回归分析的初步应用 海南省农垦中学吴春霞 一、教学目标 a)知识与技能 +能根据散点分布特点，建立不同的回归模型。 *知道有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型。 *通过散点图及相关指数比较体验不同模型的拟合效果 b)过程与方法 ★通过将非线性模型转化为线性回归模型，使学生体会“转化”的思想。 ★让学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，体会统计方法的特点， 认识统计方法的应用。 *通过使用转化后的数据，利用计算器求相关指数，使学生体会使用计算器处理数据 的方法。 c)情感、态度与价值现 ★从实际问题中发现已有知识不足，激发好奇心、求知欲。 ★通过寻求有效的数据处理方法，开阔学生的思路，培养学生的探索精神和转化能力。 *通过案例的分析，使学生了解回归分析在生活实际中的应用，增强数学“取之生活， 用于生活”的意识，提高学习兴趣。 二。教学重点、难点 *重点：通过探究使学生体会有些非线性模型运用等量变换、对数变换可以转化为线性 回归模型。 *难点：如何启发学生“对变量作适当的变换（等量变换、对数变换）”，变非线性为 线性，建立线性回归模型， 三、教学过程设计
回归分析的初步应用 海南省农垦中学 吴春霞 一、教学目标 a) 知识与技能 ＊能根据散点分布特点，建立不同的回归模型。 ＊知道有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型。 ＊通过散点图及相关指数比较体验不同模型的拟合效果。 b) 过程与方法 ＊通过将非线性模型转化为线性回归模型，使学生体会“转化”的思想。 ＊让学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，体会统计方法的特点， 认识统计方法的应用。 ＊通过使用转化后的数据，利用计算器求相关指数，使学生体会使用计算器处理数据 的方法。 c) 情感、态度与价值观 ＊从实际问题中发现已有知识不足，激发好奇心、求知欲。 ＊通过寻求有效的数据处理方法，开阔学生的思路，培养学生的探索精神和转化能力。 ＊通过案例的分析，使学生了解回归分析在生活实际中的应用，增强数学“取之生活， 用于生活”的意识，提高学习兴趣。 二．教学重点、难点 ＊重点：通过探究使学生体会有些非线性模型运用等量变换、对数变换可以转化为线性 回归模型。 ＊难点：如何启发学生“对变量作适当的变换（等量变换、对数变换）”，变非线性为 线性，建立线性回归模型。 三、教学过程设计
师生活动设计意图 师：提出问 题，引导学生 回忆建立回归 模型的基本步 复习建立线 骤（选变量、 画散点图、选 性回归模型 1、你能回忆一下建立回归模型的基本步骤 的基本步 模型、估计参 数、分析和预 骤，为建议 非线性模型 测)。 做准备】 生：回忆、叙 述建立回归模 型的基本步 骤。 教 师：通过“红 铃虫”的背景 介绍，指出其通过背景材 发生受温度的料，加深学 影响，为采取 生对问题的 2、背景介绍 有效防治方理解，并明 红铃虫喜高温高湿，适宜各虫态发有的 程 法，有必要研 白“为什么 温度为25一32C,相对湿度为80% 究红铃虫的产 要学”。体 100%,低于20C和高于35C卵不能孵化， 卵数和温度之 会问题产生 相对湿度60%以下成虫不产卵。冬季月平 间的关系，揭于生活。同 均气温低于一4.8℃时，红铃虫就不能越 示课题。 时激发学习 冬而被冻死。 生：阅读材兴趣，提高 料，了解红铃 学习的积极 虫，以及其产 卵数和温度有 关系。 1、例2.现收集了一只红铃虫的产卵数y和师：给出数引导学生对 温度x之间的7组观测数据列于下表； 据，让学生分结果进行分 度和0四网阿网四235 析两个变量的析，从而发 关系。 现已有知识
