任意角的三角函数 一三角函数线 河南省焦作市第一中学孟丽华 教学背景： 1,教材地位分析：三角函数是中学数学的重要内容之一，而三角函数线的概念及 其应用不仅体现了数形结合的数学思想，又贷穿整个三角函数的教学借助三角函数线可以 推出三角函数公式，求解三角函数不等式，探索三角函数的图像和性质，可以说，三角函数 线是研究三角函数的有利工具。 2.学生现实分析：学习本节前，学生已经掌握任意角三角函数的定义，三角函数值 在各象限的符号，以及诱导公式一，为三角函数线的寻找做好了知识准备.高一上学期研究指 对数函数图像时，已带领学生学习了几何画板的基础知识，现在他们已经具备初步的几何画 板应用能力，能够制作简单的动画，开展数学实验， 教学目标： 1.知识目标：使学生掌握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦 正切函数值，并能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题. 2。能力目标：借助几何画板让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比 猜想和实验探索的能力：在论坛上开展研究性学习，让学生借助所学知识自己去发现新问 题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力 3.情感目标：激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新 的精神：通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境， 教学重点难点： 1.重点：三角函数线的作法及其简单应用. 2.难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用 它们的几何形式表示出来 教学方法与教学手段： 1.教法选择：“设置问题，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”一一科研式教学. 2.学法指导：类比、联想，产生知识迁移：观察、实验，体验知识的形成过程：猜想 求证，达到知识的延展， 3.教学手段：本节课地点选在多媒体网络教室，学生利用几何画板软件探讨数学问题 做数学实验：借助网络论坛交流各自的观点，展示自己的才能。 教学过程： 一、设置疑问，实验探索(17分钟) 数学环节 教学过程 设计意图 前面我们学习了角的弧度制，角弧度数的绝 单 = 问，点明主 对值 ,其中？是以角C作为圆心角时所对弧 题 的长，r是圆的半径.特别地，当时，= 通过类比 的圆称为单位圆 可时田单位中延的 长度表示所对圆心角弧度数的绝对值，那么能否用 快速 几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值 三角函数
任意角的三角函数——三角函数线 河南省焦作市第一中学 孟丽华 教学背景： 1．教材地位分析：三角函数是中学数学的重要内容之一，而三角函数线的概念及 其应用不仅体现了数形结合的数学思想，又贯穿整个三角函数的教学.借助三角函数线可以 推出三角函数公式，求解三角函数不等式，探索三角函数的图像和性质，可以说,三角函数 线是研究三角函数的有利工具. 2．学生现实分析：学习本节前,学生已经掌握任意角三角函数的定义,三角函数值 在各象限的符号,以及诱导公式一,为三角函数线的寻找做好了知识准备.高一上学期研究指、 对数函数图像时,已带领学生学习了几何画板的基础知识，现在他们已经具备初步的几何画 板应用能力，能够制作简单的动画，开展数学实验. 教学目标： 1．知识目标: 使学生掌握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、 正切函数值,并能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题. 2．能力目标: 借助几何画板让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、 猜想和实验探索的能力；在论坛上开展研究性学习，让学生借助所学知识自己去发现新问 题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力. 3．情感目标：激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新 的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境. 