等差数列 海口一中冯海敏 (一)教学目标 1.知识与技能：通过实例，理解等差数列的概念：探索并掌握等差数列的 通项公式：能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决 相应的问题：体会等差数列与一次函数的关系。 2.过程与方法：让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察， 推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决 一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通 过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究 3.情态与价值：培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。 (二)教学重、雅点 重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并学握等差数列的通项公式： 会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。 难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 (三)学法与教学用具 学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题 水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念：接着就 等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式：可以用多种方法对等差数列的 通项公式进行推导。 教学用具：投影仪
等差数列 海口一中 冯海敏 （一）教学目标 1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的 通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决 相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。 2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察， 推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决 一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通 过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。 3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。 （二）教学重、难点 重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式； 会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。 难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 （三）学法与教学用具 学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、 水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就 等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的 通项公式进行推导。 教学用具：投影仪
(四)教学设想 [创设情景] 上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息 等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知 识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。 [探索研究] 由学生观察分析并得出答案 (放投影片)在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一 次，可以得到数列：0,5， 2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。 该项目共设置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg): 48,53,58,63。 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水 库的杂鱼。如果一个水库的水位为18℃m,自然放水每天水位降低2.5m,最低降 至5。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组 成数列（单位：m)18,15.5,13,10.5,8,5.5 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入 本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×(1+利 率×寸期).例如，按活期存入10000元钱，年利率是0.72%。那么按照单利， 5年内各年末的本利和分别是： 时间 年初本金（元） 年末本利和（元）
（四）教学设想 [创设情景] 上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息 等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知 识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。 [探索研究] 由学生观察分析并得出答案： （放投影片）在现实生活中，我们经常这样数数，从 0 开始，每隔 5 数一 次，可以得到数列：0，5，_,_,_,_,. 2000 年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。 该项目共设置了 7 个级别。其中较轻的 4 个级别体重组成数列（单位：kg）： 48，53，58，63。 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水 库的杂鱼。如果一个水库的水位为 18cm，自然放水每天水位降低 2.5m，最低降 至 5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组 成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入 本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利 率×寸期）.例如，按活期存入 10 000 元钱，年利率是 0.72%。那么按照单利， 5 年内各年末的本利和分别是： 时间 年初本金（元） 年末本利和（元）
第1年 10000 10072 第2年 10000 10144 第3年 10000 10216 第4年 10000 10288 第5年 10000 10360 各年末的本利和（单位：元）组成了数列：10072,10144,10216,10 288,10360。 思考：同学们观察一下上面的这四个数列：0,5,10,15,20，.① 48,53,58,63② 18,15.5,13,10.5,8,5.5③ 10072,10144,10216,10288,10 360④ 看这些数列有什么共同特点呢？ (由学生讨论、分析) 引导学生观察相邻两项间的关系，得到： 对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于5： 对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于5； 对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于-2.5； 对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于72：
