简单的线性规划 孔凡代 一、内容和内容解析 线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是 一种重要的数学模型.简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优 解可以用数形结合方法求出。涉及更多个变量的线性规划问题不能用初等方法解决。 本节课为该单元的第3课时，主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题 的解法。重点是如何根据实际问题准确建立目标函数，并依据目标函数的几何含义运用数 形结合方法求出最优解。 与其它部分知识的联系，表现在： 直线的方程 线性规划卡一 函数的最值 优化问题 二、目标和目标解析 本课时的目标是： 1,了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解 等相关概念. 了解线性规划模型的特征：一组决策变量红，川表示一个方案：约束条件是一次不等 式组：目标函数是线性的，求目标函数的最大值或最小值。熟悉线性约束条件（不等式组）
简单的线性规划 孔凡代 一、内容和内容解析 线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是 一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优 解可以用数形结合方法求出。涉及更多个变量的线性规划问题不能用初等方法解决。 本节课为该单元的第 3 课时，主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题 的解法．重点是如何根据实际问题准确建立目标函数，并依据目标函数的几何含义运用数 形结合方法求出最优解。 与其它部分知识的联系，表现在： 二、目标和目标解析 本课时的目标是： 1．了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解 等相关概念． 了解线性规划模型的特征：一组决策变量 表示一个方案；约束条件是一次不等 式组；目标函数是线性的，求目标函数的最大值或最小值．熟悉线性约束条件（不等式组）
的几何表征是平面区域（可行域），体会可行域与可行解、可行域与最优解、可行解与最 优解的关系 2.掌捉实际优化向题建立线性规划模型并运用数形结合方法进行求解的基本思想和步 骤 会从实际优化问题中抽象、识别出线性规划模型。能理解目标函数的几何表征（一族 平行直线)·能依据目标函数的几何意义，运用数形结合方法求出最优解和线性目标函数 的最大（小）值，其基本步骤为建、画、移、求、答 3.培养学生数形结合的能力. 2 2 利用数形结合思想，把3看作斜率为3的平行直线系在y轴上的截距.平移直线 2=2x+3y,使其与y轴的交点最高，观察图象直线经过4,2)，得出最优解X=4, y=2 三、教学问题诊断分析 线性规划问题的难点表现在三个方面：一是将实际问题抽象为线性规划模型：二是线 性约束条件和线性目标函数的几何表征：三是线性规划最优解的探求。其中第一个难点通 过第1课时已基本克服：第二个难点线性约束条件的几何意义也在第2课时基本解决，本 节将继续巩固：第三个难点的解决必须在二元一次不等式（组）表示平面区域的基础上， 继续利用数形结合的思想方法把目标函数直观化、可视化，以图解的形式解决之
的几何表征是平面区域（可行域）．体会可行域与可行解、可行域与最优解、可行解与最 优解的关系． 2．掌握实际优化问题建立线性规划模型并运用数形结合方法进行求解的基本思想和步 骤． 会从实际优化问题中抽象、识别出线性规划模型．能理解目标函数的几何表征（一族 平行直线）．能依据目标函数的几何意义，运用数形结合方法求出最优解和线性目标函数 的最大（小）值，其基本步骤为建、画、移、求、答． 3．培养学生数形结合的能力． 对模型中 z 的最小值的求解，通过对式子 的变形，变为 ， 利用数形结合思想，把 看作斜率为 的平行直线系在 y 轴上的截距．平移直线 ，使其与 y 轴的交点最高，观察图象直线经过 M（4，2），得出最优解 x＝4， y＝2． 三、教学问题诊断分析 线性规划问题的难点表现在三个方面：一是将实际问题抽象为线性规划模型；二是线 性约束条件和线性目标函数的几何表征；三是线性规划最优解的探求．其中第一个难点通 过第 1 课时已基本克服；第二个难点线性约束条件的几何意义也在第 2 课时基本解决，本 节将继续巩固；第三个难点的解决必须在二元一次不等式（组）表示平面区域的基础上， 继续利用数形结合的思想方法把目标函数直观化、可视化，以图解的形式解决之．
