当前位置：人教网2010>高中数学>》教师中心>同步教学资源>课程标准实验教材>教学设计>》必修3 离散型随机变量的期望说案 福建师大附中数学组李沪君 一、教材分析 教材的地位和作用 期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学 习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫。同时，它在市场预测，经济统计，风险与决策 等领域有者广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响。 敦学里点与难点 重点：离散型随机变量期望的概念及其实际含义。 难点：离散型随机变量期望的实际应用。 [理论依据]本课是一节概念新授课，而概念本身具有一定的抽象性，学生难以理解， 因此把对离散性随机变量期望的概念的教学作为本节课的教学重点。此外，学生初次应用 概念解决实际问题也较为困难，故把其作为本节课的教学难点。 二、敕学目标 [知识与技能目标] 通过实例，让学生理解离散型随机变量期望的概念，了解其实际含义。 会计算简单的离散型随机变量的期望，并解决一些实际问愿。 [过程与方法目标] 经历概念的建构这一过程，让学生进一步体会从特殊到一般的思想，培养学生归纳 概括等合情推理能力。 通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问愿的能力和学以致用的数学应用 意识。 [情感与态度目标]
当前位置：人教网 2010>>高中数学>>教师中心>>同步教学资源>>课程标准实验教材>>教学设计>>必修 3 离散型随机变量的期望说案 福建师大附中数学组 李沪君 一、教材分析 教材的地位和作用 期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学 习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫。同时，它在市场预测，经济统计，风险与决策 等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响。 教学重点与难点 重点：离散型随机变量期望的概念及其实际含义。 难点：离散型随机变量期望的实际应用。 [理论依据]本课是一节概念新授课，而概念本身具有一定的抽象性，学生难以理解， 因此把对离散性随机变量期望的概念的教学作为本节课的教学重点。此外，学生初次应用 概念解决实际问题也较为困难，故把其作为本节课的教学难点。 二、教学目标 [知识与技能目标] 通过实例，让学生理解离散型随机变量期望的概念，了解其实际含义。 会计算简单的离散型随机变量的期望，并解决一些实际问题。 [过程与方法目标] 经历概念的建构这一过程，让学生进一步体会从特殊到一般的思想，培养学生归纳、 概括等合情推理能力。 通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的数学应用 意识。 [情感与态度目标]
通过创设情境激发学生学习数学的情感，培养其严谨治学的态度。在学生分析问题 解决问题的过程中培养其积极探索的精神，从而实现自我的价值。 三、教法选择 引导发现法 四、学法指导 “授之以鱼，不如授之以渔”，注重发挥学生的主体性，让学生在学习中学会怎样发 现问题、分析问题、解决问题。 五、教学的基本流程设计 情境屋（引入新 实例库（建构概念、理解 相艇念】 沉思阁（里后探 点金帚（归纳总结） 快乐套餐（实际应 究)(0.5分钟) (2.5分钟) 用)(21分钟) 六、教学过程 教学内容 设计意图 [情境一] 某商场要将单价分别为18元g,24元%，36元 设 的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，其中混合糖果中 情境一]和[情境 每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？ 二]中的问题所涉及 的是生活中常见的 种商业现象 [情境二] 题的 化可激 的兴 若此商场经理打算在国庆节那天在商场外举行促 同样 引销活动，如果不遇到雨天可获得经济效益10万元，如果遇 到雨天则要损失4万元，据9月30日气象台预报国庆节那 天有雨的概率是40%，则此商场平均可获得经济效益多少 边的数学。 元？
