等差数列的前n项和 海▣一中冯海敏 (一)教学目标 1.知识与技能：通过实例，理解等差数列的概念：探索并掌握等差数列的 通项公式：能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决 相应的问题：体会等差数列与一次函数的关系。 2.过程与方法：通过对历史有名的高斯求和的介绍，引导学生发现等差数 列的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个规律：由学生建立等差 数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践 操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应 问题的研究。 3.情态与价值：培养学生利用学过的知识解决与现实有关的问题的能力。 (二)教学重、难点 重点：探索并掌握等差数列的前项和公式：学会用公式解决一些实际问 题，体会等差数列的前n项和与二次函数之间的联系。 难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得，灵活应用等差数列前n项 公式解决一些简单的有关问题 (三)学法与教学用具 学法：讲练结合 教学用具：投影仪 (四)教学设想 [创设情景] 等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生 活中经常遇到的问题。在200多年前，历史上最伟大的数学家之一，被誉为 “数学王子”的高斯就曾经上演了迅速求出等差数列这么一出好戏。那时，高
等差数列的前 n 项和 海口一中 冯海敏 （一）教学目标 1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的 通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决 相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。 2. 过程与方法:通过对历史有名的高斯求和的介绍，引导学生发现等差数 列的第 k 项与倒数第 k 项的和等于首项与末项的和这个规律；由学生建立等差 数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践 操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应 问题的研究。 3．情态与价值：培养学生利用学过的知识解决与现实有关的问题的能力。 （二）教学重、难点 重点：探索并掌握等差数列的前 n 项和公式；学会用公式解决一些实际问 题，体会等差数列的前 n 项和与二次函数之间的联系。 难点：等差数列前 n 项和公式推导思路的获得，灵活应用等差数列前 n 项 公式解决一些简单的有关问题 （三）学法与教学用具 学法：讲练结合 教学用具：投影仪 （四）教学设想 [创设情景] 等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生 活中经常遇到的问题。在 200 多年前，历史上最伟大的数学家之一，被誉为 “数学王子”的高斯就曾经上演了迅速求出等差数列这么一出好戏。那时，高
斯的数学老师提出了下面的问题：1+2+3++100=？当时，当其他同学忙于把 100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案： (1+100)+(2+99)++(50+51)=101×50=5050 高斯的算法实际上解决了求等差数列1,2,3，.，n,.前100项的和的问题。 今天我们就来学习如何去求等差数列的前n项的和。 [探索研究] 我们先来看看人们由高斯求前100个正整数的方法得到了哪些启发。人们 从高斯那里受到启发，于是用下面的这个方法计算1,2,3，.，的前n 项的和： 由1+ 2 n n+n-1+.+2+1 (n+1)+(n+1)+.+(n+1)+(n+1) 可知1+2+3++对=a+少x 2 上面这种加法叫“倒序相加法” 请同学们观察思孝一下：高斯的算法妙在哪里？ 高斯的算法很巧妙，他发现了整个数列的第k项与倒数第k项的和与首项 与尾项的和是相等的这个规律并且把这个规律用于求和中。这种方法是可以推 广到求一般等差数列的前n项和的。 [等差数列求和公式的载学] 一般地，称4+4+4++4为数列a,}的前n项的和，用表示，即 S,=a+a+a;++ax 1、思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？ 思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和
