极限前言
极限前言
一、极限概念的地位与作用： 我们在上节已经指出，微积分是研究函数 为对象的一门学科，那么，它是用什么方 法研究函数呢？这个方法就是极限。从方 法论来说这是微积分区别与初等数学的显 著标志，微积分中几乎所有的概念都离不 开极限，也可以说，极限概念贯穿于微积 分的始终，因此，极限概念是微积分的重 要概念，极限理论是微积分的基础理论
一、极限概念的地位与作用： 我们在上节已经指出，微积分是研究函数 为对象的一门学科，那么，它是用什么方 法研究函数呢？这个方法就是极限。从方 法论来说这是微积分区别与初等数学的显 著标志，微积分中几乎所有的概念都离不 开极限，也可以说，极限概念贯穿于微积 分的始终，因此，极限概念是微积分的重 要概念，极限理论是微积分的基础理论
中国古代极限思想（刘徽割圆术） 极限概念是由于求某些实际问题的精确 解答而提出的，早在公元263年，我国 杰出的数学家刘徽在《九章算术》中， 计算的过程中，创立并使用了极限方法 他为了定义和计算圆的周长创立了“割 圆术”，因为曲边形不会算，设想用直 边形去逼近，而直边形是可以计算的
中国古代极限思想（刘徽割圆术） 极限概念是由于求某些实际问题的精确 解答而提出的，早在公元263年，我国 杰出的数学家刘徽在《九章算术》中， 计算的过程中，创立并使用了极限方法 ， 他为了定义和计算圆的周长创立了“割 圆术”，因为曲边形不会算，设想用直 边形去逼近，而直边形是可以计算的
他用正六边形，12边形，24边 形..192边形“割之弥细，所失弥少” 边数越多，近似程度愈好，但是无论 边数怎样多，只要是有限数，它永远 是圆的近似值，而我们需要的是圆的 精确值，怎么办呢？当“割之又割， 以至于不可割”，即让边数无限增多， （n一>∞)，则“与圆合体无所失矣”， 近似值向精确值进行了转化
他用正六边形，12边形，24边 形…192边形“割之弥细，所失弥少”， 边数越多，近似程度愈好，但是无论 边数怎样多，只要是有限数，它永远 是圆的近似值，而我们需要的是圆的 精确值，怎么办呢？当“割之又割， 以至于不可割”，即让边数无限增多， （n－>∞）,则“与圆合体无所失矣”， 近似值向精确值进行了转化
三、割圆术所给予的启示： 刘徽的割圆术给了我们一个重要启示：在 有限的过程中，只是解决了圆周长近似值 的计算问题，而在无限的过程中，则近似 值向精确值转化，解决了精确值的计算问 题。未知与已知、直与曲、近似与精确， 既有差别又有联系，但在无限的过程中， 则可以由此达彼。虽然我们的极限思想建 立很早，但形成严密的理论，则是在十九 世纪柯西等人完成的
三、割圆术所给予的启示： 刘徽的割圆术给了我们一个重要启示：在 有限的过程中，只是解决了圆周长近似值 的计算问题，而在无限的过程中，则近似 值向精确值转化，解决了精确值的计算问 题。未知与已知、直与曲、近似与精确， 既有差别又有联系，但在无限的过程中， 则可以由此达彼。虽然我们的极限思想建 立很早，但形成严密的理论，则是在十九 世纪柯西等人完成的