平面向量基本定理及平面向量的正交分解及坐标表示 上海曹杨二中桂思铭 一、内容和内容解析 本课时内容包含“平面向量基本定理”及“平面向量的正交分解及坐标表示”，此前 的教学内容由实际问题引入向量概念，研究了向量的线性运算，集中反映了向量的几何特 征，而本课时之后的内容主要是研究向量的坐标及坐标运算，并运用向量的坐标运算来解决 饲题，更多的是向量的代数形态，本节内容从前面的知识中得出平面向量基本定理，并以 此为基础定义向量的坐标，所以本节内容是向量中承前启后的内容 作为一种数学工具，在中学数学中向量的优势更多地体现在沟通几何与代数，并将几 何及其它的一些问题通过代数运算来研究，这样一个思辨的过程变为了一种程序化的操作过 程.向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础，因为只有确定了任意一个向量 在两个不共线的基底上能进行唯一分解建立坐标系才有了依据，同时，只有正确地构建向量 的坐标才能有向量的坐标运算。向量基本定理的研究综合了前面的向量知识，同时又为后继 的内容作了奠基，这就决定了本课内容在向量知识体系中的核心地位。 就学生的数学学习而言，这一内容也是体会数学化的一个很好的过程，它充分地展现 了数学结构体系的严谨性和逻辑性，（实际上也有教材是不出现向量基本定理直接进行向量 坐标运算的，教材安排它的作用可能更多地在于体现数学结构体系的完备性)它有助于学生 体会数学思维的方式和方法，培养学生进行数学的思考和数学的说理所以它在学生的学习 上也具有十分重要的地位， 二、目标和目标解析 1.理解平面向量的基本定理，具体要求为 (1)运用己有的向量知识研究平面向量的基本定理，经历给定的向量在一组基底上唯 分解的过程： (2)体验在解决问题过程中选择适当的基底带来的便捷，帮助理解基底的作用：
平面向量基本定理及平面向量的正交分解及坐标表示 上海曹杨二中 桂思铭 一、内容和内容解析 本课时内容包含“平面向量基本定理”及“平面向量的正交分解及坐标表示”.此前 的教学内容由实际问题引入向量概念，研究了向量的线性运算，集中反映了向量的几何特 征,而本课时之后的内容主要是研究向量的坐标及坐标运算，并运用向量的坐标运算来解决 问题，更多的是向量的代数形态，本节内容从前面的知识中得出平面向量基本定理，并以 此为基础定义向量的坐标，所以本节内容是向量中承前启后的内容. 作为一种数学工具，在中学数学中向量的优势更多地体现在沟通几何与代数，并将几 何及其它的一些问题通过代数运算来研究,这样一个思辨的过程变为了一种程序化的操作过 程. 向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础，因为只有确定了任意一个向量 在两个不共线的基底上能进行唯一分解建立坐标系才有了依据,同时，只有正确地构建向量 的坐标才能有向量的坐标运算.向量基本定理的研究综合了前面的向量知识，同时又为后继 的内容作了奠基，这就决定了本课内容在向量知识体系中的核心地位. 就学生的数学学习而言，这一内容也是体会数学化的一个很好的过程，它充分地展现 了数学结构体系的严谨性和逻辑性，(实际上也有教材是不出现向量基本定理直接进行向量 坐标运算的,教材安排它的作用可能更多地在于体现数学结构体系的完备性)它有助于学生 体会数学思维的方式和方法，培养学生进行数学的思考和数学的说理.所以它在学生的学习 上也具有十分重要的地位. 二、目标和目标解析 1.理解平面向量的基本定理，具体要求为： (1)运用已有的向量知识研究平面向量的基本定理，经历给定的向量在一组基底上唯 一分解的过程; (2)体验在解决问题过程中选择适当的基底带来的便捷,帮助理解基底的作用;
(③)将向量的“唯一分解”与实数对的“一一对应”建立联系，指出这样的对应莫定 了向量建立向量坐标的基础，体会数学中的问题转化，及定理的深刻涵义. 2.理解向量坐标的定义，并能用坐标表示坐标平面上的向量，具体要求为： (1)结合学生在物理中已有的认知，来进一步从数学上学习正交分解及其意义 (②)结合向量及平面直角坐标系的相关基础正确把握坐标向量的几何意义. 3.反思向量坐标的建立过程，体会平面向量坐标建立的过程及平面向量基本定理的作 用和意义 三、教学问题诊断分析 前面学生已经举握了平面向量的线性运算，本节课的目的是要帮助学生建立向量的坐 标.