将决策变量x,y以有序实数对(x,y)的形式反映，沟通问题与平面直角坐标系的联 系，一个有序实数对就是一个决策方案。借助线性目标函数的几何意义准确理解线性目标 函数在y轴上的截距与z的最值之间的关系：以数学语言表述运用数形结合得到求解线性 规划问题的过程。 ·可行解（含最优解）的几何表征 ·可行域（约束条件）的几何表征 ·目标函数的几何表征 四、学习行为分析 通过前两课时，学生对于物资调运问题、产品安排问题、下料问题等己初步学会了如 何分析实际应用问题，能根据实际数据假设变量，从中抽象出二元一次不等式（组）作为 约束条件：能联想其几何意义，用相应的平面区域行表示它们， 在巩固二元一次不等式（组）所表示的平面区域的基础上，使学生能从实际优化问题中抽 象出约束条件和目标函数：对于目标函数学生未必能一下子想到相应的直线系，教学中， 教师需引导学生把z看成常数，把z=2x+3y看成关于x,y的二元一次方程：然后引导学 生关注z与直线z=2x十3y的纵截距的关系，借助直线的截距概念，把较为复杂的线性规 划问题变成易于理解和易于操作的图形变换，直观地运用数形结合方法求出最优解和线性 目标函数的最大（小）值： 通过这种从点与数对的对应，线与方程的对应，到平面区域与不等式组的对应的过渡 和提升，使学生进一步理解数形结合思想方法的实质及其重要性 五、教学支持条件分析
将决策变量 x，y 以有序实数对（x，y）的形式反映，沟通问题与平面直角坐标系的联 系，一个有序实数对就是一个决策方案．借助线性目标函数的几何意义准确理解线性目标 函数在 y 轴上的截距与 z 的最值之间的关系；以数学语言表述运用数形结合得到求解线性 规划问题的过程。 ⚫ 可行解（含最优解）的几何表征 ⚫ 可行域（约束条件）的几何表征 ⚫ 目标函数的几何表征 四、学习行为分析 通过前两课时，学生对于物资调运问题、产品安排问题、下料问题等已初步学会了如 何分析实际应用问题，能根据实际数据假设变量，从中抽象出二元一次不等式（组）作为 约束条件；能联想其几何意义，用相应的平面区域行表示它们． 在巩固二元一次不等式（组）所表示的平面区域的基础上，使学生能从实际优化问题中抽 象出约束条件和目标函数；对于目标函数学生未必能一下子想到相应的直线系，教学中， 教师需引导学生把 z 看成常数，把 z＝2x＋3y 看成关于 x，y 的二元一次方程；然后引导学 生关注 z 与直线 z＝2x＋3y 的纵截距的关系，借助直线的截距概念，把较为复杂的线性规 划问题变成易于理解和易于操作的图形变换，直观地运用数形结合方法求出最优解和线性 目标函数的最大（小）值； 通过这种从点与数对的对应，线与方程的对应，到平面区域与不等式组的对应的过渡 和提升，使学生进一步理解数形结合思想方法的实质及其重要性． 五、教学支持条件分析
考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可借助计算机或图形计算器，从激励学生探 究入手，讲练结合，精准的直观演示能使教学更富趣味性和生动性 通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，调动多感官去体验数学建模、用模 的思想，让学生学会用“数形结合”思想方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系. 大、教学过程设计 1.问题引入 引例：某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品每生产一件甲产品使用4个A配 件，耗时1h:每生产一件乙产品使用4个A配件，耗时2h.已知该厂每天最多可从配件厂 获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？ 问题1：该厂生产什么？怎么生产？ 设计意图：引导学生读题，完成实际问题数学化的过程，承前一课时，使学生进一步 熟练如何从实际问题中抽象出不等式组（约束条件）并用平面区域表示. 设甲、乙两种产品每日分别生产y件，生产甲产品需满足4怀≤16，x∈W:生产乙 产品需满足4y≤12，)ye,生产时间需满足x+2y≤8，xe.yeN,从而得出二元一 次不等式组：
考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可借助计算机或图形计算器，从激励学生探 究入手，讲练结合，精准的直观演示能使教学更富趣味性和生动性． 通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，调动多感官去体验数学建模、用模 的思想，让学生学会用“数形结合”思想方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系． 六、教学过程设计 1．问题引入 引例：某工厂用 A、B 两种配件生产甲、乙两种产品．每生产一件甲产品使用 4 个 A 配 件，耗时 1h；每生产一件乙产品使用 4 个 A 配件，耗时 2h．已知该厂每天最多可从配件厂 获得 16 个 A 配件和 12 个 B 配件，按每天工作 8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？ 问题 1：该厂生产什么？怎么生产？ 设计意图：引导学生读题，完成实际问题数学化的过程．承前一课时，使学生进一步 熟练如何从实际问题中抽象出不等式组（约束条件）并用平面区域表示． 设甲、乙两种产品每日分别生产 x，y 件，生产甲产品需满足 ；生产乙 产品需满足 ；生产时间需满足 ，从而得出二元一 次不等式组：