通过创设情境激发学生学习数学的情感，培养其严谨治学的态度。在学生分析问题、 解决问题的过程中培养其积极探索的精神，从而实现自我的价值。 三、教法选择 引导发现法 四、学法指导 “授之以鱼，不如授之以渔”，注重发挥学生的主体性，让学生在学习中学会怎样发 现问题、分析问题、解决问题。 五、教学的基本流程设计 六、教学过程 教学内容 设计意图 创 设 情 境 引 入 [情境一] 某商场要将单价分别为 18 ，24 ，36 的 3 种糖果按 3：2：1 的比例混合销售，其中混合糖果中 每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？ [情境二] 若此商场经理打算在国庆节那天在商场外举行促 销活动，如果不遇到雨天可获得经济效益 10 万元，如果遇 到雨天则要损失 4 万元，据 9 月 30 日气象台预报国庆节那 天有雨的概率是 40%，则此商场平均可获得经济效益多少 元？ [情境一]和[情境 二]中的问题所涉及 的是生活中常见的 一种商业现象，问 题的生活化可激发 学生的兴趣和求知 欲望，同样这样的 问题也影响学生的 思维方式，学会用 数学的视野关注身 边的数学
学生在未学习期望的概念之前解法可能如下： [情境一]解答： 根据混合糖果中3种糖果的比例可知在1kg的混合糖果 中，3种糖果的质量分别是2kg,3kg和6kg,则混合糖 1 1 果的合理价格应该是18x2+24×5+36×后-23（元名g) [情境二]解答： 商场平均可获经济效益为10×0.6-4×0.4仁4.4（万元） 这两个问题的解决 将为归纳出期望的 定义作铺垫。 为了将两个式子中的数字与随机变量5的取值及其概 率建立关系，归纳出期望的定义。 构接着引导学生分析[情境一] :混合糖果中每颗糖果的质量都相等 在混合航果中任取一村频果，它的单价为粉名。 1 念这颗糖果的价格，则每千克混合糖果的合理价格表示为 18×P(5=18)+24P(5=24)+36xP(5=36) 分析[情境二]得 商场平均可获经济效益为10×P(5=10)+(-4)×P(写 =-4)
新 课 建 构 概 念 学生在未学习期望的概念之前解法可能如下： [情境一]解答： 根据混合糖果中 3 种糖果的比例可知在 1kg 的混合糖果 中，3 种糖果的质量分别是 kg， kg 和 kg，则混合糖 果的合理价格应该是 18× +24× +36× =23（ ） [情境二]解答： 商场平均可获经济效益为 10×0.6-4×0.4=4.4(万元) 为了将两个式子中的数字与随机变量 的取值及其概 率建立关系，归纳出期望的定义。 接着引导学生分析[情境一] ∵混合糖果中每颗糖果的质量都相等 ∴在混合糖果中任取一粒糖果，它的单价为 18 ， 24 或 36 的概率分别为 ， 和 ，若用 表示 这颗糖果的价格，则每千克混合糖果的合理价格表示为 18×P（ =18）+24×P（ =24）+36×P（ =36） 分析[情境二]得 商场平均可获经济效益为 10×P（ =10）+（-4）×P（ =-4） 这两个问题的解决 将为归纳出期望的 定义作铺垫
比较两式、归纳定义 般地，若离散型随机变量与的概率分布为 x. D. D 细心的党生△发 以上两式从形式上 具有某种相似性， 通过比较，归纳出 离散型随机变量期 望的定义。 则称85=方”乃+为“++x·+ 为的数学期望或均值，数学期望又简称为期望。 纳法种面的 认识升华到理性认 接装学生从特 殊到一般的认知方 用文字语言描述抽象的数学公式 E5=为1.h+x2.P2++Xa.P+ 加深公式记忆 即：离散型随机变量的数学期望即为随机变量取值与相应 概率分别相乘后相加。 弄清数学概念、理 解数学概念是学生 学好数学的基础和 前提，为了加深学 生对概念的理解 设置以下4道练 练习1：离散型随机变量5的概率分布 习。 51100 p0.010.99