斯的数学老师提出了下面的问题：1+2+3+.+100=？当时，当其他同学忙于把 100 个数逐项相加时，10 岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案： （1+100）+（2+99）+.+（50+51）=101×50=5050 高斯的算法实际上解决了求等差数列 1，2，3，.，n，.前 100 项的和的问题。 今天我们就来学习如何去求等差数列的前 n 项的和。 [探索研究] 我们先来看看人们由高斯求前 100 个正整数的方法得到了哪些启发。人们 从高斯那里受到启发，于是用下面的这个方法计算 1，2，3，.，n，.的前 n 项的和： 由 1 + 2 + . + n-1 + n n + n-1 + . + 2 + 1 （n+1）+（n+1）+ . +（n+1）+（n+1） 可知 上面这种加法叫“倒序相加法” 请同学们观察思考一下：高斯的算法妙在哪里？ 高斯的算法很巧妙，他发现了整个数列的第 k 项与倒数第 k 项的和与首项 与尾项的和是相等的这个规律并且把这个规律用于求和中。这种方法是可以推 广到求一般等差数列的前 n 项和的。 [等差数列求和公式的教学] 一般地，称 为数列 的前 n 项的和，用 表示，即 1、 思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？ 思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和
我们用两种方法表示心： &,=a+a+d)+a+2d)++[a,+-ld0 ,=a.+a,-d+a,-2d++a,-10dl@ 由①+②，得 28.4+a）+(a+o0+(4+a)++(a+a =8(a+a) 由此相到等差数到a,的前n项和的公式三： 2 对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求 等差数列前n项和了。 2、除此之外，等差数列还有其他方法（读基础教好学生要介绍） 当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。例如： =4+a+4+a。 =4+(a+d)+(a+2d)+.+[a1+(-1)d] =a+[d+2d+.+(0a-1d】 =at[1+2+.+(8-10d 。4+g-① 2
我们用两种方法表示 ： ① ② 由①+②，得 由此得到等差数列 的前 n 项和的公式 对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求 等差数列前 n 项和了。 2、 除此之外，等差数列还有其他方法（读基础教好学生要介绍） 当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。例如： = = = =
这两个公式是可以相互转化的。把a=a+-一Dd代入$=色+ 2中， 就可以得到8=%+-。 引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的 任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公 式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的 “二次函数”，可以与二次函数进行比较。这两个公式的共同点都是知道41和 ,不同点是第一个公式还需知道“，而第二个公式是要知道d,解题时还需 要根据己知条件决定选用哪个公式。 [公式运用] (课本52页练习1、2) 1、根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{a:}的前n项和S (04=-4,4:=-18,”=8 ②4=145，d=034.=32 [例题分析] 例1、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工 程的统治》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10 年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校 校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金 都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通” 工程中的总投入是多少？ (1)、先阅读题目：
这两个公式是可以相互转化的。把 代入 中， 就可以得到 引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的 任意的第 k 项与倒数第 k 项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公 式反映了等差数列的前 n 项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于 n 的 “二次函数”，可以与二次函数进行比较。这两个公式的共同点都是知道 和 n，不同点是第一个公式还需知道 ，而第二个公式是要知道 d，解题时还需 要根据已知条件决定选用哪个公式。 [公式运用] （课本 52 页练习 1、2） 1、 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列 的前 n 项和 S. ⑴ ⑵ [例题分析] 例 1、2000 年 11 月 14 日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工 程的统治》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从 2001 年起用 10 年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001 年该市用于“校 校通”工程的经费为 500 万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金 都比上一年增加 50 万元.那么从 2001 年起的未来 10 年内，该市在“校校通” 工程中的总投入是多少？ ⑴、先阅读题目；
