用几何图形巧解向量问题 北京市垂杨柳中学刘占峰 一、教材分析 1.教材地位与作用 本节是在复习完必修4第2章平面向量的概念、运算、坐标及应用整章知识后的一堂 专题研讨课。教材一直坚持从数和形两个方面建构和研究向量，如向量的几何表示，三角 形，平行四边行法则让向量具备形的特征，而向量的坐标表示，和坐标运算又让向量具备 数的特征.所以我们在研究向量问题或用向量解决问题时，应具备数形结合思想.本节课 让学生感受到数形结合在解题中的魅力，体会向量的工具性，因此本节课既是对前面所学 的向量知识的巩固也为以后学生运用向量来解决数学问题莫定了基础，起到了承上启下的 作用 2.教材处理 由于向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供可能，通常学生在处理向量 问题时多选择数而忽略形.为了提高学生的综合解题能力，因此在复习完本章（向量）基本 知识后，结合我校文科学生实际，特增加了本节课，目的是为学生提供一个借助几何图形处 理向量问题的思考方向，逐步培养学生形成数形结合的思想. 二、敦学目标 根据上面对教材的分析，依据教学大纲的要求和新课程的教学理念并结合学生的认知 水平和思维特点，确定本节课的教学目标： 知识目标：能根据向量的线性运算及相关条件构造恰当的几何图形，解决向量有关问 题. 情感目标：感受到数形结合在解题中的魅力，体会向量的工具性。 能力目标：提高运用数形结合思想、转化思想解决问题的能力 三、教学重点和难点 根据本节课的作用制定了教学重点是：通过平面几何图形性质与向量运算法则的有机 结合，构造恰当的几何图形解决向量问题：渗透数形结合思想，转化思想：提高学生的构 造能力和对所学知识的整合能力
用几何图形巧解向量问题 北京市垂杨柳中学 刘占峰 一、教材分析 1．教材地位与作用 本节是在复习完必修 4 第 2 章平面向量的概念、运算、坐标及应用整章知识后的一堂 专题研讨课．教材一直坚持从数和形两个方面建构和研究向量．如向量的几何表示，三角 形，平行四边行法则让向量具备形的特征，而向量的坐标表示，和坐标运算又让向量具备 数的特征．所以我们在研究向量问题或用向量解决问题时，应具备数形结合思想．本节课 让学生感受到数形结合在解题中的魅力，体会向量的工具性，因此本节课既是对前面所学 的向量知识的巩固也为以后学生运用向量来解决数学问题奠定了基础，起到了承上启下的 作用． 2．教材处理 由于向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供可能，通常学生在处理向量 问题时多选择数而忽略形．为了提高学生的综合解题能力,因此在复习完本章（向量）基本 知识后，结合我校文科学生实际,特增加了本节课，目的是为学生提供一个借助几何图形处 理向量问题的思考方向，逐步培养学生形成数形结合的思想． 二、教学目标 根据上面对教材的分析，依据教学大纲的要求和新课程的教学理念并结合学生的认知 水平和思维特点，确定本节课的教学目标： 知识目标：能根据向量的线性运算及相关条件构造恰当的几何图形，解决向量有关问 题． 情感目标：感受到数形结合在解题中的魅力，体会向量的工具性． 能力目标：提高运用数形结合思想、转化思想解决问题的能力． 三、教学重点和难点 根据本节课的作用制定了教学重点是：通过平面几何图形性质与向量运算法则的有机 结合，构造恰当的几何图形解决向量问题；渗透数形结合思想，转化思想；提高学生的构 造能力和对所学知识的整合能力．
根据学生的实际情况制定了教学难点是：如何构造恰当的几何图形. 四、教学手段和主要教学方法及学法 教学方法：采用引导对比法、启发式探索讨论相结合的教学方法. 教学手段：运用学案、借助几何画板和实物投影来辅助教学. 通过探究、启发、引导学生对于用数的方法和形的方法来解向量问题形成对比，体会 到用形的好处，培养用图的意识：采用启发式讲解、互动式讨论及操作的授课方式，培养 学生的分析与解决问题的能力：借助几何画板、实物投影的辅助教学，达到增加课堂容量、 提高课堂效率的目的，营造生动活泼的课堂教学氛围. 学情分析：我任教的两个文科班学生的学习愿望强烈、学习习惯较好，但是理解能力， 空间想象能力，思维能力等方面良莠不齐 解决措施：根据学生的不足和本节课的难点，设置了用几何图形对向量六个基本关系 的描述，更通过试一试来搭台阶及能力提高的环节使学生学会对所学的基本知识的迁移和 整合. 五、敦学过程 1.探究引入 探究：(05年北家)若a1,16非2，c=云+5且1云，求a手的夹角 设计意图：这道北京高考题既可以用数的方法求解，也可用形的方法求解，通过比较 两种解法的优劣让学生感受数形结合的简捷美。更通过此题引出本节课的课题《用几何图 形巧解向量问题》 已知：平面内任意两个非零的不共线向量云、6，用几何图形描述下列运算关系。 (1)E=立+5： (2)=a-6 (3)a+6+2=0