比较两式、归纳定义 一般地,若离散型随机变量 的概率分布为 . . . . 则称 为 的数学期望或均值,数学期望又简称为期望。 细心的学生会发现 以上两式从形式上 具有某种相似性， 通过比较，归纳出 离散型随机变量期 望的定义。 归纳是一种重要的 推理方法，由具体 结论归纳概括出定 义能使学生的感性 认识升华到理性认 识，培养学生从特 殊到一般的认知方 法。 用文字语言描述抽象的数学公式 E = · + · +.+ · +. 即：离散型随机变量的数学期望即为随机变量取值与相应 概率分别相乘后相加。 加深公式记忆 练习 1：离散型随机变量 的概率分布 1 100 P 0.01 0.99 弄清数学概念、理 解数学概念是学生 学好数学的基础和 前提，为了加深学 生对概念的理解， 设置以下 4 道练 习。 其中练习 1 是为了 让学生进一步理解
期望是反映随机变 量在随机试验中取 值的平均值，它是 ① 求可能取值的算术平均数。 概率意义下的平均 值，不同于相应数 值的算术平均数。 ② 求与的期望。 理 案，进而通过对 比，发现以下两个 结论 解答如下 ①、随机变量5相 1+100 =50.5 应数值的算术平均 ①、专可能取值的算术平均数为2 数并不能真正体现 ②、E5-1×0.01+100×0.99=99.01 5取值1的概率大 得多。 ②、随机变量取值 的算术平均数即为 P(E=1)=P(5=1 时的期望。 练习2与结论②相 统一，更进一步说 随机变量5的期望 与相应数值的算术 平均数相等。 练习2：随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数5的期望 这两道练习都是为
理 解 概 念 ① 求 可能取值的算术平均数。 ② 求 的期望。 解答如下 ①、 可能取值的算术平均数为 ②、E =1×0.01+100×0.99=99.01 练习 2：随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数 的期望。 期望是反映随机变 量在随机试验中取 值的平均值，它是 概率意义下的平均 值，不同于相应数 值的算术平均数。 所设置的两个问题 将学生的注意力转 而集中到对解题过 程的分析，求得答 案，进而通过对 比，发现以下两个 结论 ①、随机变量 相 应数值的算术平均 数并不能真正体现 的期望。因为 取值 100 的概率比 取值 1 的概率大 得多。 ②、随机变量取值 的算术平均数即为 时的期望。 练习 2 与结论②相 统一，更进一步说 明 取不同数值时 的概率都相等时， 随机变量 的期望 与相应数值的算术 平均数相等。 这两道练习都是为
结论： 了进一步理解期望 的含义。 若P5=)=P5=5)==P5=x) 1 1 则E5=名1×n+x2×n++x#×阿 1十2十.十x朝 练习3：篮球运动员在比赛中每次罚球中得1分，罚不中得 0分。已知某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他 罚球1次的得分5的均值是多少？ 当学生求得E5=0.7后， 提出问题：均值为0.7分的含义是什么？ (让学生理解所求得的E50.7即为罚球1次平均得0.7 分.我们也说他只能期望得0.7分.) 练习4：甲、乙两名射手一次射击中的得分为两个相互独立 的随机变量5与7，且5，刀的分布列为 P0.30.10.6 7123 P0.30.40.3 两人的技术情况如何？请解释你所得结论的实际含义？
