道法极课 甘肃省会宁县第一中学朱镜鸿 一、内容和内容解析 我国著名数学家吴文俊院士曾指出，数学发展中有两种思想：一种是公理化思想，另 一种是机械化思想。前者源于古希腊，后者则贯穿整个中国古代数学，这两种思想对数学 发展都曾起过巨大作用。机械化的思想就是算法的思想。 计算机能模仿人的某些机械性部分的思维功能，能按一定的规则进行逻辑判断和推理 代替人脑的部分劳动，而且能更快更精确，把人从繁重的较简单的脑力劳动中解脱出来。 但是计算机不能自主解决问题，它必须通过人输入各种程序来执行，这种程序的基础即是 算法。 算法是按照一定规则解决某一问题的明确的有限的步骤。算法具有普遍性，它解决的 是一类而不仅仅是一个具体的问题：由于算法最终要编成程序交于计算机执行，所以必须 是明确和有限的步骤，否则计算机输不出结果，也就没有意义了。 本课设置的问题大体代表了算法的三种逻辑结构，由浅入深。 二、目标和目标解析 算法可以看作是对问题的另一种意义上的解，不仅简单地包括对问题的答案、还包括获 得答案的过程、方法，而且此过程必须精确有效。因此算法的设计旨在发展学生对构造性 数学的理解和对运算意义的理解，由此培养学生程序化地进行思考的习惯从而发展学生思 维的逻辑性，条理性、精确性，并了解数学在计算机中的应用，提高对数学重要性的认识 三、教学设计 教学过程
算法概念课 甘肃省会宁县第一中学 朱镜鸿 一、内容和内容解析 我国著名数学家吴文俊院士曾指出，数学发展中有两种思想：一种是公理化思想，另 一种是机械化思想。前者源于古希腊，后者则贯穿整个中国古代数学，这两种思想对数学 发展都曾起过巨大作用。机械化的思想就是算法的思想。 计算机能模仿人的某些机械性部分的思维功能，能按一定的规则进行逻辑判断和推理， 代替人脑的部分劳动，而且能更快更精确，把人从繁重的较简单的脑力劳动中解脱出来。 但是计算机不能自主解决问题，它必须通过人输入各种程序来执行，这种程序的基础即是 算法。 算法是按照一定规则解决某一问题的明确的有限的步骤。算法具有普遍性，它解决的 是一类而不仅仅是一个具体的问题；由于算法最终要编成程序交于计算机执行，所以必须 是明确和有限的步骤，否则计算机输不出结果，也就没有意义了。 本课设置的问题大体代表了算法的三种逻辑结构，由浅入深。 二、目标和目标解析 算法可以看作是对问题的另一种意义上的解，不仅简单地包括对问题的答案、还包括获 得答案的过程、方法，而且此过程必须精确有效。因此算法的设计旨在发展学生对构造性 数学的理解和对运算意义的理解，由此培养学生程序化地进行思考的习惯从而发展学生思 维的逻辑性，条理性、精确性，并了解数学在计算机中的应用，提高对数学重要性的认识。 三、教学设计 教学过程 师 生 活 动 设 计 意 图
装有醋和酒？ 解析：当然需要一个空杯子C。有两种方法：第一种是首先将A中的酒倒入〔 然后将B中的醋倒入A中，最后将C中的酒倒入B中， 这样A,B中就分 中，然后将A中的酒倒入E 目 学生自己思考并 引学生注意力 出自己的见解 ,引发学 探索的兴趣 ,通过 步 步地解决实际问题初步体会本节课将要学 的算法的思想
设 置 情 境 引 入 课 题 问题 1.1：A,B 两个杯子里分别装有酒和醋，怎样可以交换，即让 A,B 里分别 装有醋和酒？ 解析：当然需要一个空杯子 C。有两种方法：第一种是首先将 A 中的酒倒入 C 中，然后将 B 中的醋倒入 A 中，最后将 C 中的酒倒入 B 中,这样 A，B 中就分 别装有醋和酒；第二种是首先将 B 中的醋倒入 C 中，然后将 A 中的酒倒入 B 中，最后将 C 中的醋倒入 A 中,同样也达到了目的。 让 学 生 自 己 思 考 并 说 出 自 己 的 见 解 。 吸 引 学 生 注 意 力 ， 引 发 学 生 探 索 的 兴 趣 ， 通 过 一 步 一 步 地 解 决 实 际 问 题 初 步 体 会 本 节 课 将 要 学 习 的 算 法 的 思 想