根据学生的实际情况制定了教学难点是：如何构造恰当的几何图形． 四、教学手段和主要教学方法及学法 教学方法：采用引导对比法、启发式探索讨论相结合的教学方法． 教学手段：运用学案、借助几何画板和实物投影来辅助教学． 通过探究、启发、引导学生对于用数的方法和形的方法来解向量问题形成对比，体会 到用形的好处，培养用图的意识；采用启发式讲解、互动式讨论及操作的授课方式，培养 学生的分析与解决问题的能力；借助几何画板、实物投影的辅助教学，达到增加课堂容量、 提高课堂效率的目的，营造生动活泼的课堂教学氛围． 学情分析：我任教的两个文科班学生的学习愿望强烈、学习习惯较好，但是理解能力， 空间想象能力，思维能力等方面良莠不齐． 解决措施： 根据学生的不足和本节课的难点，设置了用几何图形对向量六个基本关系 的描述，更通过试一试来搭台阶及能力提高的环节使学生学会对所学的基本知识的迁移和 整合． 五、教学过程 1．探究引入 探究：（05 年北京）若 ， ， 且 ，求 与 的夹角． 设计意图：这道北京高考题既可以用数的方法求解，也可用形的方法求解．通过比较 两种解法的优劣让学生感受数形结合的简捷美．更通过此题引出本节课的课题《用几何图 形巧解向量问题》 已知：平面内任意两个非零的不共线向量 、 ，用几何图形描述下列运算关系． （1） ； （2） ； （3） ；
(4)(后-1B, （5)+6日a-B1:(6)(位+D⊥(a- 设计意图：学生用数形结合解决向量问题，最大的困难在于如何根据提议挖据隐含条 件构建恰当的几何图形，因此设计了这六个基本运算关系的向量表示，帮助学生在此基础 上提高构图的能力，从而达到突破教学难点的目的.另外这六个题让学生从具体实例中发 现结论。符合学生认知规律，并在结论的发现过程中培养学生的思维能力。 2。讲练结合 试一试： 1)已知非零向量立、6,1aH6H石-5非2，则la+5非 与5的夹角为 (2)若非零向最云、6满足a-6H叫，则() A.125pa-25B.1251a-251c12a2a-a1D12a112a-1 (3)已知向量a与6的夹角为3,1a非2,1非1.则a+5a-5F （4)设在、6、在满足云+5+=0，（位-6=0，a15,1a非1，则 1a2+|62+2= 设计意图：这四个题是对前面所介绍的六个图形的迁移与整合，培养学生的构图意识， 提高学生的构图能力：处理方式采用学生相互协作在学案上完成构图，并用实物投影演示， 教师点评，培养学生动手操作能力和合作，探究意识。也为下面的能力提高作铺垫。 能力提高
（4） ； （5） ； （6） ． 设计意图：学生用数形结合解决向量问题，最大的困难在于如何根据提议挖掘隐含条 件构建恰当的几何图形，因此设计了这六个基本运算关系的向量表示，帮助学生在此基础 上提高构图的能力，从而达到突破教学难点的目的．另外这六个题让学生从具体实例中发 现结论．符合学生认知规律，并在结论的发现过程中培养学生的思维能力． 2．讲练结合 试一试： （1）已知非零向量 、 ， ，则 _， 与 的夹角为_． （2）若非零向量 、 满足 ，则( ) A . B. C . D . （ 3 ） 已知 向 量 与 的夹角为 ， ， ， 则 _． （ 4 ） 设 、 、 满 足 , , , ， 则 _． 设计意图：这四个题是对前面所介绍的六个图形的迁移与整合，培养学生的构图意识， 提高学生的构图能力；处理方式采用学生相互协作在学案上完成构图，并用实物投影演示， 教师点评，培养学生动手操作能力和合作，探究意识．也为下面的能力提高作铺垫． 能力提高