第 1 年 10 000 10 072 第 2 年 10 000 10 144 第 3 年 10 000 10 216 第 4 年 10 000 10 288 第 5 年 10 000 10 360 各年末的本利和（单位：元）组成了数列：10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360。 思考：同学们观察一下上面的这四个数列：0，5，10，15，20，. ① 48，53，58，63 ② 18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③ 10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 ④ 看这些数列有什么共同特点呢？ （由学生讨论、分析） 引导学生观察相邻两项间的关系，得到： 对于数列①，从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于 5 ； 对于数列②，从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于 5 ； 对于数列③，从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于 -2.5 ； 对于数列④，从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于 72 ；
由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都 等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。 [等差数列的概念] 对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等 差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义： 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差 等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。那么对于以上四 组等差数列，它们的公差依次是5,5，-2.5,72。 提问：如果在a与中中间插入一个数A,使a，A,b成等差数列数列，那 么A应满足什么条件？ 由学生回答：因为a,A,b组成了一个等差数列，那么由定义可以知道： A-a=b-A 所以就有4+色 2 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫 做a与b的等差中项
由学生归纳和概括出，以上四个数列从第 2 项起，每一项与前一项的差都 等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。 [等差数列的概念] 对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等 差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义： 等差数列：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差 等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示。那么对于以上四 组等差数列，它们的公差依次是 5，5，-2.5，72。 提问：如果在 与 中间插入一个数 A，使 ，A， 成等差数列数列，那 么 A 应满足什么条件？ 由学生回答：因为 a，A，b 组成了一个等差数列，那么由定义可以知道： A-a=b-A 所以就有 由三个数 a，A，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A 叫 做 a 与 b 的等差中项
不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外） 都是它的前一项与后一项的等差中项。 如数列：1,3,5,7,9,11,13.中5是3和7的等差中项，1和9的等差 中项。9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。 看来，a2+a,=4+aa,+a6=4+a,从而可得在一等差数列中，若 mtn=ptg则aw+ax=a,+a, [等差数列的通项公式] 对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？这是我们 接下来要学习的内容。 ()、我们是通过研究数列a:'的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项 公式的。下面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式。 由学生经过分析写出通项公式： ①这个数列的第一项是5，第2项是10(=5+5)，第3项是15(=5+5+5)， 第4项是20(=5+5+5+5)，.由此可以猜想得到这个数列的通项公式 是a,=5洲 ②这个数列的第一项是48，第2项是53(=48+5)，第3项是58(=48+5 ×2),第4项是63(=48+5×3)，由此可以猜想得到这个数列的通项公式是 a=43+50-10
不难发现，在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项（有穷数列的末项除外） 都是它的前一项与后一项的等差中项。 如数列：1，3，5，7，9，11，13.中 5 是 3 和 7 的等差中项，1 和 9 的等差 中项。9 是 7 和 11 的等差中项，5 和 13 的等差中项。 看来， 从而可得在一等差数列中，若 m+n=p+q 则 [等差数列的通项公式] 对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？这是我们 接下来要学习的内容。 ⑴、我们是通过研究数列 的第 n 项与序号 n 之间的关系去写出数列的通项 公式的。下面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式。 由学生经过分析写出通项公式： ① 这个数列的第一项是 5，第 2 项是 10（=5+5），第 3 项是 15（=5+5+5）， 第 4 项是 20（=5+5+5+5），.由此可以猜想得到这个数列的通项公式 是 ② 这个数列的第一项是 48，第 2 项是 53（=48+5），第 3 项是 58（=48+5 ×2），第 4 项是 63（=48+5×3），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是
③这个数列的第一项是18，第2项是15.5(=18-2.5)，第3项是13 (=18-2.5×2),第4项是10.5(=18-2.5×3)，第5项是8(=18-2.5×4)， 第6项是5.5(=18-2.5×5)由此可以猜想得到这个数列的通项公式是 a.=18-2.5y-D ④这个数列的第一项是10072，第2项是10144(=10172+72)，第3项 是10216(=10072+72×2)，第4项是10288(=10072+72×3)，第5项是 10360(=10072+72×4),由此可以猜想得到这个数列的通项公式是 a.=10072+720:-1) (②)、那么，如果任意给了一个等差数列的首项1和公差d,它的通项公式是什 么呢？ 引导学生根据等差数列的定义进行归纳： az-a=d 4-a3=d a-a3=d (n-1)个等式 所以 =a1+d, a3=a2+d, a4=g3+d
