二角函数线 贵州省习水县第一中学杨登平 一、知识与技能 1,会用三角函数线分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值 2,借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义： 3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题 二、过程与方法 1.借助几何画板让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和实 验探索的能力： 2.让学生从所学知识基础上发现新问题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归钠、 数学表述等基本数学思维能力， 三、情感、态度与价值观 1.通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究获取知识 2.通过三角函数线学习，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，培养良好的思维 习惯，拓展思维空间 教学重点：三角函数线的作法及其简单应用 教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别 用它们的几何形式表示出来. 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教学过程： 一、温故而知新
三角函数线 贵州省习水县第一中学 杨登平 一、知识与技能 1. 会用三角函数线分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值 2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义； 3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题 二、过程与方法 1.借助几何画板让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和实 验探索的能力； 2.让学生从所学知识基础上发现新问题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归纳、 数学表述等基本数学思维能力. 三、情感、态度与价值观 1.通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究获取知识. 2.通过三角函数线学习，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，培养良好的思维 习惯，拓展思维空间 教学重点：三角函数线的作法及其简单应用 教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别 用它们的几何形式表示出来. 授课类型：新授课 课时安排：1 课时 教学过程： 一、温故而知新
1.前面我们学习了利用单位圆定义三角函数 复习：1单位圆的定义：圆心在圆点P,半径等于单位长的圆叫做单位圆。 a的终边 2三角函数的定义：如图设心是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(x),那么： ('叫做c的正弦(sine,记做sina,即inc=y, (2)不叫做c的余弦((cossine),记做co8&,即co8=x: 6)叫微交的正切ag,记微知在，前=子三0 正弦函数，余弦函数，正切函数统称为三角函数
1. 前面我们学习了利用单位圆定义三角函数， 复习：1 单位圆的定义：圆心在圆点 ，半径等于单位长的圆叫做单位圆。 2 三角函数的定义：如图,设 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 ,那么: (1) 叫做 的正弦(sine),记做 ,即 ； (2) 叫做 的余弦(cossine),记做 ,即 ； (3) 叫做 的正切(tangent),记做 ,即 . 正弦函数,余弦函数,正切函数统称为三角函数
师：我们那么能否在此基础上用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢？ 这就是我们今天一起要研究的问题 二、研探新知 ()设角“的终边与单位圆交于点P(Xy),过点P作x轴的垂线，垂足M 用的三角函数表示点P的坐标二 线段OM的长度OM 线段MP的长度MP= (利用几何画板演示，角的变化过程中，角的终边和单位圆的交点坐标的变化) IMP-y=sin a I.IOM=x=cos a l
师：我们那么能否在此基础上用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢？ 这就是我们今天一起要研究的问题. 二、研探新知 (1)设角 的终边与单位圆交于点 P(x,y),过点 P作 x轴的垂线,垂足 M, 用 的三角函数表示点 P 的坐标 ; 线段 OM 的长度|OM|= ; 线段 MP 的长度|MP|= . (利用几何画板演示,角的变化过程中,角的终边和单位圆的交点坐标的变化) |MP|=|y|=|sinα|, |OM|=|x|=|cosα|