结论： 若 则 E = × + × +.+ × = 练习 3：篮球运动员在比赛中每次罚球中得 1 分，罚不中得 0 分。已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，那么他 罚球 1 次的得分 的均值是多少？ 当学生求得 E =0.7 后， 提出问题：均值为 0.7 分的含义是什么？ （让学生理解所求得的 E =0.7 即为罚球 1 次平均得 0.7 分.我们也说他只能期望得 0.7 分.） 练习 4:甲、乙两名射手一次射击中的得分为两个相互独立 的随机变量 与 ,且 ， 的分布列为 1 2 3 P 0.3 0.1 0.6 1 2 3 P 0.3 0.4 0.3 两人的技术情况如何? 请解释你所得结论的实际含义? 了进一步理解期望 的含义
注意事项 ① 区别5与E5 随机变量是可变的，可取不同的值 而期望E5是不变的，由5的分布列唯一确定，所以称之 为概率分布的数学期望，它反映了5取值的平均水平。 ②、 区别随即机变量的期望与相应数值的算术平均数。 期望表示随机变量在随机试验中取值的平均值 它是概 率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数 例1：有一批数量很大的产品，其次品率是15%。对这批 的A 产品进行抽查，每次抽出1件，如果抽出次品，则抽查 终止，否则继续抽查，直到抽到次品，但抽查次数最多 学在生活及 不超过10次。求抽查次数5的期望。 各个领域中的广泛 应用。 教师强调： 一般地，在产品抽查中已说明产品数量很大 时，各次抽查结果可以认为是相互独立的。 解题中注意：取1一10的整数，前k1次取到正品 ,而 第k次取到次品的概率是P(5=k)=0.851×0.15 (k=1,2,3,.,9) p(5=10)=0859×1 解完此例题后归纳求离散型随机变量期望的步骤： 确定离散型随机变量5的取值。 ②、 写出分布列，并检查分布列的正确与否
注意事项 ①、 区别 与 E 随机变量 是可变的，可取不同的值。 而期望 E 是不变的，由 的分布列唯一确定，所以称之 为概率分布的数学期望，它反映了 取值的平均水平。 ②、 区别随即机变量的期望与相应数值的算术平均数。 期望表示随机变量在随机试验中取值的平均值，它是概 率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数。 例 1：有一批数量很大的产品，其次品率是 15℅ 。对这批 产品进行抽查，每次抽出 1 件，如果抽出次品，则抽查 终止，否则继续抽查，直到抽到次品，但抽查次数最多 不超过 10 次。求抽查次数 的期望。 教师强调：一般地，在产品抽查中已说明产品数量很大 时，各次抽查结果可以认为是相互独立的。 解题中注意： 取 1～10 的整数，前 k-1 次取到正品，而 第 k 次取到次品的概率是 P（ =k）= （k=1，2，3，.,9） P（ =10）= 解完此例题后归纳求离散型随机变量期望的步骤： ①、 确定离散型随机变量 的取值。 ②、 写出分布列，并检查分布列的正确与否。 生活中蕴涵数学知 识,数学知识又能解 决生活中的问题。 两道例题与生活密 切联系,让学生感受 数学在生活及社会 各个领域中的广泛 应用
③、求出期望。 例2：目前由于各种原因，许多人选择租车代步，租车行业 生意十分兴隆，但由于租车者以新手居多，车辆受损事 故频频发生。据统计，一年中一辆车受损的概率为 0.03。现保险公司拟开设一年期租车保险，一辆车一年的 保费为1000元，若在一年内该车受损，则保险公司需赔偿 3000元。 ① 年内，一辆车保险公司平均收益 多少？ ②一辆车一年的保险费为1000元，若在一年内该车受 损，则保险公 年中一辆车受损 为0.03， 定为多少元， 保险公司才不亏 本 ③若一辆车一年的保险为机元，若在一年内该车受 损，则保险公司需赔偿”元，一年中一辆车受损的概率 际 为P,则m,”,，P应满足什么关系，保险公司方可 盈利。 相对问题3，将具体 问题数字化。 解法一： 每辆车每年保险公司平均获利保险费一赔偿费 应 当平均获利>0时保险公司方可盈利。 故->0 即P时方可盈利。 解法二： 用 设5表示盈利数，则随机变量5的分布列为 5 P1-pP 强0tmpp0 即 P时