「x+2ys8, 4x≤16， 4y212, xe N, 问题2：可能的日安排，什么意思？ 设计意图：让学生了解日生产方案的数学符号表示，不等式组(1)的整数解x,少的 实际意义，并顺势给出“可行解”、“可行域”概念。 教学中，可以结合几何画板，让学生“读出”可行解，即可行域中的18个整点： (0,0),(0,1),(0,2),(0,3): (1,0),(1,1),(1,2),(1,3): (2,0),(2,1),(2,2),(2,3): (3.0),(3.1),(3,2): (4,0),(4,1),(4,2)
（1） 问题 2：可能的日安排，什么意思？ 设计意图：让学生了解日生产方案的数学符号表示，不等式组（1）的整数解 的 实际意义，并顺势给出“可行解”、“可行域”概念． 教学中，可以结合几何画板，让学生“读出”可行解，即可行域中的 18 个整点： （0，0），（0，1），（0，2），（0，3）； （1，0），（1，1），（1，2），（1，3）； （2，0），（2，1），（2，2），（2，3）； （3，0），（3，1），（3，2）； （4，0），（4，1），（4，2）．
4x=16 对于边界附近的点，如(3,3)，(4,3，)，(4,4)是否可行域中，需引导学生 配合不等式x+2y≤8来判断，这将有助于学生手绘解决问题时的慎密思考。 问题3：若每生产一件甲产品获利2万元，每生产一件乙产品获利3万元，如何安排 生产利润最大？ 设计意图：通过添加最优化问愿转入对新知识的探究，使学生体会知识生成的自然和 线性规划模型的价值。 2.问题的深入 利润函数模型的建立.设生产利润为z(万元)，则2=2x十3y. 这是一个二元函数，甲、乙两种产品的数量共同影响生产利润，不是学生熟悉的问题 教学时，可引导学生分别求各种可能安排的利润（列举）：z=?
对于边界附近的点，如（3，3），（4，3，），（4，4）是否可行域中，需引导学生 配合不等式 来判断，这将有助于学生手绘解决问题时的慎密思考． 问题 3：若每生产一件甲产品获利 2 万元，每生产一件乙产品获利 3 万元，如何安排 生产利润最大？ 设计意图：通过添加最优化问题转入对新知识的探究，使学生体会知识生成的自然和 线性规划模型的价值． 2．问题的深入 利润函数模型的建立．设生产利润为 z（万元），则 z＝2x＋3y． 这是一个二元函数，甲、乙两种产品的数量共同影响生产利润，不是学生熟悉的问题． 教学时，可引导学生分别求各种可能安排的利润（列举）：z＝？ x y z=2x+3y
14 观察得到，当x=4,y=2时，z最大，z的最大值为14万元.引出最优化问题，顺势 给出“最优解”概念. 问题4：如何看待利润函数的解析式z=2x十3y? 设计意图：得出利润函数z=2x十3y后，学生多会与一元函数求最值的问题进行类比， 考虑定义域（这里是可行域）的作用，求最值的代数的或几何的方法。在学生活跃的思维 中，寻求数形结合思想方法应用的契机 由利润函数的解析式z=2x+3y,视z为常数，则z=2x+3y就是关于X,y的二元一 2 次方程，在平面直角坐标系中，方程么=2x+3y表示斜率为3，在y轴上的裁距为3的 组平行直线（直线2x+3列=0是其中的一个代表）. 由于z=2x+3y中的(x,y),来自于可行域，所以直线z=2x+3y与可行域有公共 点 可追问以下问题： 当直线=2x+3y经过可行域中的哪个（些）点时，z最大？ 当直线”一+ 经过可行域中的哪个（些）点时，3最大？
0 0 0 0 1 3 . . . 4 1 11 4 2 14 观察得到，当 x＝4，y＝2 时，z 最大，z 的最大值为 14 万元．引出最优化问题，顺势 给出“最优解”概念． 问题 4：如何看待利润函数的解析式 z＝2x＋3y? 设计意图：得出利润函数 z＝2x＋3y 后，学生多会与一元函数求最值的问题进行类比， 考虑定义域（这里是可行域）的作用，求最值的代数的或几何的方法．在学生活跃的思维 中，寻求数形结合思想方法应用的契机． 由利润函数的解析式 z＝2x＋3y，视 z 为常数，则 z＝2x＋3y 就是关于 x，y 的二元一 次方程，在平面直角坐标系中，方程 z＝2x＋3y 表示斜率为 ，在 y 轴上的截距为 的 一组平行直线（直线 是其中的一个代表）． 由于 z＝2x＋3y 中的（x，y），来自于可行域，所以直线 z＝2x＋3y 与可行域有公共 点． 可追问以下问题： 当直线 z＝2x＋3y 经过可行域中的哪个（些）点时，z 最大？ 当直线 经过可行域中的哪个（些）点时， 最大？