(2)思考1：如何去掉上述等式中的绝对值符号，为此能否给线段OM,MP规定一个适当的 方向，使它们的取值与点P的坐标一致？ 2.有向线段 我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关 当角的终边不在坐标轴上时，规定： ①以O为始点、M为终点的线段：当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正向， 且有正值不：当线段OM与x轴反向时，OM的方向为负向，且有负值x:其中x为P 点的横坐标这样，无论那种情况都有 oM=x=cos (2)以M为始点、P为终点的线段，当线段MP与)轴同向时，MP的方向为正向， 且有正值y:当线段P与'轴反向时，P的方向为负向，且有负值少：其中y为 P点的纵坐标这样，无论那种情况都有 MP=y=sin a 像MR、CM这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段 思考2z你能倍助单位圆，找到一条如P、O一样的线段来表示角C的正切值吗？ 过点1,0作单位圆的切线，它与角口的终边或其反向延长线交与点了】 (利用几何画板演示) 根据正切函数的定义与相似三角形的知识，借助有向线段OA、AT,我们有
(2)思考 1:如何去掉上述等式中的绝对值符号,为此能否给线段 OM,MP 规定一个适当的 方向,使它们的取值与点 P 的坐标一致? 2.有向线段 我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关. 当角 的终边不在坐标轴上时, 规定： (1) 以 为始点、 为终点的线段：当线段 与 轴同向时， 的方向为正向， 且有正值 ；当线段 与 轴反向时， 的方向为负向，且有负值 ；其中 为 点的横坐标.这样,无论那种情况都有 (2)以 为始点、 为终点的线段，当线段 与 轴同向时， 的方向为正向， 且有正值 ；当线段 与 轴反向时， 的方向为负向，且有负值 ；其中 为 点的纵坐标.这样,无论那种情况都有 像 这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段. 思考 2:你能借助单位圆，找到一条如 、 一样的线段来表示角 的正切值吗？ 过点 作单位圆的切线，它与角 的终边或其反向延长线交与点 . (利用几何画板演示) 根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段 ,我们有
A(10 A1.0) .7 A(1.0) A(1,0) 0 () (V) tan a=AT=y 三、三角函数线 由上述四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段O4=x,P=y, 于是有 smn a=y=MP cosa=x=OM taa=Y=AT 我们把这三条与单位图有关的有向线段，0，A分别称为角C的正弦线，余弦线， 正切线.他们统称三角函数线 几点说明：
三、三角函数线 由上述四个图看出：当角 的终边不在坐标轴上时，有向线段 ， 于是有 , ， . 我们把这三条与单位圆有关的有向线段 分别称为角 的正弦线,余弦线, 正切线.他们统称三角函数线 几点说明：
①三条有向线段的位置：正弦线为C的终边与单位圆的交点到不轴的垂直线段：余弦 线在不轴上：正切线在过单位圆与不轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单 位圆内，一条在单位圆外。 ②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点：余弦线由原点 指向垂足：正切线由切点指向与的终边的交点。 ③三条有向线段的正负：三条有向线段凡与不轴或'轴同向的为正值，与x轴或y 轴反向的为负值 ④三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。 思考1：角4的终边在x轴或y轴上时，角4的正弦线，余弦线，正切线是怎样的？ 思考2：观察角的终边在各位置的情形，分析三角函数线的变化情况？ 四、师生共议，排难解惑，发展思维 例1.画出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： 5 _13x (1)6:: (2)6 学生练习：画出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： -2 1)3 (2)3 师：请大家总结这三种三角函数线的作法： 第一步：作出角的终边，与单位圆交于点P: 第二步：过点P作不轴的垂线，设垂足为M,得正弦线P、余弦线OM: 第三步：过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角“的终边或其反向延长线的交点设为 T,得角&的正切线A7