实 际 应 用 ③、求出期望。 例 2：目前由于各种原因，许多人选择租车代步，租车行业 生意十分兴隆，但由于租车者以新手居多，车辆受损事 故频频发生。据统计，一年中一辆车受损的概率为 0.03。现保险公司拟开设一年期租车保险,一辆车一年的 保费为 1000 元,若在一年内该车受损,则保险公司需赔偿 3000 元。 ① 一年内，一辆车保险公司平均收益 多少？ ② 一辆车一年的保险费为 1000 元，若在一年内该车受 损,则保险公司需赔偿 元，一年中一辆车受损的概率 为 0.03，则赔偿金 至少定为多少元，保险公司才不亏 本? ③ 若一辆车一年的保险费为 元，若在一年内该车受 损,则保险公司需赔偿 元，一年中一辆车受损的概率 为 ，则 , ， 应满足什么关系，保险公司方可 盈利。 解法一： 每辆车每年保险公司平均获利=保险费-赔偿费 当平均获利＞0 时保险公司方可盈利。 故 即 时方可盈利。 解法二： 设 表示盈利数，则随机变量 的分布列为 ∴E = = 即 时 方可盈利。 相对问题 3，将具体 问题数字化
解 紧扣 解决实际问题。 归你有哪些收获？ 小结除了注重知 识，环注重引导学 纳 生对解题思路和方 法的总结，可切实 一个概念，两个注意，三个步骤。 提高学生分析问 解决问题的能 结 并让学生养成 良好的学习数学的 让学生知道理解概念是关键，掌握公式是前提，实际应用 方法和习惯。 是深化 作 基础题、课后探究题 七、评价分析 1、评价学生学习过程 本节课在情境创设，例题设置中注重与实际生活联系，让学生体会数学的应用价值， 在教学中注意观察学生是否置身于数学学习活动中，是否精神饱满、兴趣浓厚、探究积极 并愿意与老师、同伴交流自己的想法。 2、评价学生的基础知识、基本技能和发现问题、解决问题的能力 教学中通过学生回答问题，学生举例，归纳总结等方面反馈学生对知识的理解、运用 教师根据反馈信息适时点拨，同时从新课标评价理念出发，鼓励学生发表自己的观点、充 分质疑，并抓住学生在语言、思想等方面的的亮点给予表扬，树立自信心，帮助他们积极 向上
解法二回归概念本 质，紧扣应用概念 解决实际问题。 归 纳 总 结 你有哪些收获？ 一个概念，两个注意，三个步骤。 让学生知道理解概念是关键，掌握公式是前提，实际应用 是深化。 小结除了注重知 识，还注重引导学 生对解题思路和方 法的总结，可切实 提高学生分析问 题、解决问题的能 力，并让学生养成 良好的学习数学的 方法和习惯。 作 业 基础题、课后探究题 七、评价分析 1、评价学生学习过程 本节课在情境创设，例题设置中注重与实际生活联系，让学生体会数学的应用价值， 在教学中注意观察学生是否置身于数学学习活动中，是否精神饱满、兴趣浓厚、探究积极， 并愿意与老师、同伴交流自己的想法。 2、评价学生的基础知识、基本技能和发现问题、解决问题的能力 教学中通过学生回答问题，学生举例，归纳总结等方面反馈学生对知识的理解、运用， 教师根据反馈信息适时点拨，同时从新课标评价理念出发，鼓励学生发表自己的观点、充 分质疑，并抓住学生在语言、思想等方面的的亮点给予表扬，树立自信心，帮助他们积极 向上
教学设计“说明” 本节的教学有如下特点： (1)、注重情境创设，联系生活实际，关注身边数学。 (2)、期望概念的教学是本节课的重点，本节突出概念的建构，通过实例，引导学生 分析，并归纳出定义：通过练习，层层递进，加深学生对概念的理解，帮助学生把握概念 的本质特征，使学生的思维活起米：通过例题分析，让学生体会学习期望的意义。本节课 以现实问题引入，以生活中的实例结束，让学生认识到数学源于生活，又应用于生活，生 活中处处有数学
教学设计“说明” 本节的教学有如下特点： （1）、注重情境创设，联系生活实际，关注身边数学。 （2）、期望概念的教学是本节课的重点，本节突出概念的建构，通过实例，引导学生 分析，并归纳出定义；通过练习，层层递进，加深学生对概念的理解，帮助学生把握概念 的本质特征，使学生的思维活起来；通过例题分析，让学生体会学习期望的意义。本节课 以现实问题引入，以生活中的实例结束，让学生认识到数学源于生活，又应用于生活，生 活中处处有数学