函数的微分及应明 一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分的在近似计算中的应用 下一贞
下一页 一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分的在近似计算中的应用
一、微分的概念 引例1：边长为X0的正方形，当边长增加△x时，其面积增加多少？ 解：设正方形面积为s,面积增加部分记作△S，则△s=(x。+△x)}-x子=2x△x+△x 引例2：把例1中的正方形铁片改成正方体，问体积改变了多少？ 解：△v=(x。+△xP-x=3x△x+3x(△x2+△x3 定义设函数f在点x的一个邻域内有定义，如果函数y在点x处的增量 △y=f+△xjf可以表示为△y=A△+，其中A与△x无关，a是△x的高阶无穷小， 则称A△x为函数y在x处的微分，记作：d,并称函数=f在点x处可微. dy=A△x 问题1：当时dy=A△x时，A=?与f)有什么关系？ 下一而
上一页 下一页 0 x x 一、微分的概念 引例1：边长为 的正方形，当边长增加 时，其面积增加多少？ 解:设正方形面积为s，面积增加部分记作 s ，则 ( ) 2 0 2 0 2 s = x0 + x − x = 2x x + x 引例2：把例1中的正方形铁片改成正方体，问体积改变了多少？ ( ) ( ) 2 3 0 2 0 3 0 3 解: v = x0 + x − x = 3x x + 3x x + x 定 义 设函数y=f(x)在点x的一个邻域内有定义，如果函数f(x)在点x处的增量 △y=f(x+ △x)-f(x)可以表示为△y=A△x+ə,其中A与△x无关, ə是 △x的高阶无穷小, 则称A△x为函数y=f(x)在x处的微分,记作:dy,并称函数y=f(x)在点x处可微. dy = Ax 问题1：当时dy =A△x 时,A=?与f(x)有什么关系？
定理1设函数y=fx在点x可微，则函数y=fx)在点x处可导，且A=f') 反之，如果y=)在点x处可导，则y=f)在点x可微。 证明：因为函数y=fc)在点x可微。 例2求函数y=2mx在x处的微分，并求 当x=1时的微分（记作dy=) ∴.△y=A△x+a 其种m品=0 解：因为y'=2 即函数y=fx)在点x处可导，且A=f'x) dyl=d l=2dx 配反之因为在点x处可导→一器了) 马-f+AA=0A=wMx+ 厨 又一袋-B-0所以在点x可微 且y=f'(x)△x或y=f(x)d 上一页
上一页 下一页 即函数y=f(x)在点x处可导,且A= f '(x) y = Ax + a 证明:因为函数y=f(x)在点x可微. lim 0 0 = x→ x 其中 A x A x A x x y x x x = = + + = → → → lim lim lim ( ) 0 0 0 反之因为f(x)在点x处可导 lim ( ) 0 f x x y x = → = ( ) + . f x x y (lim 0) 0 = → x y = f (x)x + x, lim lim 0 0 0 = = → → x x x x 又 所以f(x)在点x可微. 且dy = f (x)x或dy = f '(x)dx 定理 1 设函数y=f(x)在点x可微,则函数y=f(x)在点x处可导,且A= f '(x) 反之,如果y=f(x)在点x处可导,则y=f(x)在点x可微. 例2求函数y=2lnx在x处的微分,并求 当x=1时的微分(记作dy|x=1) x y 1 解:因为 = 2 dx x dy 2 = dx dx x dy x | x 2 2 | =1 = =1 =
二、微分的几何意义 上面我们已经讨论了增量、微分和导数之间的关系， 下面再从图形上直观地反映它们之间的关系，以便进 一步理解它们。如右图： PN dx,NM=Ay,NT=PN tan a=f'(x)dx x+△ ..dy=NT 即函数y=f)的微分d就是曲线y=fx)在点p处切线的纵坐标在相应处x的增量，而△y 就是曲线=f)的纵坐标在点x处的增量。另外，我们看到当|△x很小时，△y-d 比△x小得多 例7、y=e3xcos2x,求 解：dy=d(e3rcos2x)=e3 d cos:2x+cos2xde3x =-e-3*sin 2xd(2x)+cos2xe3*d(-3x) =-2e-3x sin 2xdx-3cos2xe 3*dx =-e(2sin 2x+3cos2x)dx 上一页，下一页
上一页 下一页 二、微分的几何意义 x + x x M y = f (x) T P N 上面我们已经讨论了增量、微分和导数之间的关系， 下面再从图形上直观地反映它们之间的关系，以便进 一步理解它们。如右图: PN = dx,NM = y,NT = PN tan = f (x)dx dy = NT 即函数y=f(x)的微分dy就是曲线y=f(x)在点p处切线的纵坐标在相应处x的增量，而△y 就是曲线y=f(x)的纵坐标在点x处的增量。另外，我们看到当|△x |很小时， |△y-dy | 比|△x |小得多 y e x dy 例7、 = −3x cos2 ，求 x x x dy d e x e d x xde 3 3 3 ( cos2 ) cos2 cos2 − − − 解： = = + sin 2 (2 ) cos 2 ( 3 ) 3 3 e x d x x e d x x x = − + − − − e xdx x e dx 3x 3x 2 sin 2 3cos 2 − − = − − e x x dx x (2sin 2 3cos2 ) 3 = − + −
三微分在近似计算中的应用 当|△x很小时，即△x<1 可应用于求函数改变量的近 Ay≈dy 似值 fx+△x)-f6x)≈f(xAx fx+△x)≈fx)+f(x)Ax 可应用于求函数的近似值 f)≈f(x)+f(x)Ax 例 、一个充好气的气球，半径为4m。升空后，因外部气压降低气球半径增大10cm。 问气球的体积近似增加多少？ 例9：计算cos3012'的近似值。 例10：计算√4.2的近似值。 例1、试证当h<1时，e≈1+h
上一页 下一页 三 微分在近似计算中的应用 当| x |很小时，即x 1 y dy f (x + x)− f (x ) f (x )x 0 0 0 ' f (x + x) f (x )+ f (x )x 0 0 0 ' f (x) f (x )+ f (x )x 0 0 ' 可应用于求函数的近似值 可应用于求函数改变量的近 似值 例8、一个充好气的气球，半径为4m。升空后，因外部气压降低气球半径增大10cm。 问气球的体积近似增加多少？ 例9:计算cos30 12'的近似值。 例10:计算 4.2的近似值。 11 h 1 e 1 h. h 例 、试证当 时， +