 + 内单增 例 3
举例： 例3，求函数f(x)=x3-3x的单调区间 思考： 步骤： 1、求fx)的定义域； 2、求使'(=0的点； (1)、与例1，例2有什么不同？ 及f(x)不存在的点； 这样的点把定义域分 (2)、什么样的点可以分单调区间？ 成若干个子区间； 3、判别f(x)在各 子区间内的符号； 4、确定单调区间。 例5
举例: 3 ( ) 3 . 例 、 求函数f x = x 3 − x的单调区间 思考： (1)、与例1，例2有什么不同？ (2)、什么样的点可以分单调区间？ 步骤： 1、求f(x)的定义域； 3、判别f ’(x）在各 子区间内的符号； 这样的点把定义域分 成若干个子区间； 2、求使f ’(x)=0的点； 4、确定单调区间。 及f ‘(x)不存在的点； 例1 例25
举例： 例3.求函数f(x)=x3-3x的单调区间 解：1、f(x)的定义域为-o,+o) 2、f"(x)=3x2-3=3(x+10(x-1) 令f'(x)=0→x1=-1,x2=1 从而将-0，+0)分成(-0，-1)，(-1,1)，(1，+∞) X (∞，-1) （-1,1) (1,+∞) f(x) + f(x)
举例: 3 ( ) 3 . 例 、 求函数f x = x 3 − x的单调区间 解:1、f (x)的定义域为(−,+) 2 ( ) 3 3 3( 1)( 1) 2 、 f x = x − = x + x − 令f (x) = 0 x1 = −1, x2 =1 从而将(−,+)分成(−,−1),(−1,1),(1,+) x f’(x) f(x) + - + (-∞,-1) (-1,1) (1,+ ∞)
举例： 解：从图象上可以看出： 当x>0时，f(x)为单调增； 当x<0时，fx)为单调减： 当x=0时，f“(x)不存在。 思考：这个例子又告诉了我们一个什么 情况？ 修正步骤2
举例: y = x y o x 解：从图象上可以看出： 当x>0时,f(x)为单调增； 当x<0时,f(x)为单调减； 当x=0时,f ‘(x)不存在。 思考：这个例子又告诉了我们一个什么 情况？ 修正步骤2