当直维线少3 3经过可行域中的哪个（些）点时，与y轴的交点最高？ 2 故求z的最大值，可转化为求3的最大值，而3是直线2=2x十3y在y轴上的截距， 0 只要看直线系2=2x+3y与y轴的交点 3)的最高即可. 从（一元）函数的观点来看，z是以直线z=2x+3y与y轴的交点的纵坐标为自变量 的（一元）函数. 由于y的系数为正，故z是直线的纵截距的增函数，即当直线的纵截距最大（与y轴 的交点最高)时，目标函数有最大值。（熟练之后，就不必化直线方程为斜截式了！） 问题5：怎样求解线性规划问题？ 设计意图：通过这个具体例子，让学生梳理问题解决的思路，归纳最优化问思的求解 思路： 第1步：依题意，列出不等式组 x+2y≤8， 4x≤16. 4y≥12 xEN y E N
当直线 经过可行域中的哪个（些）点时，与 y 轴的交点最高？ 故求 z 的最大值，可转化为求 的最大值，而 是直线 z＝2x＋3y 在 y 轴上的截距， 只要看直线系 z＝2x＋3y 与 y 轴的交点 的最高即可． 从（一元）函数的观点来看，z 是以直线 z＝2x＋3y 与 y 轴的交点的纵坐标为自变量 的（一元）函数． 由于 y 的系数为正，故 z 是直线的纵截距的增函数，即当直线的纵截距最大（与 y 轴 的交点最高）时，目标函数有最大值．（熟练之后，就不必化直线方程为斜截式了！） 问题 5：怎样求解线性规划问题？ 设计意图：通过这个具体例子，让学生梳理问题解决的思路，归纳最优化问题的求解 思路： 第 1 步：依题意，列出不等式组
第2步：画出可行域（实际上也就找到了可行解）， 第3步：依题意，求出目标函数 z=2x+3y 第4步：作出目标函数所表示的某条直线（通常选作过原点的直线），平移此直线并 观察此直线经过可行域的哪个（些）点时，函数有最大（小）值 第5步：求（写）出最优解和相应的最大（小）值. x=4, 由x+2y=8,解得点M的坐标(4,2》. 当x=4,y=2时，z最大，z=2X4+3×2=14(万元)， 教师可作以下示范解答 解：设.，依题意，得不等式组： 「x+2y≤8， 4x≤16 4y212. x e N. 作平面区域（如图）
第 2 步：画出可行域（实际上也就找到了可行解）． 第 3 步：依题意，求出目标函数 第 4 步：作出目标函数所表示的某条直线（通常选作过原点的直线），平移此直线并 观察此直线经过可行域的哪个（些）点时，函数有最大（小）值． 第 5 步：求（写）出最优解和相应的最大（小）值． 由 解得点 M 的坐标（4，2）． 当 x＝4，y＝2 时，z 最大，zmax＝2×4＋3×2＝14（万元）． 教师可作以下示范解答 解：设.，依题意，得不等式组： 作平面区域（如图）
设.，依题意，得目标函数z=2x+3y。 作直线2x+3y=0,平移之，经过点M时，z最大. 由x=4,x+2y=8得点M的坐标(4,2) 因此，当x=4,y=2时，z最大，2=2×4+3×2=14（万元）。 3.线性规划概念组 问题6：什么是线性规划问题？ 设计意图：在学生已经获得感性认识的基础上，给出线性规划的相关概念 在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值的问题，称为线性规划问 题。线性规划问题的模型由目标函数和可行域组成，其中可行域是可行解的集合，可行解 是满足约束条件的解。使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。 结合本例，让学生思考最优解、可行解、可行域有怎样的关系？
设.，依题意，得目标函数 z＝2x＋3y． 作直线 2x＋3y＝0，平移之，经过点 M 时，z 最大． 由 x＝4，x＋2y＝8 得点 M 的坐标（4，2）． 因此，当 x＝4，y＝2 时，z 最大，zmax＝2×4＋3×2＝14（万元）． 3．线性规划概念组 问题 6：什么是线性规划问题？ 设计意图：在学生已经获得感性认识的基础上，给出线性规划的相关概念． 在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值的问题，称为线性规划问 题．线性规划问题的模型由目标函数和可行域组成，其中可行域是可行解的集合，可行解 是满足约束条件的解．使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解． 结合本例，让学生思考最优解、可行解、可行域有怎样的关系？