教学重点难点： 1．重点：三角函数线的作法及其简单应用. 2．难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用 它们的几何形式表示出来. 教学方法与教学手段： 1．教法选择：“设置问题，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”——科研式教学. 2．学法指导：类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验知识的形成过程；猜想、 求证，达到知识的延展. 3．教学手段：本节课地点选在多媒体网络教室，学生利用几何画板软件探讨数学问题， 做数学实验; 借助网络论坛交流各自的观点,展示自己的才能. 教学过程： 一、设置疑问,实验探索（17 分钟） 教学环节 教学过程 设计意图 设 置 疑 问,点明主 题 前面我们学习了角的弧度制，角 弧度数的绝 对值 ，其中 是以角 作为圆心角时所对弧 的长，r 是圆的半径.特别地, 当 r =1 时， , 此时的圆称为单位圆，这样就可以用单位圆中弧的 长度表示所对圆心角弧度数的绝对值，那么能否用 几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值 既可以引 出单位 圆，又可 以使学生 通过类比 联想主 动、快速 的探索出 三角函数
呢？这就是我们今天一起要研究的问愿。 值的几何 形式 有向线段：带有方向的线段. 相关 (1)方向：按书写顺序，前者为起点，后者为 概念的学 0 M 围绕重点 展开探索 动态演示 和研究。 (只考虑在坐标轴上或与坐标轴 行的有向线段 绝对值等于线段的长度，若方向与坐标轴同 向，取正值：与坐 标轴反向，取负 值.如： -1 实验 1.(复习提间)任意角心的正弦如句定义？ 国 探 角的终边上任意一点P(除端点外)的坐标是 华盛顿 辨析研讨 所大学有 (x,y),它与原点的距离是工，比值”叫做的 句名言 正弦 我听见 思考：能否用几何图形表示出你的正弦呢？ 了，就忘记 学生联想角的弧度数与弧长的转化，类比猜测 ,就理解 向线段P=y=sin4.(学生分析的同时，教师用几 何画板演示) 让学生深 青学生利用几何画板作出垂线段P,并改变年 刻理解 的终边位置，观察终边在各个位置的情形，注意有向 角函数线 线段的方向和正弦值正负的对应.特别地，当角的终 的概念， 边在x轴上时，有向线段MP变成一个点，记数值为 0. 这条与单位圆有关的有向线段MP叫做角C的 正弦线. 2.思考：用哪条有向线段表示角的余弦比较 合适？并说明理由. 请学生用几何画板演示说明. 有向线段ON叫做角“的余弦线
呢？这就是我们今天一起要研究的问题. 值的几何 形式. 概 念 学 习,分 散 难 点 有向线段：带有方向的线段. （1）方向：按书写顺序，前者为起点，后者为 终点，由起点指向终点. 如：有向线段 OM,O 为起点，M 为终点，由 O 点 指向 M 点. （动态演示） (2) 数值：（只考虑在坐标轴上或与坐标轴平 行的有向线段） 绝对值等于线段的长度，若方向与坐标轴同 向，取正值;与坐 标轴反向，取负 值.如： O M = 1, ON= -1, AP = 相 关 概念的学 习分散了 教学难点, 使学生能 够更多的 围绕重点 展开探索 和研究. 实验 探 索, 辨析研讨 1.(复习提问)任意角 的正弦如何定义? 角 的终边上任意一点 P(除端点外)的坐标是 （ ），它与原点的距离是 r, 比值 叫做 的 正弦. 思考:能否用几何图形表示出角 的正弦呢? 学生联想角的弧度数与弧长的转化, 类比猜测: 若令 r=1，则 .取角 的终边与单位圆的 交点为 P,过点 P 作 轴的垂线，设垂足为 M，则有 向线段 MP= .(学生分析的同时,教师用几 何画板演示) 请学生利用几何画板作出垂线段 MP,并改变角 的终边位置,观察终边在各个位置的情形,注意有向 线段的方向和正弦值正负的对应.特别地,当角的终 边在 轴上时,有向线段 MP 变成一个点,记数值为 0. 这条与单位圆有关的有向线段 MP 叫做角 的 正弦线. 2.思考:用哪条有向线段表示角 的余弦比较 合适?并说明理由. 请学生用几何画板演示说明. 有向线段 OM 叫做角 的余弦线. 美 国 华盛顿一 所大学有 句名言 : “我听见 了,就忘记 了;我看见 了,就记住 了;我做过 了,就理解 了.”要想 让学生深 刻理解三 角函数线 的概念， 就应该让 学生主动 去探索， 大胆去实 践，亲身 体验知识 的发生和 发展过程