③ 这个数列的第一项是 18，第 2 项是 15.5（=18-2.5），第 3 项是 13 （=18-2.5×2），第 4 项是 10.5（=18-2.5×3），第 5 项是 8（=18-2.5×4）， 第 6 项是 5.5（=18-2.5×5）由此可以猜想得到这个数列的通项公式是 ④ 这个数列的第一项是 10072，第 2 项是 10144（=10172+72），第 3 项 是 10216（=10072+72×2），第 4 项是 10288（=10072+72×3），第 5 项是 10360（=10072+72×4），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是 ⑵、那么，如果任意给了一个等差数列的首项 和公差 d，它的通项公式是什 么呢？ 引导学生根据等差数列的定义进行归纳： （n-1）个等式 所以
思考：那么通项公式到底如何表达呢？ a2=a]+d. a=4+d=(a+d)+d=a+2d, a,=a3+d=(a1+2d)+d=a+3d . 得出通项公式：由此我们可以猜想得出：以！为首项，d为公差的等差 数列a,}的通项公式为：4，=a+-1d 也就是说，只要我们知道了等差数列的首项41和公差d,那么这个等差数 列的通项x就可以表示出来了。 选讲：除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式： (迭加法)：a,小是等差数列，所以4，-a=d, a1-a2=d a-2-a。-3=d
. 思考：那么通项公式到底如何表达呢？ . 得出通项公式：由此我们可以猜想得出：以 为首项，d 为公差的等差 数列 的通项公式为： 也就是说，只要我们知道了等差数列的首项 和公差 d，那么这个等差数 列的通项 就可以表示出来了。 选讲：除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式： （迭加法）： 是等差数列，所以
a2-41=d, 两边分别相加得 a,-a1=(w-10d, 以 a。=a1+(w-1)d (迭代法)：a,是等差数列，则有a,=a1+d =a2+d+d =a+2d =a-3+d+2d =a-3+3d
. 两边分别相加得 所 以 （迭代法）： 是等差数列，则有
=a1+(u-10d 所 以 a,=41+(-10d [例题分析] 例1、(1)求等差数列8,5,2，.的第20项. (2-401是不是等差数列-5，-9，-13，.的项？如果是，是第几项？ 分析：()要求出第20项，可以利用通项公式求出来。首项知道了，还需要 知道的是该等差数列的公差，由公差的定义可以求出公差： (2)这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。要判断这 个数是不是数列中的项，就是要看它是否满足该数列的通项公式，并且需要注 意的是，项数是否有意义。 解：①油1=8，d5-8=-3,n20,得0=8+21-)×(-3)=-49 (2)由41=-5，d=-9(-5)=-4,得这个数列的通项公式为 a,=-5-4-1=4-1由愿意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得- 401=-4n-1成立。 解这个关于n的方程，得n=100,即-401是这个数列的第100项
所 以 [例题分析] 例 1、⑴求等差数列 8，5，2，.的第 20 项. ⑵-401 是不是等差数列-5，-9，-13，.的项？如果是，是第几项？ 分析：⑴要求出第 20 项，可以利用通项公式求出来。首项知道了，还需要 知道的是该等差数列的公差，由公差的定义可以求出公差； ⑵这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。要判断这 个数是不是数列中的项，就是要看它是否满足该数列的通项公式，并且需要注 意的是，项数是否有意义。 解：⑴由 =8，d=5-8=-3，n=20，得 ⑵由 =-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为 由题意知，本题是要回答是否存在正整数 n,使得- 401=-4n-1 成立。 解这个关于 n 的方程，得 n=100，即-401 是这个数列的第 100 项
例题评述：从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于 “:、41、d、n(独立的量有3个)的方程：另外，要懂得利用通项公式来判断 所给的数是不是数列中的项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否 为正整数，如果不是正整数，那么它就不是数列中的项。 (放投影片)例2.某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元，即 最初的4km(不含4千米)计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14m 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？ 解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km,乘客 需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列a:》来计算车费 令41=11.2，表示4km处的车费，公差d1.2。那么当出租车行至 14km处时，n=11,此时需要支付车费41=11.2+11-1)×1.2=232（元） 答：需要支付车费23.2元。 例题评述：这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，要学会从实 际问题中抽象出等差数列模型，用等差数列的知识解决实际问题。 (放投影片)思考例题：倒3已知数列a,}的通项公式为4，=所+4其中p、 q为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？ 分析：判定a:)是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看 a,-a1(n>1)是不是一个与n无关的常数。 解：取数列a,小中的任意相邻两项a,与a1(n>1)
例题评述：从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于 、 、d、n（独立的量有 3 个）的方程；另外，要懂得利用通项公式来判断 所给的数是不是数列中的项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否 为正整数，如果不是正整数，那么它就不是数列中的项。 （放投影片）例 2．某市出租车的计价标准为 1.2 元/km，起步价为 10 元，即 最初的 4km（不含 4 千米）计费 10 元。如果某人乘坐该市的出租车去往 14km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为 0，需要支付多少车费？ 解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于 4km 时，每增加 1km，乘客 需要支付 1.2 元.所以，我们可以建立一个等差数列 来计算车费. 令 =11.2，表示 4km 处的车费，公差 d=1.2。那么当出租车行至 14km 处时，n=11，此时需要支付车费 答：需要支付车费 23.2 元。 例题评述：这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，要学会从实 际问题中抽象出等差数列模型，用等差数列的知识解决实际问题。 （放投影片）思考例题：例 3 已知数列 的通项公式为 其中 p、 q 为常数，且 p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？ 分析：判定 是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看 （n＞1）是不是一个与 n 无关的常数。 解：取数列 中的任意相邻两项 （n＞1）