这中间实际上有两个问题，先是运用已有的知识去研究一个问题（向量的基本定理），然后 以这个定理为基础建立一个新的研究体系（建立平面向量的坐标） 本节的内容是围绕向量在两个基底上的唯一分解展开的，对于基底的认识和理解是学 生在学习中已在运用的，在物理中已有了将力、速度（向量）进行分解合成的经验，在前面 的向量学习中己有向量线性运算的经验，只是没有专门提出而己，所以引入基底这一概念应 该是比较自然的，但相当一部分学生在学习中只是依样画葫芦，并不清楚引入基底这个概 念的意义，当然更不能很好地选择、运用基底进行运算求解，有了平面向量基本定理教师可 以运用定理说理，让学生理解基底的作用及意义.所以在这一点上教师应注意在教学中进行 设计引导. 对于平面向量的基本定理，有些学生只是从形式上加以记忆，缺乏对问题本质的理解， 从卷面上看学生可能不会有什么大的问题，但学生对于数学的理解肯定会产生影响，所以在 这一内容的教学中教师要不断地帮助学生进行反思，通过对教学过程的反思来帮助学生改进
(3)将向量的“唯一分解”与实数对的“一一对应”建立联系，指出这样的对应奠定 了向量建立向量坐标的基础，体会数学中的问题转化，及定理的深刻涵义. 2.理解向量坐标的定义,并能用坐标表示坐标平面上的向量，具体要求为： (1)结合学生在物理中已有的认知,来进一步从数学上学习正交分解及其意义； (2)结合向量及平面直角坐标系的相关基础正确把握坐标向量的几何意义. 3.反思向量坐标的建立过程,体会平面向量坐标建立的过程及平面向量基本定理的作 用和意义. 三、教学问题诊断分析 前面学生已经掌握了平面向量的线性运算,本节课的目的是要帮助学生建立向量的坐 标.这中间实际上有两个问题,先是运用已有的知识去研究一个问题(向量的基本定理),然后 以这个定理为基础建立一个新的研究体系(建立平面向量的坐标) 本节的内容是围绕向量在两个基底上的唯一分解展开的，对于基底的认识和理解是学 生在学习中已在运用的,在物理中已有了将力、速度（向量）进行分解合成的经验，在前面 的向量学习中已有向量线性运算的经验，只是没有专门提出而已,所以引入基底这一概念应 该是比较自然的，但相当一部分学生在学习中只是依样画葫芦，并不清楚引入基底这个概 念的意义，当然更不能很好地选择、运用基底进行运算求解,有了平面向量基本定理教师可 以运用定理说理，让学生理解基底的作用及意义.所以在这一点上教师应注意在教学中进行 设计引导. 对于平面向量的基本定理,有些学生只是从形式上加以记忆,缺乏对问题本质的理解, 从卷面上看学生可能不会有什么大的问题,但学生对于数学的理解肯定会产生影响,所以在 这一内容的教学中教师要不断地帮助学生进行反思,通过对教学过程的反思来帮助学生改进
学习方法，这也是改善学生的思维品质，提升学生的数学能力的一个途径，这一过程是隐性的 长期的，但这也是必须的 学生在向量的学习中存在的一个困难是学生在理解始点不在坐标原点的向量的坐标表 示时会出现障碍，其原因是在直角坐标系中点和点的坐标是一一对应的，到了向量时，向量 的坐标只是和从原点出发的向量一一对应，但只要结合向量相等的条件学生应该容易克服这 一难点，不过值得注意的是在后面学生用向量求点的坐标时还会产生问题，如已知了AB向 量及点A的坐标求点B的坐标，有些学生还会发生错误，这时还必须结合图形及向量的坐 标帮助学生进行理解，必须使学生在这种特定的场合中明白：要求点B的坐标就是要求向量 O正的坐标同样一个问题也需要学生从不同的侧面米帮助理解 四、教学支持条件分析 这里对于平面向量基本定理的研究，并不是严格的证明，为了能便于说明问题建议通过 教有技术的运用来帮助学生理解，这一过程最好能在教学中有充分地展现，这也是关注教学 过程，帮助学生养成动手动脑的习惯.另外现在的许多软件具有很强的交互性，所以在教学中 可以充分地运用技术，使学生的学习富有乐趣，同时又可以通过不同的方式来刺激学生，帮助 学生迅速地掌握教学内容。 五、教学过程设计 1.平面向量基本定理 问题1.我们看习题2.2(A组)12题： △ABC中， -专丽，Ds/BC,且与地C相胶于点品，aM8C的中线与 DB相交于点，设4店=日，C-5,用2,6表示向量正，3元，D正，D店，0.】 D成