项 目 内 容 师生活动 设计意图 教 学 过 程 分 析 一、 创 设 情 境 1、你能回忆一下建立回归模型的基本步骤 吗？ 师：提出问 题，引导学生 回忆建立回归 模型的基本步 骤（选变量、 画散点图、选 模型、估计参 数、分析和预 测）。 生：回忆、叙 述建立回归模 型的基本步 骤。 复习建立线 性回归模型 的基本步 骤，为建议 非线性模型 做准备。 2、背景介绍： 红铃虫喜高温高湿，适宜各虫态发育的 温度为 25 一 32C，相对湿度为 80％一 100％，低于 20C 和高于 35C 卵不能孵化， 相对湿度 60％ 以下成虫不产卵。冬季月平 均气温低于一 4．8 ℃时，红铃虫就不能越 冬而被冻死。 师：通过“红 铃虫”的背景 介绍，指出其 发生受温度的 影响，为采取 有效防治方 法，有必要研 究红铃虫的产 卵数和温度之 间的关系，揭 示课题。 生：阅读材 料，了解红铃 虫，以及其产 卵数和温度有 关系。 通过背景材 料，加深学 生对问题的 理解，并明 白“为什么 要学”。体 会问题产生 于生活。同 时激发学习 兴趣，提高 学习的积极 性。 1、例 2.现收集了一只红铃虫的产卵数 y 和 温度 x 之间的 7 组观测数据列于下表： 温度 xoC 21 23 25 27 29 32 35 师：给出数 据，让学生分 析两个变量的 关系。 引导学生对 结果进行分 析，从而发 现已有知识
产卵数/个711212466115325 |生：类比前面不足，激发 ()试建立y与x之间的回归方程：并预测温 所学过的建立 好奇心、求 度为280C时产卵数目。 线性回归模型 知欲。同时 (②)你所建立的模型中温度在多大程度上解释 的步骤， 动手 培养学生对 了产卵数的变化？ 实施方案1。 问题的洞悉 探究： 能力，增强 方案1（学生实施）： 师：引导学生对结果的敏 (1)选择变量，画散点图。 分析结果，发 感自检能 (2)通过计算器求得线性回归方 现问题。 力。 程：=19.87r463.73 生：检查结 (3)进行回归分析和预测： 果，联系实同 通过联想 R2=r2≈0.8642-0.7464 发现问思。 比较，运用 预测当气温为28时，产卵数为92个。这个 操究一： 已有知识寻 线性回归模型中温度解释了74.64%产卵数的 师：引导学生找解决问题 变化。 将所得散点图的方法。 困惑：随若自变量的增加，因变量也随之增 和学过的函数 加，气温为28时，估计产卵数应该低于66 图像比较，猜 二次函数和 个，但是从推算的结果来看92个比66个却 想产卵数y和 一次函数比 多了26个，是什么原因造成的呢？ 温度x的可以 较接近，所 方案2： 用什么函数拟以先建立 (1)找到变量t=x2,将y=bx2+a转化成 合？ 次函数模 v=btta: 生：通过比 型。 (2)利用计算器计算出y和t的线性回归方 较，发现接近 程：y=0.367t202.54 于指数关系， (3)转换回y和x的模型： 也像二次函数 通过比较， y-0.367x2-202.54 关系。 寻找转化的 (4)计算相关指数2≈0.802这个回归模型 师：通过计算 途径，突破 中温度解释了80.2%产卵数的变化。 机拟合，直观 难占 预测：当气温为28时，产卵数为85个。 判断所选模 困惑：比66还多19个，是否还有更适合的 型。鼓励学生 步步推进 模型呢？ 继续探索。 引发另一高 方案3： 生：经过讨论 湖。 1)作变换21，将y十10转化成 建立模型 2=c2x+1gc1(线性模型)。 y=bx2+a