(②)、引导学生提取有用的信息，构件等差数列模型 (3)、写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前项和公式 进行求解。 解：根据题意，从2001-2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都 比上一年增加50万元.所以，可以建立一个等差数列a,),表示从2001年起各 年投入的资金，其中 4=500 d=50 那么，到2010年(n=10),投入的资金总额为 8=10×500+10x10-Dx50=7250 (万元) 答：从2001^2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元 例2.已知一个等差数列{a,}前10项的和是310，前20项的和是1220.由 这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？ 引导学生分析得到：等差数列前项和公式就是一个关于 a小n或者a从d的方程。若要确定其前n项求和公式，则要确定马，和d 的关系式，从而求得。 分析：将己知条件代入等差数列前项和的公式后，可得到两个关于4与 d的二元一次方程，由此可以求得马与d,从而得到所求前n项和的公式。 解：由题意知 S0=310, S0=1220 &=a+-卫d 将它们代入公式 2
⑵、引导学生提取有用的信息，构件等差数列模型； ⑶、写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前 n 项和公式 进行求解。 解：根据题意，从 2001-2010 年，该市每年投入“校校通”工程的经费都 比上一年增加 50 万元.所以，可以建立一个等差数列 ，表示从 2001 年起各 年投入的资金，其中 ， d=50. 那么，到 2010 年（n=10），投入的资金总额为 （万元） 答：从 2001~2010 年，该市在“校校通”工程中的总投入是 7250 万元. 例 2．已知一个等差数列 前 10 项的和是 310，前 20 项的和是 1220.由 这些条件能确定这个等差数列的前 n 项和的公式吗？ 引导学生分析得到：等差数列前 n 项和公式就是一个关于 的方程。若要确定其前 n 项求和公式，则要确定 的关系式，从而求得。 分析：将已知条件代入等差数列前 n 项和的公式后，可得到两个关于 与 d 的二元一次方程，由此可以求得 与 d，从而得到所求前 n 项和的公式. 解：由题意知 ， 将它们代入公式
10a1+45d=310, 得到 2041+190d=1220 解这个关于4与d的方程组，得到4=4，d=6, 所以=4+6=3+ 2 。=马2×10=310 另解： 2 得 41+410=62: ,=4+a0×20=120 2 所以 41+40=122 ② ②-①，得10d=60, 所以 d-6 代入①得： 4=4 义=+0-Da=3w2+分 所以有 2 例题评述：此例题目的是建立等差数列前项和与解方程之间的联系.己知 几个量，通过解方程，得出其余的未知量. 个数刻知爱列o的前n项为=”+ 2，求这个数列的通项公式这 个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
得到 解这个关于 与 d 的方程组，得到 =4，d=6， 所以 另解： 得 所以 ② ②-①，得 ， 所以 代入①得： 所以有 例题评述：此例题目的是建立等差数列前 n 项和与解方程之间的联系.已知 几个量，通过解方程，得出其余的未知量. 例 3 已知数列 的前 n 项为 ，求这个数列的通项公式.这 个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
解：根据从=a+4++a1+a, 与 -1=4+a2+ta(n1) 可知，当n>l时， 4=-8f+-+-n-2x-号0 当n=1时，4==P+×1=2也满足①式 所以数列a的通项公式为”=2如一司 2 由此可知，数列a:}是一个首项为2，公差为2的等差数 列。 这个例题还给出了等差数列通项公式的一个求法.已知前项和，可 求出通项 (n>1) dy= a(8=0 S.-S
解：根据 ＞ 与 可知，当 n＞1 时， ① 当 n=1 时， 也满足①式. 所以数列 的通项公式为 . 由此可知，数列 是一个首项为 ，公差为 2 的等差数 列。 这个例题还给出了等差数列通项公式的一个求法.已知前 n 项和 ，可 求出通项 （n＞1）