之买将米时海之骚国 x-2y=-1 ⊙ 2x+y=1 从解决熟恶的二 解析：用消元法来一步步求解 识第一步：①+②×2，得5x=1 ③ 师强调在求解的时候写 ④ 解 得 精确的步骤 方程组得到启发 第五步：方程组解为 ·从而解 ,我们把这个问题推广 ,引 般的 2.2:解下列二元一次方程 组 导学生总结二 元 ax+by=c1 次 aax+bay=C2 其中a的-44≠0 方程 会 解析：类比问题2.2，用消元法来一步步求解。 步 第一步：①xs+②xb,符a-a4k=b-4:@ b2g1-92 第二步：解③，得a2-a4 般解法。 步地解 第三步：②Xa-0×a,得a6-a4》=46-a9④ 第 四 ④ y=99-a a12-a261 类问题的想法 x=49-492 第五步：方程组解为 a-a4
探 索 实 践 建 构 知 识 问题 2.1：如何来解这个二元一次方程组呢？ ① ② 解析：用消元法来一步步求解 第一步：①+②×2，得 . ③ 第二步：解③，得 . 第三步：②-①×2,得 . ④ 第四步：解④ , 得 . 第五步：方程组解为 师：这是我们熟悉的一个具体的二元一次方程组，我们把这个问题推广一 下，对于任意的一个二元一次方程组我们如何求解？ 2.2 ： 解 下 列 二 元 一 次 方 程 组 其中 . 解析：类比问题 2.2，用消元法来一步步求解。 第一步：①× b2+②×b1，得 ③ 第二步：解③，得 . 第三步：②×a1-①×a2,得 ④ 第四步：解④ , 得 . 第五步：方程组解为 教 师 强 调 在 求 解 的 时 候 写 出 精 确 的 步 骤 ， 解 决 后 ， 引 导 学 生 总 结 二 元 一 次 方 程 组 的 一 般 解 法 。 从 解 决 熟 悉 的 二 元 一 次 方 程 组 得 到 启 发 ， 从 而 解 决 一 般 的 二 元 一 次 方 程 组 ， 体 会 一 步 一 步 地 解 决 一 类 问 题 的 想 法
a,。-aC a2-a4 师：从解决上述两个问题的过程来看，大家有什么样的体会？每解决一个问 题，其步骤是有限的吗？任何一个步骤是明确的吗？ 一步求解的，步骤性很强。步骤是有限的、 明确的。 主要突出顺序结 觉有种程予化的 养这种程 根 替 大脑的考 惯； 其米化的时代 准确地繁复的 可 。但计算机本身是 的 要人编好程 断然后交 给计算机，计算机会按照程序执行，最终解决问题。因此我们要编好程序， 这程序的雏形其实就如我们刚刚解决的这两个问题的过程，也就是今天我们 要学习的算法。 的总 算法从字面上来看，就是计算的方法。事实上，刚开始算法确实是用 阿拉伯数字进行算术运算的过程，后来随着数学的发展，算法的概念也有所 扩充，现在，在数学中，算法通常指按照一定规则解决某一类问题的明确的 和有限的步骤。算法的优越处在于，它是解决一类问题的，比如问题2.1我 们只是解决了 元一次方程组，而问题 元一次方 在解决后调到 即 之前先解决具 数改 是，为什么要求明确利 省限的步骤呢？因为算法最终要》 序交付计算 机执行，所以步必须明确和有限， 否则计算机执行不 样的话就没有意义了。 所以我们在编算法的时候应该遵循上述原则