学习方法,这也是改善学生的思维品质,提升学生的数学能力的一个途径,这一过程是隐性的、 长期的，但这也是必须的. 学生在向量的学习中存在的一个困难是学生在理解始点不在坐标原点的向量的坐标表 示时会出现障碍，其原因是在直角坐标系中点和点的坐标是一一对应的,到了向量时,向量 的坐标只是和从原点出发的向量一一对应,但只要结合向量相等的条件学生应该容易克服这 一难点,不过值得注意的是在后面学生用向量求点的坐标时还会产生问题,如已知了 向 量及点 的坐标求点 的坐标,有些学生还会发生错误,这时还必须结合图形及向量的坐 标帮助学生进行理解,必须使学生在这种特定的场合中明白:要求点 的坐标就是要求向量 的坐标.同样一个问题也需要学生从不同的侧面来帮助理解. 四、教学支持条件分析 这里对于平面向量基本定理的研究,并不是严格的证明,为了能便于说明问题建议通过 教育技术的运用来帮助学生理解,这一过程最好能在教学中有充分地展现,这也是关注教学 过程,帮助学生养成动手动脑的习惯.另外现在的许多软件具有很强的交互性,所以在教学中 可以充分地运用技术,使学生的学习富有乐趣,同时又可以通过不同的方式来刺激学生,帮助 学生迅速地掌握教学内容. 五、教学过程设计. 1.平面向量基本定理 问题 1.我们看习题 2.2(A 组)12 题: 中, , ,且与边 相交于点 , 的中线 与 相交于点 ,设 , ,用 表示向量 , , , , , ,
类似的，用两个不共线的向量来表示其它向量的问题在例愿和习题中还有多处.从这 些题目中我们不难发现，图中所有的向量都可用向量？，5来表示，那么自然地会问这样一个 问题：平面内的任意一个向量是否都能用类似12题的方法，用给定的两个不共线的向量来表 示呢？ 说明学生会通过作图来说明这一问题，在解决问题时可能要提醒学生，这里的向量是自 由向量，其始点是可以移动的，所以在用纸笔作图时，将三个向量的起点放在一起可便于研究 问题.教师可循者学生的思路通过计算机作图来帮助其他学生认清这个问题 问题2.从前面的研究中我们发现任意一个平面向量都可以用两个不共线的向量表示， 那么对于给定的向量口及向量号，8，若要将口用，马表示其形式是怎样的 说明通过电脑作图让学生体会4可能与9，中的一个共线，也可能与9,8都不共 线，引号学生得出结论云=码+G.教师也可以通过在电脑作图来展示不同的入、名 所作出的向量， 事实上在物理上也常有将一个力分解成若干个力，将几个力合成为一个力. 日=网+名马可以看作是力的分解合的成向量表示形式。 从前面的研究及力的分解合成的经验可以发现：向量：=码+6，中的，乃是唯 一确定的， 由此我们有定理：
类似的,用两个不共线的向量来表示其它向量的问题在例题和习题中还有多处. 从这 些题目中我们不难发现,图中所有的向量都可用向量 来表示,那么自然地会问这样一个 问题:平面内的任意一个向量是否都能用类似 12 题的方法,用给定的两个不共线的向量来表 示呢? 说明学生会通过作图来说明这一问题,在解决问题时可能要提醒学生,这里的向量是自 由向量,其始点是可以移动的,所以在用纸笔作图时,将三个向量的起点放在一起可便于研究 问题.教师可循着学生的思路通过计算机作图来帮助其他学生认清这个问题. 问题 2.从前面的研究中我们发现任意一个平面向量都可以用两个不共线的向量表示, 那么对于给定的向量 及向量 , ,若要将 用 , 表示其形式是怎样的? 说明通过电脑作图让学生体会 可能与 , 中的一个共线,也可能与 , 都不共 线, 引导学生得出结论 .教师也可以通过在电脑作图来展示不同的 、 所作出的向量 . 事实上在物理上也常有将一个力分解成若干个力,将几个力合成为一个力. 可以看作是力的分解合的成向量表示形式. 从前面的研究及力的分解合成的经验可以发现:向量 ,中的 , 是唯 一确定的. 由此我们有定理:
平面向量基本定理如果号，是同一平面内的两个不共线向量那么对于这一平面内 的任意向量口，有且只有一对实数，名使2=+马 我们把不共线的向量号，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底(as) 例1已知向量9，马求作向量25可+码】 说明教师可用电脑作图，演示结果。 实际上前面已经在不自觉地利用基底解题，如我们在计算力，与速度问题时，常进行分 解合成，目的也是将问题集中到两个向量（基底）上来处理.前面的习题中我们已经做了许多 有关向量的加法、减法、数乘，由向量基本定理，我们就可以将一个问题中的若干向量集 中到两个向量上，这样就方便了我们的计算 同题3已知平行四边形口ABCD中，丑、F是对角线A、C上的两点，且 AB-PC-1AC 试用向量方法证明四边形D驱BF也是平行四边形 分析由平面向量的基本定理可知向量F3及D正用一组基底来唯一表示，要证明四边 形DEBP是平行四边形，只要证明用相同的基底表示出来的向量FB及D正是相同的即 可.（分析很重要，突出向量基本定理及基底的作用，使学生对问题的认识在原有的基础上更 深入一步)