用这种数列的来确定的方法对于任何数列都是可行的，而且还要注意 4不一定满足由心-心，=4求出的通项表达式，所以最后要验证首项4是否 满足已求出的， 思考：结合例3，思考课本51页“探究”：一般地，如果一个数列a,)的 前n项和为心，=P+g+”其中p、q、r为常数，且p≠0，那么这个数列一定 是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？ 引导分析得出：观察等差数列两个前n项和公式“2” 2 S=dDd=-) 2 ”,公式本身就不含常数项。 所以得到：如果一个数列前n项和公式是常数项为0，且关于n的二次型函 数，则这个数列一定是等差数列 例4已知等差数列 号号一的前n暖和为，求使得区最大的序号 n的值. 分折：等整我别的面n项公式河u写成S-多·，所心 当x=印时的函数值.另一方面，容易 知道关于的图象是一条抛物线上的一些点.因此，我们可以利用二次函数 来求n的值. 兵由.等我州导的会物气质烈 5 8=12x5+(n-0(-别
用这种数列的 来确定 的方法对于任何数列都是可行的，而且还要注意 不一定满足由 求出的通项表达式，所以最后要验证首项 是否 满足已求出的 . 思考：结合例 3，思考课本 51 页“探究”：一般地，如果一个数列 的 前 n 项和为 其中 p、q、r 为常数，且 p≠0，那么这个数列一定 是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？ 引导分析得出：观察等差数列两个前 n 项和公式 ，和 ，公式本身就不含常数项。 所以得到：如果一个数列前 n 项和公式是常数项为 0，且关于 n 的二次型函 数，则这个数列一定是等差数列. 例 4 已知等差数列 的前 n 项和为 ，求使得 最大的序号 n 的值. 分析：等差数列的前 n 项和公式可以写成 ，所以 可以看成函数 当 x=n 时的函数值.另一方面，容易 知道 关于 n 的图象是一条抛物线上的一些点.因此，我们可以利用二次函数 来求 n 的值. 解：由题意知，等差数列 的公差为 ，所以
=14 56 15 于是，当n取与2最接近的整数即7或8时，取最大值 [随堂练习]课本52页“练习”第1、2、3、4题 [补充练习] 1、已知数列a,是等差数列，S是其前n项和，且S,S-5,S-Su成等 差数列，设无eW”,凡，-，心-成等差数列吗？ 生：分析题意，解决问题 解：设a,首项是1，公差为d 则：8g=4+a,ta+a,+a,+a S12-8o=az+a+ag +ano+a+a12 =(a+6d+(a2+6d)+(a+6d+(a4+6d)+(a5+id)+(a6+6d =(a+a+a+a4+as+a6)+3d=6+36d S8-S12-a13+a14+4s+416+41?+a18 =(a,+6d)+(ae+6d)+(a,+6d)+ao+6d)+(a:+6d+(aa+id) =(a,+ae+ag+a0+a1+a2)+36d -S%+36d 6,a-6,Se-心为等差数列 同理可得⊙，鸟一心，心一8成等差数列 2、求集合=7eN,且m<10的元素个数，并求这些元素的和。 解由10，”9-14写
= 于是，当 n 取与 最接近的整数即 7 或 8 时， 取最大值. [随堂练习]课本 52 页“练习”第 1、2、3、4 题 [补充练习] 1、已知数列 是等差数列，Sn是其前 n 项和，且 S6，S12-S6，S18-S12成等 差数列，设 成等差数列吗？ 生：分析题意，解决问题. 解：设 首项是 ，公差为 d 则： 同理可得 成等差数列. 2、求集合 的元素个数，并求这些元素的和。 解由 m=100，得
满足此不等式的正整数n共有14个，所以集合m中的元素共有14个， 从小到大可列为： 7,7×2,7×3,7×4,.7×14 即：7,14,21,28,98 这个数列是等差数列，记为a,小其中 a-984-4x7+90.735 2 解由=10，”91 满足此不等式的正整数n共有14个，所以集合m中的元素共有14个， 从小到大可列为： 7,7×2,7×3,7×4,.7×14 即：7,14,21,28，. 98 这个数列是等差数列，记为，以 其中 a4-7.4-98-14x7490.735 2 答：集合m中共有14个元素，它们和等于735 课装小结等差数列a,的前顶利的公式。=十 2和 ,2k-,张心也成等差数列. (五)评价设计 课本52页A组第1、3、6
满足此不等式的正整数 n 共有 14 个，所以集合 m 中的元素共有 14 个， 从小到大可列为： 7，7×2，7×3，7×4，.7×14 即：7，14，21，28，.98 这个数列是等差数列，记为 其中 解由 m=100，得 满足此不等式的正整数 n 共有 14 个，所以集合 m 中的元素共有 14 个， 从小到大可列为： 7，7×2，7×3，7×4，.7×14 即：7，14，21，28，. 98 这个数列是等差数列，记为 其中 答：集合 m 中共有 14 个元素，它们和等于 735 [课堂小结] 等差数列 的前 n 项和的公式 和 也成等差数列. （五）评价设计 课本 52 页 A 组第 1、3、6