3. tan a x如何用有向线段表 讨论焦点： a的修边 若令x=1,则 Q的终边 tana=y =AT 是第 角 边上没有横 标为1的点， ×此时取x=一1的点 个体， ①. T,有向线段 看成是相 引导观察： 当角的终边互为反向延长线时，它们的正切值 有什么关系？ 统一认识： 方案1：在象限角的终边或其反向延长线上取 x=1的点T,则tan =AT: 方案2：借助正弦线、余弦线以及相似三角形 状态 以不受框 知识得到amO.OA 框的束 几何面板滴示验正： 终边落在坐标轴上时，tan与有向 线段AT的对 的 这条与单位圆有关的有向线段AT叫做角的 正切 维方式， 从而打破 自己的封 状态， 阔的领 域 作法总结，变式演练(13分钟) 教学 教学过程 设计意图 环节 正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线， 大家 三角函数线的作法，并用几何画板 步：作出角的终边，与单位圆交于点P 演示 生描述， 及时归纳 总结，加深知
3. 如何用有向线段表示？ 讨论焦点： 若令 =1, 则 =AT ， 但是第二、三象限 角的终边上没有横 坐标为 1 的点，若 此时取 =-1 的点 T‘ ，tan =- =T‘A‘,有向线段 的表示方法又不能 统一. 引导观察： 当角的终边互为反向延长线时，它们的正切值 有什么关系？ 统一认识： 方案 1：在象限角的终边或其反向延长线上取 =1 的点 T，则 tan = =AT； 方案 2：借助正弦线、余弦线以及相似三角形 知识得到 = . 几何画板演示验证: 当角 的终边落在坐标轴上时，tan 与有向 线段 AT 的对应. 这条与单位圆有关的有向线段 AT 叫做角 的 正切线. 教 学 已经不再 是把教师 或学生看 成孤立的 个体，而 是把他们 的教和学 看成是相 互影响的 辩证发展 过程.在和 谐的氛围 中，教师 和学生都 处在自由 状态，可 以不受框 框的束 缚，充分 表达各自 的意见， 在自己积 极思维的 同时又能 感受他人 不同的思 维方式， 从而打破 自己的封 闭状态， 进入更加 广阔的领 域. 二、作法总结,变式演练（13 分钟） 教学 环节 教学过程 设计意图 作法 总结 正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线. 请大家总结这三种三角函数线的作法,并用几何画板 演示(一学生描述,同时用电脑演示)： 第一步：作出角 的终边，与单位圆交于点 P； 及时归纳 总结，加深知
第二步：过点P作不轴的垂线，设垂足为M,得正识的理解和记 弦线MP、余弦线OM: 第三步：过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角C的 终边或其反向延长线的交点设为T,得角“的正切线AT 特别注意：三角函数线是有向线段， 在用字母表示 这些线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点， 10 练习：利用几何画板画出下列各角的正弦线、余 巩固练 线、正切线 习，准确 5 13 角函数线的 提高 能力 (1)6 (2)6 作 学生先做，然后投影展示一学生的作品，并强调三角 函数线的位置和方向。 例1利用几何画板画出适合下列条件的角：的终 边： 逆向思 cosa=- 活运 ) (2) (3)tam=1 共同分析(1)，设角的终边与单位圆交于 角函勒不结 sin & 组)作铺垫 p(不，y),则mc=y,所以要作出满足 2的角的 终边，只要在单位圆上找出纵坐标为2的点P,则射线 0P即为Q的终边.（几何画板动态演示） 请学生分析(2 3) 2 (1)sina≥2 (2)c0s≤ 数形结合 思想表现在出 分析，先作出满显 cosa=-1 的角 数到形和由形 的终边（例】己做），然后根据己知条件确定角终边的 到数 范围。（几何画板动态演示 任 案 1 { 2kπ+ 来体现了由数 到形的转化 借助三角函数 通过(1)、(2)两图形的复合又可以得出 线求解三角函 数方程和不等 式又发挥了由
