品数的凹凸性及拐点
函数的凹凸性及拐点
观察图1、2中的两条曲线 图1中的曲线是向下鼓鼓地增，而图2中的曲线是向上鼓鼓地增 看看函数y=f)的导数有什么变化？ y=f(x) (1)y fx) X1 X2 X 0 X1 X2 号>B>a>0 5>ax>B>0 .f"(x2)=tan B>tana=f(x) ..f(x2)=tan B0 从而有f"(x)<0
a x y o β β a o x (1) y (2) 观察图1、2中的两条曲线 图1中的曲线是向下鼓鼓地增，而图2中的曲线是向上鼓鼓地增 看看函数y=f(x)的导数有什么变化？ x1 x2 '( ) tan tan '( ) 0 2 1 2 f x = = f x x1 x2 '( ) tan tan '( ) 0 2 1 2 f x = = f x 从而有f "(x) 0 单调增， 又 '( ) 1 2 f x x x 单调减， 又 '( ) 1 2 f x x x 从而有f "(x) 0 y=f(x) y=f(x)
观察图3、4中的两条曲线 图3中的曲线是向下鼓鼓地减，而图4中的曲线是向上鼓鼓地减 看看函数y=x)的导数有什么变化？ (4) X1 X2 X1 X2 π π tan a=f(x) 又x10
a x y o β (3) 观察图3、4中的两条曲线 a x y o β (4) 图3中的曲线是向下鼓鼓地减，而图4中的曲线是向上鼓鼓地减 看看函数y=f(x)的导数有什么变化？ x1 x2 x1 x2 '( ) tan tan '( ) 2 2 1 f x = = f x '( ) tan tan '( ) 2 2 1 f x = = f x 从而有f "(x) 0 单调增， 又 '( ) 1 2 f x x x 单调减， 又 '( ) 1 2 f x x x 从而有f "(x) 0
定义1.设函数y=f6x)在某区间I内可导， 若fx)在区间I内是递增的，则曲线y=f)在I内是凹的。 区间称为凹区间，用符号“U”表示。 若∫)在区间内是递减的，则曲线y=fx在I内是凸的。 区间称为凸区间，用符号“∩”表示。 定义2.设函数y=f()在某区间内连续，则曲线 y=f)在I内的凹凸分界点称为曲线y=f)的拐 点
定义1.设函数y=f(x)在某区间I内可导; 若f `(x)在区间I内是递增的，则曲线y=f(x)在I内是凹的。 区间I称为凹区间，用符号“∪”表示。 若f `(x)在区间I内是递减的，则曲线y=f(x)在I内是凸的。 区间I称为凸区间，用符号“∩”表示。 定义2. 设函数y=f(x)在某区间I内连续，则曲线 y=f(x)在I内的凹凸分界点称为曲线y=f(x)的拐 点
定理1.设函数y=fx)在某区间I内具有二阶导数 )、若y=f”x)>0,则曲线y=fx)在区间内是凹的。 2、若y=f”x)<0,则曲线y=f在区间I内是凸的
定理1. 设函数y=f(x)在某区间I内具有二阶导数 1)、若y=f〞(x)>0 ，则曲线y=f(x)在区间I内是凹的。 2)、若y=f〞(x)<0 ，则曲线y=f(x)在区间I内是凸的
例1.考察在R上的凹凸性。如右图： 解：y"=2>0 .y=x2在R上是凹的
在 上是凹的。 解 R : 2 0 2 y x y = = 2 y = x x y o 例1. 考察在R上的凹凸性。如右图：
例2、考察y=x的凹凸性。 解：y=6x→ [x>0y">0f(x)凹 x<0y"<0f(x)凸 在凹凸区间的分界点(0,0)即拐点
例 、 考察y x 的凹凸性。 3 2 = 3 y = x x y o = 凸 凹 解： 0 '' 0 ( ) 0 '' 0 ( ) 6 '' x y f x x y f x y x 在凹凸区间的分界点（0,0）即拐点
定理2：（拐点的必要条件），若函数y=f) 在x处二阶导数存在，且点(x,f(co)》为曲 线y=fx的拐点，则f”)=0
定理2：（拐点的必要条件），若函数y=f(x) 在x0处二阶导数存在，且点(x0 ,f (x0 ))为曲 线y=f(x)的拐点，则f 〞 (x)=0
例那：考察y=x定义R上， y=号00 5 x0f(x)凹
例3：考察 x 定义R上. 3 1 y = = − − 凹 凸 0 '' 0 ( ) 0 '' 0 ( ) 9 2 3 5 '' x y f x x y f x y x
定理3（充分条件）若f”()=0,且在X,两侧变号， 则点(Xo,f(Xo)是曲线的拐点。 求曲线拐点的步骤： 1),求f)的定义域： 2),求f(,f”(: 3),求f”(x)=0的点或f”X)不存在的点； 4),判断f”()在以上点左右两侧的符号变化，从 而确定拐点
定理3（充分条件）若f 〞 (x)=0 ，且在x0两侧变号， 则点(x0 ,f (x0 ))是曲线的拐点。 求曲线拐点的步骤： 1)，求f(x)的定义域; 2)，求f `(x) , f 〞 (x); 3),求f 〞 (x)=0的点或f 〞 (x)不存在的点; 4),判断f 〞 (x)在以上点左右两侧的符号变化，从 而确定拐点