师：从解决上述两个问题的过程来看，大家有什么样的体会？每解决一个问 题，其步骤是有限的吗？任何一个步骤是明确的吗？ 生：都是一步一步求解的，步骤性很强。步骤是有限的、明确的。 师：是的。我们感觉有种程序化的味道，其实我们就要有意识地培养这种程 序化地进行思考的习惯，因为在今天这样一个信息化的时代，计算机可以代 替人大脑的部分劳动，比如快速准确地繁复的计算，一部分逻辑判断和推理 等等。但计算机本身是不会解决问题的，所以首先需要人编好程序，然后交 给计算机，计算机会按照程序执行，最终解决问题。因此我们要编好程序， 这程序的雏形其实就如我们刚刚解决的这两个问题的过程，也就是今天我们 要学习的算法。 算法从字面上来看，就是计算的方法。事实上，刚开始算法确实是用 阿拉伯数字进行算术运算的过程，后来随着数学的发展，算法的概念也有所 扩充，现在，在数学中，算法通常指按照一定规则解决某一类问题的明确的 和有限的步骤。算法的优越处在于，它是解决一类问题的，比如问题 2.1 我 们只是解决了一个二元一次方程组，而问题 2.2 我们解决了整个二元一次方 程组，以后遇到任何一个二元一次方程组，我们只需将系数改变即可。不过 在解决某一类问题之前先解决具体问题可以给我们一些启示。还有一个问题 是，为什么要求明确和有限的步骤呢？因为算法最终要被编成程序交付计算 机执行，所以步骤必须明确和有限，否则计算机执行不了或输不出结果，这 样的话就没有意义了。 所以我们在编算法的时候应该遵循上述原则。 根 据 刚 才 的 总 结 ， 让 学 生 自 己 求 解 。 主 要 突 出 顺 序 结 构
教师引导学生总结解决上述问题时的体会，然后教师总结 范例讲解巩固检测 间题31：没计一个算法求=的值。 解析：根据绝对值的定义求解。 第一步：给定a 第二步：判断4是否大于或等于0，若是，则x=a:若否，则x=-口 主要突出条 结 间思4,1：设计一个算法判断7是否为质数。 解析：质数是只能被1和自身整除的大于1的整数。所以直接的想法是分别 用2、3、4、5、6去除7，看其中有没有数可以整除7，若有，则说明7不是 质数：若没有，则说明7是质数。 第一步：用2除7，得余数1，因为余数不为0，所以2不能整除7 第二步：用3除7，得余数1，因为余数不为0，所以3不能整除7 第三步：用4除7，得余数3，因为余数不为0，所以4不能整除7 第四步：用5除7，得余数2，因为余数不为0，所以5不能整除7， 第五步：用6除7，得余数1，因为余数不为0，所以6不能整除7 因此， 7是数
教 师 引 导 学 生 总 结 解 决 上 述 问 题 时 的 体 会 ， 然 后 教 师 总 结 。 范 例 讲 解 巩 固 检 测 问题 3.1:设计一个算法求 的值。 解析：根据绝对值的定义求解。 第一步：给定 . 第二步：判断 是否大于或等于 0，若是，则 ；若否，则 . 问题 4.1：设计一个算法判断 7 是否为质数。 解析：质数是只能被 1 和自身整除的大于 1 的整数。所以直接的想法是分别 用 2、3、4、5、6 去除 7，看其中有没有数可以整除 7，若有,则说明 7 不是 质数：若没有,则说明 7 是质数. 第一步：用 2 除 7，得余数 1，因为余数不为 0，所以 2 不能整除 7. 第二步：用 3 除 7，得余数 1，因为余数不为 0，所以 3 不能整除 7. 第三步：用 4 除 7，得余数 3，因为余数不为 0，所以 4 不能整除 7. 第四步：用 5 除 7，得余数 2，因为余数不为 0，所以 5 不能整除 7. 第五步：用 6 除 7，得余数 1，因为余数不为 0，所以 6 不能整除 7. 因此，7 是质数. 主 要 突 出 条 件 结 构