第二步：过点 P 作 轴的垂线，设垂足为 M，得正 弦线 MP、余弦线 OM； 第三步：过点 A(1,0)作单位圆的切线，它与角 的 终边或其反向延长线的交点设为 T，得角 的正切线 AT. 特别注意：三角函数线是有向线段，在用字母表示 这些线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点，书 写顺序不能颠倒.余弦线以原点为起点，正弦线和正切线 以此线段与坐标轴的公共点为起点，其中点 A 为定点 （1，0）. 识的理解和记 忆. 变式 演 练, 提高 能力 练习：利用几何画板画出下列各角的正弦线、余弦 线、正切线： （1） ; （2） . 学生先做,然后投影展示一学生的作品,并强调三角 函数线的位置和方向. 例 1 利用几何画板画出适合下列条件的角 的终 边： （1） ； （2） ； （3） . 共同分 析（ 1） ，设 角 的终边 与单 位圆 交于 P( ),则 = ,所以要作出满足 的角的 终边，只要在单位圆上找出纵坐标为 的点 P，则射线 OP 即为 的终边.（几何画板动态演示） 请学生分析（2）、(3),同时用几何画板演示. 例 2 利用几何画板画出适合下列条件的角 的终边 的范围，并由此写出角 的集合： （1） ≥ ; （2） ≤- . 分析：先作出满足 ， 的角 的终边(例 1 已做)，然后根据已知条件确定角 终边的 范围.（几何画板动态演示） 答案：（ 1 ） { }. （2）{ }. 延伸：通过（1）、（2）两图形的复合又可以得出 巩固练 习,准确掌握 三角函数线的 作法. 逆向思 维,灵活运用 三角函数线, 并为利用三角 函数线求解三 角函数不等式 (组)作铺垫. 数形结合 思想表现在由 数到形和由形 到数两方面. 将任意角的正 弦、余弦、正 切值分别用有 向线段表示出 来体现了由数 到形的转化； 借助三角函数 线求解三角函 数方程和不等 式又发挥了由
形到数的巨大 作用. 不等式组 ,思维拓展，论坛交流(10分钟) 教学环 教学过程 设计意图 观察角的终边在各位置的情形，结合三角函数线和 给学生建设 已学知识，你能发现什么规律，得出哪些结论？请说明 开政的、有 你的观点和理由，并发表于焦作一中教有论坛 力、 有个性的 拓展论坛交流 (bbs.jzyz.jzedu.cn). 学生得出的结论有以下几种 (1)sinsa tc os2 1. ②)sina&+I cos l≥1 学生.来自他人的 -1≤sina≤l, tanC∈R 信息为自己所吸 ④若两角终边互为反向延长线，则两角的正切 收 值相等，正弦、余弦值互为相反数， 知识又被他人的 (⑤)当角的终边在第一象限逆时针旋转时，正视点唤起，产生 弦、正切值逐渐增大，余弦值逐渐减小： 新的思想.这样的 (⑥)当角的终边在直线y=x的右下方时，sina 学习过程使学生 a 目标 学的境 四、 归纳小结，课堂延展(5分钟 教学过程 设计意图 教学环节 归纳小 ·回顾 角数线作 回顺 形结合思想解决有关问题的 重要且， 自从著名数学家欧拉提 作法 数线的对应关系 得对二角函新的 开究大为 在其他方面的应田 现在仍然是我们解三角不等式、比较大小、以及 及数形结合思想，便」 今后研究三角函数图像与性质的基础， 学生在后续学习中更 深入的思考，更广泛的 研咒. 巩固作业：习题4.31,2 提升练习： 巩固创 .已知：如>m日，那么下列命愿成立的 是( 既能保证全体等 生的巩固应用，又兼
不等式组 的解集： { }. 形到数的巨大 作用. 三、思维拓展,论坛交流（10 分钟） 教 学 环 节 教学过程 设计意图 思 维 拓 展, 论 坛 交 流 观察角的终边在各位置的情形,结合三角函数线和 已学知识，你能发现什么规律,得出哪些结论？请说明 你 的 观 点 和 理 由 , 并 发 表 于 焦 作 一 中 教 育 论 坛 (bbs.jzyz.jzedu.cn). 学生得出的结论有以下几种： (1) sin2 + c os2 = 1; (2)│sin │ + │cos │≥1; (3) -1≤sin ≤1, -1≤cos ≤1, tan ∈R; (4) 若两角终边互为反向延长线，则两角的正切 值相等,正弦、余弦值互为相反数; (5) 当角的终边在第一象限逆时针旋转时，正 弦、正切值逐渐增大，余弦值逐渐减小; (6) 当角的终边在直线 的右下方时, sin ＜cos ;当角的终边在直线 的左上方时, sin ＞cos ; . 给学生建设 一个开放的、有 活力、有个性的 数学学习环境.论 坛交流既能展示 个人才华,又能照 顾到各个层次的 学生.来自他人的 信息为自己所吸 收，自己的既有 知识又被他人的 视点唤起，产生 新的思想.这样的 学习过程使学生 在轻松达成一个 个 阶 段 目 标 之 后，顺利到达数 学学习的新境界. 四、归纳小结,课堂延展（5 分钟） 教 学 环 节 教学过程 设计意图 归 纳 小 结 1.回顾三角函数线作法. 2.三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的 重要工具，自从著名数学家欧拉提出三角函数与三角 函数线的对应关系，使得对三角函数的研究大为简 化，现在仍然是我们解三角不等式、比较大小、以及 今后研究三角函数图像与性质的基础. 回顾三角函数线 作法,再次加深理解和 记忆.点明三角函数线 在其他方面的应用,以 及数形结合思想,便于 学生在后续学习中更 深入的思考,更广泛的 研究. 巩 固 创 巩固作业:习题 4.3 1,2 提升练习： 1. 已知： ，那么下列命题成立的 是（ ） 既能保证全体学 生的巩固应用，又兼