平面向量基本定理 如果 , 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内 的任意向量 ,有且只有一对实数 , 使 我们把不共线的向量 , 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底(base). 例 1 已知向量 , 求作向量 . 说明教师可用电脑作图,演示结果. 实际上前面已经在不自觉地利用基底解题,如我们在计算力,与速度问题时,常进行分 解合成,目的也是将问题集中到两个向量(基底)上来处理.前面的习题中我们已经做了许多 有关向量的加法、减法、数乘，由向量基本定理，我们就可以将一个问题中的若干向量集 中到两个向量上，这样就方便了我们的计算. 问题 3 已知平行四边形 中, 、 是对角线 、 上的两点，且 ，试用向量方法证明四边形 也是平行四边形 分析 由平面向量的基本定理可知向量 及 用一组基底来唯一表示,要证明四边 形 是平行四边形,只要证明用相同的基底表示出来的向量 及 是相同的即 可.(分析很重要,突出向量基本定理及基底的作用,使学生对问题的认识在原有的基础上更 深入一步)
证设而=à，丽=8则 丽-丽而-死 南丽=丽丽=不死石3活 44 所以D正=西，四边形D四8P为平行四边形 不共线的向量存在夹角，关于向量的夹角，我们规定：已知两个非零向量在，B,作 O=a,O丽=i,则∠A08=日心≤≤180°)叫做向量d,i的夹角.当9=0时，d 与b同向：当9=180时，a与B反向.如果a与B的夹角是90.我们说a与B垂直，记 作a⊥8】 用光滑斜面上木块的受力为例说明正交分解 这个问题学生相对是比较熟悉的可比较快地通过，也可以让学生说说在物理中正交分 解的优越性 2.平面向量的坐标表示 请学生结合向量基本定理及正交分解，思考平面内的任一向量是否都可以用不轴和 轴上的单位向量来表示，在学生讨论的基础上，请学生做下面的练习. 问题4设不轴和'轴上且方向与轴的正方向同向的单位向量分别用向量和J米表示 试用1和了来表示图中的向量
证 设 , 则 , 而 . 所以 ,四边形 为平行四边形. 不共线的向量存在夹角,关于向量的夹角,我们规定:已知两个非零向量 , ,作 , ,则 ( )叫做向量 , 的夹角.当 时, 与 同向;当 时, 与 反向.如果 与 的夹角是 .我们说 与 垂直,记 作 . 用光滑斜面上木块的受力为例说明正交分解. 这个问题学生相对是比较熟悉的可比较快地通过,也可以让学生说说在物理中正交分 解的优越性. 2.平面向量的坐标表示 请学生结合向量基本定理及正交分解,思考平面内的任一向量是否都可以用 轴和 轴上的单位向量来表示.在学生讨论的基础上,请学生做下面的练习. 问题 4 设 轴和 轴上且方向与轴的正方向同向的单位向量分别用向量 和 来表示. 试用 和 来表示图中的向量
4E⊙出巴a 店=公-3或C⑦=+27，丽-7方+27，G研=2云-5疗0亦=+2元 0派-7i+2 说明这里想让学生体会，了的系数得出的有序数对与向量间的对应关系 问题5结合上面的练习研究下面的问愿，如果将、了的系数组成一个有序数对 (不，)，那么平面上的任意一个向量与数对(x,)之间有怎样的对应关系？ 让学生发现有一个向量就有唯一确定的一个数对（不，》：反过来，一个数对对应着无 穷多个向量，但这些向量都是相等的.（这在后面向量的坐标上要让学生进一步有所认识，知 道坐标对应的向量的图形只是从原点出发的向量，但其他与它相等的向量都是由这个坐标表 示)
, , , , , . 说明这里想让学生体会 , 的系数得出的有序数对与向量间的对应关系. 问题 5 结合上面的练习研究下面的问题, 如果将 、 的系数组成一个有序数对 ,那么平面上的任意一个向量与数对 之间有怎样的对应关系？ 让学生发现有一个向量就有唯一确定的一个数对 ；反过来，一个数对对应着无 穷多个向量，但这些向量都是相等的.(这在后面向量的坐标上要让学生进一步有所认识,知 道坐标对应的向量的图形只是从原点出发的向量,但其他与它相等的向量都是由这个坐标表 示.)