(1)若在、石都是单位向量，则石-|的取值范围是 （2)已知向量i=cos8m,5=65,-0,则求2石-的最大值。 变式：若i=cosa,m,6=(cos8m月，则3石-46|的最大值为 (3)(205浙江已知向量a≠，E上1，对任意4eR,恒有石-证A石-列， A.a1日B.iLa-)c.E上(i-司D.位+0)1a- 设计意图：此组愿既能从数的角度解之，也能从形的角度解之，从数的角度能达到复 习向量基础知识、基本方法的目的，但运算量较大，从形的角度达到复习向量几何运算和 培养学生构图能力的目的，让学生感受数形结合方法的简捷，激发学生的学习热情。更通 过试一试和能力提高达到了突出重点的目的. 3.巩固检测 0D已知向量=(os75,m75r3=eos15,m15）,求-的值 2)求与向量=(5-和3=6同)夹角相等，且模为巨的向量的坐标 设计意图：通过几分钟的检测再现本节课的重难点，以此来反馈学生对本节课的掌握 情况。 4.小结 通过数形结合研究向量问题： (1)要关注向量的大小（模）
（１）若 、 都是单位向量，则 的取值范围是_． （２）已知向量 ， ，则求 的最大值． 变 式 ： 若 ， ， 则 的最大值为 _． （3）(2005 浙江)已知向量 ， ，对任意 ，恒有 ， 则（ ）． A． B． C． D． 设计意图：此组题既能从数的角度解之，也能从形的角度解之．从数的角度能达到复 习向量基础知识、基本方法的目的，但运算量较大，从形的角度达到复习向量几何运算和 培养学生构图能力的目的，让学生感受数形结合方法的简捷，激发学生的学习热情．更通 过试一试和能力提高达到了突出重点的目的． 3．巩固检测 （1）已知向量 ，求 的值 （2）求与向量 和 夹角相等，且模为 的向量 的坐标． 设计意图：通过几分钟的检测再现本节课的重难点，以此来反馈学生对本节课的掌握 情况． 4 ．小结 通过数形结合研究向量问题： （1）要关注向量的大小（模）
(2)要关注向量的方向（夹角） (3)要关注自由向量的可平移性 (4)构造几何图形解决问题是手段。 启发、引导学生归纳总结，一方面了解学生对本堂课的接受情况，另一方面培养学生 的归纳总结能力.使知识系统化，条理化。 5.作业 ◆必做题： ()已知H5非5，向量a与5的夹角为3，则a+5 (2)设向量云、6、满足a+5+=0,且a15,|a非1,16非2则P= (3)已知云是平面内的单位向量，若向量5满足5（位-6）=0，则5的取值范围， (4)设非零向量云、6、8满足aH5H,百+6=亡，则云与5的夹角为 ◆选做题： 《5)O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足 0-O4+ AB AC ∈[0，+oo) 则点P的轨迹一定通过△A8C的(） A.外心B.内心C.重心D.垂心
（2）要关注向量的方向（夹角）． （3）要关注自由向量的可平移性． （4）构造几何图形解决问题是手段． 启发、引导学生归纳总结，一方面了解学生对本堂课的接受情况，另一方面培养学生 的归纳总结能力．使知识系统化，条理化． 5．作业 ◆ 必做题： （1）已知 ，向量 与 的夹角为 ，则 _． （2）设向量 、 、 满足 ，且 ， ， 则 _． （3）已知 是平面内的单位向量，若向量 满足 ，则 的取值范围． （4）设非零向量 、 、 满足 ， ，则 与 的夹角为 _． ◆ 选做题： （5） 是平面 上一定点 ， 是平面上不 共线的三 个点， 动点 满足 ，则点 的轨迹一定通过 的（ ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
◆思考题： (6)你能用向量形式给出点0是△45C的四心（即垂心，重心，内心，外心）的条 件吗 设计意图：通过作业中的分层变式训练，巩固所学概念，发现和弥补教与学中的遗漏 和不足，强化基础技能训练，提高分析问题、解决问题能力，通过分层满足不同层次学生 需要，符合因材施教原则。从而达到培养学生养成“题后思考”的习惯和提高数学能力的 效果. 六、板书设计 用几何图形巧解响分向题 探究 六个基本运算关系的向量表示 二、 讲练结合 试一试 能力提高 三、小结
◆ 思考题： （6）你能用向量形式给出点 O 是 的四心（即垂心，重心，内心，外心）的条 件吗？ 设计意图：通过作业中的分层变式训练，巩固所学概念，发现和弥补教与学中的遗漏 和不足，强化基础技能训练，提高分析问题、解决问题能力，通过分层满足不同层次学生 需要，符合因材施教原则．从而达到培养学生养成“题后思考”的习惯和提高数学能力的 效果． 六、板书设计