二、 探 索 新 知 产卵数 y/个 7 11 21 24 66 115 325 (1)试建立 y 与 x 之间的回归方程；并预测温 度为 28oC 时产卵数目。 (2)你所建立的模型中温度在多大程度上解释 了产卵数的变化？ 探究： 方案 1（学生实施）： （1）选择变量，画散点图。 （ 2 ） 通 过 计 算 器 求 得 线 性 回 归 方 程:=19.87x-463.73 （3）进行回归分析和预测： R2=r2≈0.8642=0.7464 预测当气温为 28 时，产卵数为 92 个。这个 线性回归模型中温度解释了 74.64%产卵数的 变化。 困惑：随着自变量的增加，因变量也随之增 加，气温为 28 时，估计产卵数应该低于 66 个，但是从推算的结果来看 92 个比 66 个却 多了 26 个，是什么原因造成的呢？ 方案 2： （1）找到变量 t=x 2，将 y=bx2+a 转化成 y=bt+a； （2）利用计算器计算出 y 和 t 的线性回归方 程：y=0.367t-202.54 （3）转换回 y 和 x 的模型： y=0.367x2 -202.54 （4）计算相关指数 R2≈0.802 这个回归模型 中温度解释了 80.2%产卵数的变化。 预测：当气温为 28 时，产卵数为 85 个。 困惑：比 66 还多 19 个，是否还有更适合的 模型呢？ 方案 3： （1）作变换 z=lgy，将 转化成 z=c2x+lgc1（线性模型）。 生：类比前面 所学过的建立 线性回归模型 的步骤，动手 实施方案 1。 师：引导学生 分析结果，发 现问题。 生：检查结 果，联系实际 发现问题。 探究一： 师：引导学生 将所得散点图 和学过的函数 图像比较，猜 想产卵数 y 和 温度 x 的可以 用什么函数拟 合？ 生：通过比 较，发现接近 于指数关系， 也像二次函数 关系。 师：通过计算 机拟合，直观 判断所选模 型。鼓励学生 继续探索。 生：经过讨论 建立模型： y=bx2+a ， 不足，激发 好奇心、求 知欲。同时 培养学生对 问题的洞悉 能力，增强 对结果的敏 感自检能 力。 通过联想、 比较，运用 已有知识寻 找解决问题 的方法。 二次函数和 一次函数比 较接近，所 以先建立二 次函数模 型。 通过比较， 寻找转化的 途径，突破 难点。 步步推进， 引发另一高 潮
(2)利用计算器计算出么和x的线性回归方y十C1a‘:再次体会 程 z=0.118-1.672 探究二（方案 “转化” (3)转换回y和x的模型： 2) y=1001ea-162 师：提出问题 课堂上选用 (4)计算相关指数2≈0.985这个回归模型 “如何求参数 以10为底， 中温度解释了98.5%产卵数的变化。 a、b?”可引导 让学生亲自 预测：当气温为28时，产卵数为42个。 学生观察、比 体会可以选 较表达式用不同的 和底。 y=bxta. 生：通过比经历动手体 较，发现可利验， 感受 0 “转化”以 t=x2 将 及使用统计 ybx2+a(二次 方法处理数 函数)转化成据的过程。 y=bt+a(一次 能利用计算 函数)。 器熟练进行 师：提醒学生 相关计算。 再检查结果。 生：产生新的 问题。 探究三（方案 3): 师：提出问题 “如果选用指 数模型，是否 也能转换成线 性模型，如何 转化？”(1) 利用对数降幂 法（数师可言 发学生思考 “幂指数中的
二、 探 索 新 知 （2）利用计算器计算出 z 和 x 的线性回归方 程： z=0.118x-1.672 （ 3 ） 转 换 回 y 和 x 的模型： （4）计算相关指数 R2≈0.985 这个回归模型 中温度解释了 98.5%产卵数的变化。 预测：当气温为 28 时，产卵数为 4 2 个。 探究二（方案 2）: 师：提出问题 “如何求参数 a、b?”可引导 学生观察、比 较表达式 y=bx2+a 和 y=bx+a。 生：通过比 较，发现可利 用 t=x2 ， 将 y=bx2+a（二次 函数）转化成 y=bt+a （一次 函数）。 师：提醒学生 再检查结果。 生：产生新的 问题。 探究三（方案 3）: 师：提出问题 “如果选用指 数模型，是否 也能转换成线 性模型，如何 转化？”（1） 利用对数降幂 法（教师可启 发学生思考 “幂指数中的 再次体会 “转化” 课堂上选用 以 10 为底， 让学生亲自 体会可以选 用不同的 底。 经历动手体 验，感受 “转化”以 及使用统计 方法处理数 据的过程。 能利用计算 器熟练进行 相关计算