问题6结合上面的研究请学生自己定义向量的坐标.（教师可结合教科书上的定义来点 评学生自已的定义，这是为了培养学生理解和归纳能力，经常有类似的训练有助于提高学生 的能力 如图，在直角坐标系中，分别与x轴、》轴方向相同的两个单位向量、了作为基底 对于平面上的一个向量“，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、’,使得 a=xityj 这样，平面内的任一向量都可由x、y唯一确定，我们把有序数对(x,》叫做向量 a的坐标，记作 a=(x.y) ② 其中x叫做2在x轴上的坐标，'叫做a在》轴上的坐标，②式叫做向量的坐标 例2写出例2中各个向量的坐标 练习P113.3
问题 6 结合上面的研究请学生自己定义向量的坐标.(教师可结合教科书上的定义来点 评学生自己的定义.这是为了培养学生理解和归纳能力,经常有类似的训练有助于提高学生 的能力. 如图,在直角坐标系中,分别与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底. 对于平面上的一个向量 ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 、 ，使得 . ① 这样,平面内的任一向量 都可由 、 唯一确定,我们把有序数对 叫做向量 的坐标,记作 , ② 其中 叫做 在 轴上的坐标, 叫做 在 轴上的坐标,②式叫做向量的坐标. 例 2 写出例 2 中各个向量的坐标. 练习 P113.3
六、目标检测设计 1.已知8=(4,3)，店=à，且点A的坐标为3,4)，求点8的坐标 说明通过这个练习希望学生能正确地认识向量坐标的意义，在解答中可结合向量作图使 学生明确我们要求点B的坐标就是要求向量O的坐标，而O丽=OA+à，这里是要学生 明确向量的坐标与坐标平面中的向量的对应关系。 用平面向量基本定理来解决有关三角形中点问题.这个问题主要让学生体会解题过程， 认识平面向量基本定理的作用，所以教师可自己分析，展示解题过程，学生可在回家作业中进 行练习巩固 AG 2,已知三角形△A5C中，C是重心，用向量方法求AF的值。请填空并说明本题的解 题思路
六、目标检测设计 1.已知 , ,且点 的坐标为 ,求点 的坐标. 说明通过这个练习希望学生能正确地认识向量坐标的意义,在解答中可结合向量作图使 学生明确我们要求点 的坐标就是要求向量 的坐标,而 .这里是要学生 明确向量的坐标与坐标平面中的向量的对应关系. 用平面向量基本定理来解决有关三角形中点问题.这个问题主要让学生体会解题过程, 认识平面向量基本定理的作用,所以教师可自己分析,展示解题过程,学生可在回家作业中进 行练习巩固. 2.已知三角形 中, 是重心,用向量方法求 的值. 请填空并说明本题的解 题思路
得- ,而 ,所以G= (2 BG ,所以BG -c ,而 2 .(2 而G=0+ 0-+ 21 - 由平面向量基本定理得“与的方程组为 =2) 解方程组得及= 说明希塑学生能知道本题的解恩思路是，对向量丽在基底°，B上进行分解，由于不同 的参数可得出不同的分解形式。由平面向量基本定理分解的唯一可得出两个方程组，通过解 方程便能得出结果，本题的目的是帮助学生理解基底和平面向量基本定理 3.请回顾本堂课的教学过程，你能说出定义向量的坐标前面做了那些准备，为什么需要 做这些准备？
解 设 ,而 ,所以 _,( ) 又设 ,而 ,所以 _,( ) 而 _.( ) 由平面向量基本定理得 与 的方程组为_.( ) 解方程组得 =_.( ) 所以, . 说明希望学生能知道本题的解题思路是,对向量 在基底 上进行分解,由于不同 的参数可得出不同的分解形式.由平面向量基本定理分解的唯一可得出两个方程组,通过解 方程便能得出结果.本题的目的是帮助学生理解基底和平面向量基本定理. 3.请回顾本堂课的教学过程,你能说出定义向量的坐标前面做了那些准备,为什么需要 做这些准备?