①三条有向线段的位置：正弦线为 的终边与单位圆的交点到 轴的垂直线段；余弦 线在 轴上；正切线在过单位圆与 轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单 位圆内，一条在单位圆外。 ②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向 的终边与单位圆的交点；余弦线由原点 指向垂足；正切线由切点指向与 的终边的交点。 ③三条有向线段的正负：三条有向线段凡与 轴或 轴同向的为正值，与 轴或 轴反向的为负值。 ④三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。 思考 1：角 的终边在 x 轴或 y 轴上时, 角 的正弦线,余弦线,正切线是怎样的? 思考 2：观察角的终边在各位置的情形,分析三角函数线的变化情况？ 四、师生共议，排难解惑，发展思维 例 1.画出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： （1） ；； （2） ． 学生练习：画出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： （1） （2） 师：请大家总结这三种三角函数线的作法： 第一步：作出角 的终边，与单位圆交于点 ； 第二步：过点 作 轴的垂线，设垂足为 ，得正弦线 、余弦线 ； 第三步：过点 (1,0)作单位圆的切线，它与角 的终边或其反向延长线的交点设为 ，得角 的正切线
特别注意：三角函数线是有向线段，在用字母表示这些线段时，要注意它们 的 向，分清起点和终点，书写 五、三角函数线的应用 例1.利用三角函数线比较下列各组数的大小： 4 子与，oam3与a至，o4☒ 2,试比较c,anc,na,cos“的大小 例2已知是第一象限角，证明sina+cosa>1: 分析：作单位圆，正弦sina=NP:余弦cosa=OM0P= 在Rt三角形OMP中MP+OM>OP即sina+cosa>l:
特别注意：三角函数线是有向线段，在用字母表示这些线段时，要注意它们 的方 向，分清起点和终点，书写 五、三角函数线的应用 例 1. 利用三角函数线比较下列各组数的大小： (1) 与 ； (2) tan 与 tan ；(3) ； (4)已知 ，试比较 的大小. 例 2 已知是第一象限角，证明 sinα+ cosα＞1; 分析：作单位圆，正弦 sina=MP;余弦 cosa=OM OP=1 在 Rt 三角形 OMP 中 MP+OM>OP 即 sinα+cosα＞1;
课后深入探究： (1)对任意角c有，sin2a+cosa=1 (②)-1≤sin&≤l,-1≤cos≤l, 例3利用三角函数线作出符合下列条件的角的终边，并写出这些角的集合： (2) (3)tnx=3 例3变式利用三角函数线作出符合下列条件的角的终边，并写出这些角的集合： (2)c0sa≤-2
课后深入探究： (1) 对任意角 有，sin2 + cos2 = 1 (2) -1≤sin ≤1, -1≤cos ≤1, 例 3 利用三角函数线作出符合下列条件的角的终边，并写出这些角的集合： （1） （2） （3） 例 3 变式 利用三角函数线作出符合下列条件的角的终边，并写出这些角的集合： （1） ; （2） ≤-
分析：先作出满足血云=立， 2的角的终边， 然后根据已知条件确定角终边的范围. 六、变式练习，强化概念 变式1：利用三角函数线作出符合下列条件的角的终边，并写出这些角的集合： 2)ox≥%，3)m> (4) w得 变式2：求下列函数的定义域： (1)y=2cx-1 (2)y=lg(3-4sins). 七.课堂小结 ()了解有向线段的概念 (②)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦，余弦，正切函数值分 别用正弦线，余弦线，正切线表示出来。 (③)用三角函数线理解三角函数的定义 (4)体会三角函数线的简单应用。 八、作业：
分析：先作出满足 ， 的角的终边， 然后根据已知条件确定角 终边的范围. 六、变式练习，强化概念 变式 1：利用三角函数线作出符合下列条件的角的终边，并写出这些角的集合： （ 1 ） ； （ 2 ） ； （ 3 ） tan （ 4 ） ； 变式 2：求下列函数的定义域： （1） y = (2) y = lg(3－4sin2 x) . 七.课堂小结 (1)了解有向线段的概念. (2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角 的正弦,余弦,正切函数值分 别用正弦线,余弦线,正切线表示出来. (3)用三角函数线理解三角函数的定义 （4）体会三角函数线的简单应用. 八、作业：
1课后练习第三题 2预习同角三角函数基本关采式 教学后记：本节课容量较大，使用多媒体辅助教学，几何画板动画演示功能正好可以 帮助学生做数学试验，探讨数学问题。这样充分发挥多媒体的优势，既丰富了三角函数线 的概念，又培养了学生发现问题、解决问题的能力，探索精神、创新意识也有了相应的提 高。例3变式是一个教学难点，学生会遇到三个障碍，一是：两个角的确定，二是从相等 到不等式的过渡问题，三是角的集合的表示问题。教学时应让引导学生自己总结出解题方 法和步骤，安排例3目的是为例3变式作铺垫作用，同时也降低了知识的难度，让其基础 差的学生也能学习和掌握知识。另外安排课后深入探究其目的为下节内容作铺垫作用
1 课后练习第三题 2 预习同角三角函数基本关系式 教学后记：本节课容量较大，使用多媒体辅助教学，几何画板动画演示功能正好可以 帮助学生做数学试验，探讨数学问题。这样充分发挥多媒体的优势，既丰富了三角函数线 的概念，又培养了学生发现问题、解决问题的能力，探索精神、创新意识也有了相应的提 高。例 3 变式是一个教学难点，学生会遇到三个障碍，一是：两个角的确定，二是从相等 到不等式的过渡问题，三是角的集合的表示问题。教学时应让引导学生自己总结出解题方 法和步骤 ，安排例 3 目的是为例 3 变式作铺垫作用，同时也降低了知识的难度，让其基础 差的学生也能学习和掌握知识。另外安排课后深入探究其目的为下节内容作铺垫作用