自变量如何转 化为自变量的 一次幂？”可 引导学生回忆 对数的运算性 质以及指对数 关系。)。 (2)在计算中 发现只有以10 或e为底，才 能直接运用计 算器。 2、比较例2的三个模型 师：以上三个引导学生进 模型，哪个能行不同模型 更好的刻画红的比较。体 铃虫的产卵数会“虽然任 y和温度x的意两个变量 关系？（可引 的观测数据 导学生从散点都可以用线 图、相关指数性回归模型 两种方法进行来拟合，但 比较。 不能保证这 生：进行比较种模型对数 后获得指数模据的拟合效 型更好。 果最好，为 更好的刻画 两个变量之 间的关系， 要根据观测 数据的特点 来选择回归 模型” 生：自主思使学生掌握 三、 选修1-2：P133 考，探究解题解决这类问
自变量如何转 化为自变量的 一次幂？”可 引导学生回忆 对数的运算性 质以及指对数 关系。）。 （2）在计算中 发现只有以 10 或 e 为底，才 能直接运用计 算器。 2、比较例 2 的三个模型。 师：以上三个 模型，哪个能 更好的刻画红 铃虫的产卵数 y 和温度 x 的 关系？（可引 导学生从散点 图、相关指数 两种方法进行 比较。） 生：进行比较 后获得指数模 型更好。 引导学生进 行不同模型 的比较。体 会“虽然任 意两个变量 的观测数据 都可以用线 性回归模型 来拟合，但 不能保证这 种模型对数 据的拟合效 果最好，为 更好的刻画 两个变量之 间的关系， 要根据观测 数据的特点 来选择回归 模型” 三、 选修 1-2：P13 3 生：自主思 考，探究解题 使学生掌握 解决这类问
|或选修2-3：P1043 思路。 题的方法。 习 师：针对学生 的解答强化或 给予肯定。 师：提出问让学生整理 (1)如何发现两个变量的关系？ 题，引导学生 建立非线性 (2)当选用非线性回归模型时，如何建立模 回顾例2的思回归模型的 型？ 路。 思路。 生：独立思 (3)如何比较不同模型的拟合效果？ 考，总结从例 2中获得的启 发：可以从散点 图直观发现关 系：选用非线 性回归模型 时，往往要用 “等量变换 对数变换”等 方法，转化成 线性回归模 型：可以利用 相关指数比较 模型。 五、1、某种书每册的成本费y(元)与印刷册数生：自己收集使学生“学 作业x(千册)有关，经统计得到数据如下： 资料，自主完以致用”利 123 45 成作业。 用已有知识 解决实际问 52 1.08 2.85 2.11 题，增强学 习数学的兴 1.62 1.41 .30 .21 1.15 ()画出散点图： (2)求成本费y(元)与印刷册数x(千册)
练 习 或选修 2-3： P104 3 思路。 师：针对学生 的解答强化或 给予肯定。 题的方法。 四、 小 结 （1）如何发现两个变量的关系？ （2）当选用非线性回归模型时，如何建立模 型？ （3）如何比较不同模型的拟合效果？ 师：提出问 题，引导学生 回顾例 2 的思 路。 生：独立思 考，总结从例 2 中获得的启 发:可以从散点 图直观发现关 系；选用非线 性回归模型 时，往往要用 “等量变换、 对数变换”等 方法，转化成 线性回归模 型；可以利用 相关指数比较 模型。 让学生整理 建立非线性 回归模型的 思路。 五、 作业 1、某种书每册的成本费 y（元）与印刷册数 x（千册）有关，经统计得到数据如下： x 1 2 3 4 5 y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 x 6 7 8 9 10 y 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15 (1)画出散点图； (2)求成本费 y（元）与印刷册数 x（千册） 生：自己收集 资料，自主完 成作业。 使学生“学 以致用”利 用已有知识 解决实际问 题，增强学 习数学的兴 趣
