第热元龙
公式，结 回顾 果明显！ cos xdx=sin x+C 观察下面两个积分， 与上面的公式作比较 看有什么不同，试求 出结果。 十cos2xd2x=sin2x+C 2xcosx'dx=sin x2+C 1 商 超
观察下面两个积分， 与上面的公式作比较， 看有什么不同，试求 出结果。 公式，结 回 果明显！ 顾： cos xdx = sin x + C 2 x dx 2 cos2x d2 x 1 2xcos 2= 2 sin 2 x + C 1 = x + C 2 sin
缮 通过对以上两个例子的计算和分析，我们不难 发现两者有很多共同之处，一.被积函数都由基 本积分公式内的基本初等函数变成了复合函数； 二都是通过把积分变量x变成被积复合函数的内 函数，力求与公式相一致，从而求得积分结果。 此类积分还有很多，故把求此类积分的计算方 法归结为一类，即第一类换元积分法或称凑微 分法。 A
通过对以上两个例子的计算和分析，我们不难 发现两者有很多共同之处，一. 被积函数都由基 本积分公式内的基本初等函数变成了复合函数； 二.都是通过把积分变量x变成被积复合函数的内 函数，力求与公式相一致，从而求得积分结果。 此类积分还有很多，故把求此类积分的计算方 法归结为一类，即第一类换元积分法或称凑微 分法。 总 结：
蜜 定理1：（第一类换元法）设∫fx)dx=F(s)+C, 且u=中(x)为可微函数，则 Jf((x))o'(x)dx=F(p(x))+C 易证故略 商 注：关键就在于找出p(x) 是 國 超 n
定理１：（第一类换元法）设∫f(x)dx=F(x)+C, 且u=φ(x)为可微函数，则 ∫f(φ(x))φ’(x)dx=F(φ(x))+C 定 理： 注：关键就在于找出φ（x） 易证故略
举 析 首先找出两例中的 Φ(x)分别为3x+2 和4x+5,对二者分 别求微分可得 +例1∫sin3x+2d d(3x+2)=3dx和 d(4x+5)=4dx,凑微 如fe4 方法如下： 座 部 超
举 例： x dx 例１. sin( 3 + 2 ) x dx 2 2. ( 4 5 ) 例 + 分 析： 首先找出两例中的 φ(x)分别为３x+2 和4x+5, 对二者分 别求微分可得 d(3x+2)=3dx 和 d(4x+5)=4dx，凑微 方法如下：
站 (X)=x+ 例1sm(3x+2)=sin(3x+2)d(3x+2) =-3c0s(3x+2)+C
计 算： + = 例１. sin( 3 x 2 )dx sin( 3 x + 2 ) d ( 3 x + 2 ) 31 = − 3 cos( 3 x + 2 ) + C 1 φ(x)= ３x+ ２
站 P)=4k+ 例2∫4x+5)d-4∫(4x+5)2d(4x+5) =•号(4x+5)3+C=(4x+5)+C 超 是 國 超
计 算： + = x dx 2 例 2. ( 4 5 ) φ(x)= ４x+ ５ ( 4 + 5 ) ( 4 + 5 ) 2 x d x 41 = • ( 4 x + 5 ) + C = 1 2 ( 4 x + 5 ) + C 3 1 31 41
结 当p(x)=ax+b时，dx=d(ax+b) ∫f(ax+b)dx=a∫f(ax+b)d(ax+b) 注：1.当计算方法掌握熟练以后， 可以省略掉设φ(x),而直接写出结果 2.当被积函数为多项式的幂函数 时，也可以把函数展开后直接积 分。如： 3当多项式次数过高时，展开 不易，则用换元法简单。如：
小 结： 注：１.当计算方法掌握熟练以后， 可以省略掉设φ(x),而直接写出结果 2. 当被积函数为多项式的幂函数 时，也可以把函数展开后直接积 分。如： 3.当多项式次数过高时，展开 不易，则用换元法简单。如： + = + + = + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 f ax b dx f ax b d ax b x ax b dx d ax b a 当 时， a
解法？ ∫(4x+5)2d =(643x+40904到t5) 6f成4pr4f8+5d 怎44C 字
x x x C x dx xdx dx x x dx = + + + = + + = + + 20 25 16 40 25 (16 40 25) 3 2 3 1 6 2 2 解法 ２： ( 4 x + 5 ) 2 dx 99 x C x C x d x = + + = • + + = + + 100 4001 100 1001 41 9 9 41 ( 4 5 ) ( 4 5 ) ( 4 5 ) ( 4 5 )
对照基本积分表，不难发现以下各式分别与表中的公 ∫c=hx+C ∫店k=arcsin+C 超 ∫ =arctanx+C 超 超 超
举 例： dx x+1 1 − dx a x 2 2 1 + dx a x 2 2 1 对照基本积分表，不难发现以下各式分别与表中的公式类似 x dx = x +C ln | | 1 dx x C x = + − arcsin 2 1 1 x C x dx = + + 2 arctan 1 公 式：