新课堂展 A.若、是第一象限的角，则cos)cos |顾学有余力的学生， 同时将探究的空间由 课堂延伸到课外。 B.若&、B是第二象限的角，则tan&>tar C.若a、 B是第三象限的角，则cos“)co n.若、户是第四象限的角，则tan>ta 2.求下列函数的定义域： (1)y =2cosx-1 (2)y=1g(3 4sin2x 延展作业： 2结合 线的作 你能作出余切线吗 的结论，你还能得出 3.查阅数学家欧拉的生平事迹，了解他在数学方面 的突出贡献，谈谈你的学习感受，并发表于论坛交流 教学设计说明： 1.让计算机软件和网络真正走入数学课堂，发挥它们的辅助作用。 “让计算机软件和网络走入数学课堂”是提出了多年的口号，但是如何真正让多媒体 在数学学习中发挥积极的作用却是我们一直在探索的问题本节课有较广的延展面，是培养 学生发现、探索、创新能力的很好素材，但是要在一节课45分钟时间内实现构想，对课的 安排提出了非常高的要求。几何画板软件的动画演示功能正好可以帮助学生做数学试验，探 时数学问题：网络论坛可以让他们充分交流，相互学习.为此，我把授课地点放在多媒体网 络教室，充分发挥多媒体的优势，既丰富了三角函数线的概念，又培养了学生发现问题、 解决问恩的能力，探索精神、创新意识也有了相应的提高。 2.不仅要让学生掌握数学的基础知识，更要让他们领悟科学的研究方法 课堂教学最终是为了让学生摆脱课堂，独立学习，所以不仅要让学生掌握数学的基础知 识，更要让他们领悟科学的研究方法。本节课所采用的科研式教学法体现了研究新问题的 般思路，让学生逐步领悟这种科学的研究方法，有利于他们今后能够独立地开展科研活动.。 3.使学生始终保特学习兴趣，快乐学数学. 苏霍姆林斯基说过：“在人的内心深处，都有一种根深蒂固的需要，那就是希望自己 是一个发现者和探索者.”本节课正是抓住学生的这一心理需求，充分利用互动工具，让学 生动手实践、思考探索，合作交流，真正意义上做到尊重学生的创造性，挖掘学生的潜力 让他们对整个学习过程充满激情，快乐学数学！
新, 课 堂 延 展 A．若 、 是第一象限的角，则 cos >cos . B. 若 、 是第二象限的角，则 tan >tan . C. 若 、 是第三象限的角，则 cos >cos . D. 若 、 是第四象限的角，则 tan >tan . 2．求下列函数的定义域： （ 1 ） y = ; (2) y = lg(3 － 4sin2x) . 延展作业: 1. 类比正切线的作法，你能作出余切线吗？ 2.结合三角函数线我们已经发现了一些很有价值 的结论,你还能得出哪些结论？请大家继续在论坛上交 流. 3.查阅数学家欧拉的生平事迹,了解他在数学方面 的突出贡献,谈谈你的学习感受,并发表于论坛交流. 顾学有余力的学生， 同时将探究的空间由 课堂延伸到课外. 教学设计说明: 1.让计算机软件和网络真正走入数学课堂,发挥它们的辅助作用. “让计算机软件和网络走入数学课堂”是提出了多年的口号，但是如何真正让多媒体 在数学学习中发挥积极的作用却是我们一直在探索的问题.本节课有较广的延展面，是培养 学生发现、探索、创新能力的很好素材，但是要在一节课 45 分钟时间内实现构想，对课的 安排提出了非常高的要求.几何画板软件的动画演示功能正好可以帮助学生做数学试验，探 讨数学问题；网络论坛可以让他们充分交流，相互学习.为此，我把授课地点放在多媒体网 络教室，充分发挥多媒体的优势，既丰富了三角函数线的概念，又培养了学生发现问题、 解决问题的能力，探索精神、创新意识也有了相应的提高. 2.不仅要让学生掌握数学的基础知识,更要让他们领悟科学的研究方法. 课堂教学最终是为了让学生摆脱课堂,独立学习,所以不仅要让学生掌握数学的基础知 识,更要让他们领悟科学的研究方法.本节课所采用的科研式教学法体现了研究新问题的一 般思路,让学生逐步领悟这种科学的研究方法,有利于他们今后能够独立地开展科研活动. 3.使学生始终保持学习兴趣,快乐学数学. 苏霍姆林斯基说过：“在人的内心深处，都有一种根深蒂固的需要，那就是希望自己 是一个发现者和探索者.”本节课正是抓住学生的这一心理需求，充分利用互动工具，让学 生动手实践、思考探索，合作交流，真正意义上做到尊重学生的创造性，挖掘学生的潜力， 让他们对整个学习过程充满激情，快乐学数学！