的回归方程。 2、通过互联网收集1993年至2003年每年中 国人口总数的数据，建立人口与年份的关 系，预测2004和2005年的人口总数，并计 算与实际数据的误差。 四、教学设计说明： 高中新课程中增加了有关统计学初步的内容，先后出现在必修3和选修1-2（文科）、 选修2-3（理科）。《数学3》中的“统计”一章，给出了运用统计的方法解决问题的思路。 “线性回归分析”是其介绍的一种分析整理数据的方法。在这一章中，学习了如何画散点 图、利用最小二乘法的思想利用计算器求回归直线方程、利用回归直线方程进行预报等内 容。然而在大量的实际问题中，两个变量不一定都呈线性相关关系，他们可能呈指数关系 或对数关系等非线性关系，本课时就是在学习了如何建立线性回归模型的基础上，探索如 何建立非线性关系的回归模型。 这个内容在人教A版教材种只安排了一道关于“红铃虫”的例题，但是它却代表了一 种“回归分析”的类型。如何利用这道例题使学生掌握这类问题的解决方法呢？为此，我 设计了“引导发现、合作探究”的教学方法。首先展示“红铃虫”的背景资料来激发学生 的学习兴趣：鼓励学生用己有知识解决问题，引导学生检查结果从而发现新问题：通过分 组合作来对不同方案进行探索：使学生在合作探索的过程中体会“选择模型一一将非线性 转化成线性.”方法，体会“化未知为已知、用已知探索未知”思想，同时认识不同模 型的效果。培养学生观察、类比联想，以及分析问题的能力。在教学过程中让学生自主探 索、动手实践，养成独立思考、积极探索的习惯。 在“选模型”这个环节中，我引导将散点分布和已学函数图像进行比较，从而发现二 次函数和指数函数模型。在“转化”这个环节中，通过引导学生观察所选模型，联系己学 知识选择“等量变换和对数变换”，从而找到转化的途径。在运算过程中，如求“相关指
的回归方程。 2、通过互联网收集 1993 年至 2003 年每年中 国人口总数的数据，建立人口与年份的关 系，预测 2004 和 2005 年的人口总数，并计 算与实际数据的误差。 四、教学设计说明： 高中新课程中增加了有关统计学初步的内容，先后出现在必修 3 和选修 1-2（文科）、 选修 2-3（理科）。《数学 3》中的“统计”一章，给出了运用统计的方法解决问题的思路。 “线性回归分析”是其介绍的一种分析整理数据的方法。在这一章中，学习了如何画散点 图、利用最小二乘法的思想利用计算器求回归直线方程、利用回归直线方程进行预报等内 容。然而在大量的实际问题中，两个变量不一定都呈线性相关关系，他们可能呈指数关系 或对数关系等非线性关系，本课时就是在学习了如何建立线性回归模型的基础上，探索如 何建立非线性关系的回归模型。 这个内容在人教 A 版教材中只安排了一道关于“红铃虫”的例题，但是它却代表了一 种“回归分析”的类型。如何利用这道例题使学生掌握这类问题的解决方法呢？为此，我 设计了“引导发现、合作探究”的教学方法。首先展示“红铃虫”的背景资料来激发学生 的学习兴趣；鼓励学生用已有知识解决问题，引导学生检查结果从而发现新问题；通过分 组合作来对不同方案进行探索；使学生在合作探索的过程中体会“选择模型——将非线性 转化成线性.”方法，体会“化未知为已知、用已知探索未知”思想，同时认识不同模 型的效果。培养学生观察、类比联想，以及分析问题的能力。在教学过程中让学生自主探 索、动手实践，养成独立思考、积极探索的习惯。 在“选模型”这个环节中，我引导将散点分布和已学函数图像进行比较，从而发现二 次函数和指数函数模型。在“转化”这个环节中，通过引导学生观察所选模型，联系已学 知识选择“等量变换和对数变换”，从而找到转化的途径。在运算过程中，如求“相关指
数”我引导学生使用转化后的数据，利用计算器求其相关系数即为相关指数，使学生体会 使用计算器处理数据的方法和技能
数”我引导学生使用转化后的数据，利用计算器求其相关系数即为相关指数，使学生体会 使用计算器处理数据的方法和技能