练习4.2：设计一个算法判断35是否为质数. 问题4.3：设计一个算法判断n(n>2)是否为质数 学生练习 ,得余数工.判断r是否为0，若是，则n不是质数：若否 则进行下一步】 第二步：用3除n,得余数r.判断r是否为0，若是，则n不是质数：若否， 则进行下一步. 第-3步：用月-2除n,得余数r.判断r是否为0，若是，则n不是质 数：若否，则进行下一步。 第 2步：用”-1除n,得余数r.判断r是否为0，若是，则n不是质数： 师引导学生 若否 n是 过程中有 .”代替的步骤是不确 看似重复的步 而且n不象 所以我们 改进在整个 述两个何 定的数， 所以 我们可以用变量1表示2~力一2的数，用一种循环的想法来写算法. 主要突出 第一步：给定整数n(n>2). 环 i除n,得到余数 第四步 增加 仍用 0是否成立若是，则n不是质数，结束算法：否则将1的值 第五步：判断1》(1)是否成立若是，则n是质数，结束算法：否则返回 第三步 让学生讨论能否简化此算法
练习 4.2：设计一个算法判断 35 是否为质数. 问题 4.3：设计一个算法判断 n（n>2）是否为质数. 解析：学生可能会仿照仿照上述两个问题用 ～ 去除 n.，然后判断余 数（设为 r）的情况.如下： 第一步：用 2 除 n,得余数 r.判断 r 是否为 0，若是，则 n 不是质数；若否， 则进行下一步. 第二步：用 3 除 n,得余数 r.判断 r 是否为 0，若是，则 n 不是质数；若否， 则进行下一步. . 第 步；用 除 n,得余数 r.判断 r 是否为 0，若是，则 n 不是质 数；若否，则进行下一步. 第 步；用 除 n,得余数 r.判断 r 是否为 0，若是，则 n 不是质数； 若否，则 n 是质数. 但问题是中间被“.”代替的步骤是不确定的.所以我们需要改进.在整个 过程中有一些看似重复的步骤，而且 n 不象上述两个例子是确定的数，所以 我们可以用变量 i 表示 ～ 的数，用一种循环的想法来写算法. 第一步：给定整数 n（n>2）. 第二步：令 i=2. 第三步；用 i 除 n,得到余数 r. 第四步；判断 r=0 是否成立.若是，则 n 不是质数，结束算法;否则将 i 的值 增加 1，仍用 i 表示. 第五步；判断 i>（n-1）是否成立.若是，则 n 是质数，结束算法；否则返回 第三步. 学 生 练 习 教 师 引 导 学 生 尝 试 着 写 出 步 骤 ， 让 学 生 讨 论 能 否 简 化 此 算 法 。 主 要 突 出 循 环 结 构
今天我们学习了算法，知道了在数学中，算法通常指按照一定规则解决某一 总结提炼提高能力 明确的和有限的步我们设计了个算法，地体会到工算法的层次 分明。 云可以看作 对 种意义 的答案 的过程、 而且此 组织学生讨论这节课的收获 P5.1,2 布置作业探究延续
总 结 提 炼 提 高 能 力 今天我们学习了算法，知道了在数学中，算法通常指按照一定规则解决某一 类问题的明确的和有限的步骤。我们设计了几个算法,也体会到了算法的层次 分明。算法可以看作是对问题的另一种意义上的解，不仅简单地包括对问题 的答案、还包括获得答案的过程、方法，而且此过程必须精确有效。编算法 的过程也是我们程序化地进行思考的过程，这使我们的思维更有逻辑性，条 理性、精确性。所以课下请大家多思考，勤练习。 组 织 学 生 讨 论 这 节 课 的 收 获 。 布 置 作 业 探 究 延 续 P5.1,2
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