函数的极限
数列是定义在正整数集合上的函数，它的自变量是离散的取 值，因而极限只是一种特殊函数的极限。下面我们来讨论定 义在实数集上自变量连续函数取值的函数y=f的极限根据 自变量x的变化过程，我们将分两种基本情况来讨论：第一， 当自变量x的绝对值无增大的过程中，函数的变化趋势，即 x一>oo时，fx)的极限。 第二，当自变量x无限接近于x的过程中，函数的变化趋势， 即x一>xo时，fx)的极限
数列是定义在正整数集合上的函数，它的自变量是离散的取 值，因而极限只是一种特殊函数的极限。下面我们来讨论定 义在实数集上自变量连续函数取值的函数y=f(x)的极限根据 自变量x的变化过程，我们将分两种基本情况来讨论：第一， 当自变量x的绝对值无增大的过程中，函数的变化趋势，即 x—>∞时，f(x)的极限。 第二，当自变量x无限接近于x0的过程中，函数的变化趋势， 即x—>x0时, f(x)的极限
(一人当x一>oo时，函数f)的极限。 1、考察当x→o时，f(x)=的极限。 从右图中可以看出：当x→0时，10 →0 lim二=0台x→o →0 x→X 量 化 3N∈W ∀εN 1 -0X
(一)、当x—>∞时，函数f(x)的极限。 。 x 、 考察当x 时，f x 的极限 1 1 → ( ) = -M M 0 1 → → x 从右图中可以看出： 当x 时， 0 1 0 1 lim = → → → n n n n 量 化 N N+ 0 n N − 0 1 n 0 1 0 1 lim = → → → x x x x 量 0 化 0 − 0 1 x x 1 1 x 1 X = x X − 0 1 x
(一人当x—>oo时，函数f化)的极限。 回顾lim=0台n→o 1 →0 n-→0n 化 3NEN VεN L-0M L-00 即： lim 1=0台(6>0， (2)3M>0 (3)x,x>M (4)
(一)、当x—>∞时，函数f(x)的极限。 0 1 0 1 lim = → → → n n n n 量 化 N N+ n N − 0 1 n 0 1 0 1 lim = → → → x x x x 量 化 0 ( 0) − 0 1 x M 0 x M 回顾 类比 − = → 0 1 (3) , (4) 0 (1) 0, (2) 0 1 lim x x x M M x x 即：
定义：设有函数fx,A是常数，若对于任意>0，总存在正 数M>0,使得对于一切x>M,有f-A0,(2归M>0 (3)Vx,x>M (4)f(x)-A0,总存在一个正数M 当X>M时，函数y=f(x)的图象就全部夹在这两条平行线之间，如图
定义：设有函数f(x)，A是常数，若对于任意ε>0，总存在正 数M>0，使得对于一切|x|>M，有|f(x)-A|< ε ，则称当x趋于 无穷大时，函数f(x)以常数Ａ为极限，记作 lim ( ) = , ( ) → ( → ) → f x A f x A x x 或 有 “ — ”定义： − = → x x M f x A M f x A M x (3) , (4) ( ) lim ( ) (1) 0, (2) 0 几何意义： f (x) − A A− f (x) A+ M x M y = f (x) 做两条平行线 ，对于每一个预先给定的 ，总存在一个正数 当 时，函数 的图象就全部夹在这两条平行线之间，如图 y = A − , y = A + 0
y=f(x) A+8 A-8 M 定理2，l.:limf(x)=A台limf(x)=limf(x)=A X→十
- M M A + A − y = f ( x ) 、： f x A f x f x A x x x = = = → →+ →− 定理 2 1 lim ( ) lim ( ) lim ( )
(仁人、当x—>Xo时，函数f)的极限。 1考察新)=4红-的变化情况。 2x-1 分析红二'在x=处没有意义 2x-1 2 当2x1 从右图可知：当无限趋向于且不等于时，4二无限接近于2 2x-1 结论次→)=红二12 2x-1
(二)、当x—>x0时，函数f(x)的极限。 。 x x 、 考察f x 的变化情况 2 1 4 1 1 ( ) − − = 分析 在 处没有意义 2 1 2 1 4 1 = − − x x x 2 1 2 1 4 1 2 1 2 = + − − x x x 当x 时， 2 2 1 2 2 1 4 1 2 1 2 1 2 从右图可知 当 无限趋向于 且不等于 时 无限接近于 − − x x ： x ， ， 2 2 1 4 1 , ( ) 2 1 2 → − − → = x x 结论：x f x
定义：设函数f(x)在点x。的去心邻域内有定义， A是一个确定的常数，若对于任意的E>0,总存在正数δ 使得对满足不等式00,36>0，x,0<x-x<时， 有f(x)-A<8 几何意义：f(x)-A<ε台A-￡<f(x)<A+ 0<x-x<6台x0-6<x<x0+6(x≠x)
f (x) 0 x 0 0 x − x0 x f (x) − A x 0 x f (x) f (x) lim ( ) , ( ) ( ) 0 0 f x A f x A x x x x = → → → 或 定义：设函数 在点 的去心邻域内有定义， ，总存在正数 使得对满足不等式 的一切 ，都有 ，则称当 无限趋近于 时，函数 以A为极限（或 收敛于A）。记： A是一个确定的常数，若对于任意的 − = − → f x A f x A x x x x x ( ) lim ( ) 0, 0, ,0 0 0 有 “ — ”定义： 时， 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 x x x x x x x f x A A f x A − − + − − + 几何意义：
定义2、5： limf(x)=A台ε>0,36>0，x,00,36>0，x,01 解： (1)因为1imfx)=im(x+1)=1 lim f(x))=lir=0 30 函数f(x)在x=0处左、右极限存在但不相等 定理2,2：limf(x)=A台limf(x)=lim.f(x)=A 70 x→x0
= − − → − f x A x x x f x A x x lim ( ) 0, 0, ,0 ( ) 0 0 时，有 定义2、5： = − − → + f x A x x x f x A x x lim ( ) 0, 0, ,0 ( ) 0 0 时，有 定义2、6： 2 1, ( ) , 1, x f x x + = 例2、试求函数 0 0 1 1 x x x − 在 x = 0 和 x =1 处的极限。 0 0 lim ( ) lim ( 1) 1 x x f x x → → − − = + = 2 0 0 lim ( ) lim 0 x x f x x → → + + = = f x( ) x = 0 解：（1）因为 函数 在 处左、右极限存在但不相等 、 f x A f x f x A x x x x x x = = = → → − → + 2 2: lim ( ) lim ( ) lim ( ) 0 0 0 定理
小结： 10 limf(x)3,但f(x)）不臼，例3 20mfx)不， 但f(x)）月， 补例2) 30lmf(x)月， 且f(x)月， 但不相等，例5 X→xn 40 limf(x)月， 且f(x)月， 并相等，补例1) K->xo
0 1 lim ( ) , ( 0 ) 3 0 但 不， 例 → f x f x x x 0 2 lim ( ) , ( ) (2) 0 0 不 但 ， 补例 → f x f x x x 0 3 lim ( ) , ( 0 ) 5 0 且 ， 但不相等， 例 → f x f x x x 0 4 lim ( ) , ( ) (1) 0 0 且 ， 并相等， 补例 → f x f x x x 小结：