三角函数的诱导公式（一）教学设计 贵州省六盘水市第一实验中学林文忠 课题 三角函数的诱导公式 理论依据或意 项目 内容 图 “三角函数的诱导公式”是普通高中课程标准实验教科书 人教A版必修4第一章第三节，其主要内容是三角函数的 诱导公式中的公式二至公式六。它是圆的对称性的“代数 表示”。利用对称性，探究角的终边分别关于原点或坐标 轴对称的角的三角函数值之间的关系，体现“数形结合” 的数学思想：诱导公式的主要用途是把任意角的三角函数 《高中数学课 程标准》 与 值问题转化为求锐角的三角函数值，体现“转化”的数学 思想。诱导公式学习还反映了从特殊到一般的归纳思维形 用 式，对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力具有积 材 极的作用。本节内容共需二课时，第一课时教学内容为公 式二、三、四。第二课时的教学内容为公式五、六。 分 1.知识与技能 《高中数学课 借助单位圆，推导出诱导公式，能正确运用诱导公式将 程标准》要 任意角的三角函数化为锐角的三角函数，掌握有关三角函 求：“倡导通 数 求 向 过不同形式的 2.过程与方法 自主学习、探 经历诱导公式的探索过程，体验未知到已知、复杂到简 究活动体验数 教 单的转化过程，培养化归思想。 学发现和创造 学 3.情感、态度与价值观 的历程。发展 感受数学探索的成功感，激发学习数学的热情，培养学习学生的创新意 标 数学的兴趣，增强学习数学的信心。 识，体会蕴含 其中的思想方 法。”因此 依据教材地位 与作用及我校 高一学生的实 际情况，确定
三角函数的诱导公式（一）教学设计 贵州省六盘水市第一实验中学 林文忠 课题 三角函数的诱导公式 项目 内 容 理论依据或意 图 教 材 分 析 教 材 地 位 与 作 用 “三角函数的诱导公式”是普通高中课程标准实验教科书 人教 A 版必修 4 第一章第三节，其主要内容是三角函数的 诱导公式中的公式二至公式六。它是圆的对称性的“代数 表示”。利用对称性，探究角的终边分别关于原点或坐标 轴对称的角的三角函数值之间的关系，体现“数形结合” 的数学思想；诱导公式的主要用途是把任意角的三角函数 值问题转化为求锐角的三角函数值，体现“转化”的数学 思想。诱导公式学习还反映了从特殊到一般的归纳思维形 式，对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力具有积 极的作用。本节内容共需二课时，第一课时教学内容为公 式二、三、四。第二课时的教学内容为公式五、六。 《高中数学课 程标准》 教 学 目 标 1.知识与技能 借助单位圆，推导出诱导公式，能正确运用诱导公式将 任意角的三角函数化为锐角的三角函数，掌握有关三角函 数求值问题。 2.过程与方法 经历诱导公式的探索过程，体验未知到已知、复杂到简 单的转化过程，培养化归思想。 3.情感、态度与价值观 感受数学探索的成功感，激发学习数学的热情，培养学习 数学的兴趣，增强学习数学的信心。 《高中数学课 程标准》要 求：“倡导通 过不同形式的 自主学习、探 究活动体验数 学发现和创造 的历程。发展 学生的创新意 识，体会蕴含 其中的思想方 法。”因此， 依据教材地位 与作用及我校 高一学生的实 际情况，确定
此教学目标。 教学重点、难点： 依据教材的地 1.重点：诱导公式二、三、四的探究，运用诱导公式进行 位与作用及教 简单三角函数式的求值，提高对数学内部联系的认识。2. 学目标，确定 难点：发现圆的对称性与任意角终边的坐标之间的联系： 本节课的教学 点 诱导公式的合理运用。 重点、难点。 教学过程 繁 教师活动 学生活动 设计意图 问题1：任意角α的正弦、余1.学生口述三角函数的单位圆 1.三角函数的 弦、正切是怎样定义的？ 定义：sin&=y,cos=x, 定义是学习诱 问愿2：求下列三角函数值： 导公式的基 tan=x(x≠0) 础。 动 (3)tan6。 2.学生独立思考，尝试用定义 1.给学生3分钟左右的时间独立 解答。1名学生到黑板上板 2.设置问题情 课 境，产生知识 思考，教师请1名学生到黑板上 冲突，引发思 展示其答题情况。 考，既调动学 3.根据教师的引导产生探索 生学习积极 2抓住学求行的三有话数指时 知识的欲望。 性，激发探究 产生思维上认识的冲突，引出诗 欲望，又顺利 题《三角函数的诱导公式》。 导入新课
此教学目标。 重 、 难 点 教学重点、难点: 1.重点：诱导公式二、三、四的探究，运用诱导公式进行 简单三角函数式的求值，提高对数学内部联系的认识。2. 难点：发现圆的对称性与任意角终边的坐标之间的联系； 诱导公式的合理运用。 依据教材的地 位与作用及教 学目标，确定 本节课的教学 重点、难点。 教 学 过 程 教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图 活 动 一 ： 课 题 引 入 问题 1：任意角α的正弦、余 弦、正切是怎样定义的？ 问题 2：求下列三角函数值： （1）sin ，（2）cos ， （3）tan 。 1.给学生 3 分钟左右的时间独立 思考，教师请 1 名学生到黑板上 展示其答题情况。 2.抓住学求 的三角函数值时 产生思维上认识的冲突，引出课 题《三角函数的诱导公式》。 1.学生口述三角函数的单位圆 定义：sin =y,cos =x, tan = (x≠0) 2.学生独立思考，尝试用定义 解答。1 名学生到黑板上板 演。 3.根据教师的引导产生探索新 知识的欲望。 1.三角函数的 定义是学习诱 导公式的基 础。 2.设置问题情 境，产生知识 冲突，引发思 考，既调动学 生学习积极 性，激发探究 欲望，又顺利 导入新课
1.根据学生黑板上用定义求角1.学生观察图形，结合教师的1.由特殊到一 7 般，既符合学 6的三角函数值的情况，引导 问题发现：角”+云和角数 生的认知规 学生思考： 量上相差，图形上它们的 律。 问题3：D角+和角6的 终边关于原点对称，与单位圆 的交点坐标互为相反数。再根 2.诱导公式的 终边有何关系？ 三个式子中， (2)受角”+后与角言的路边 据定文得出角”后和角三 sin (x+a) 角函数之间的关系 =-sina是第 分别交单位圆于点P、P,点P 个解决的问 的坐标为B(x,y),则点P的 2.观察教师给出的动画演示」 题，由于方法 坐标如何表示？ 体会角a的任意性，得出任意 及思路都是未 (3)它们的三角函数值有何关 角a与角十a的终边关于 知的，所以采 活 系？ 原点对称，其三角函数值之间 取教师引导， 动 2.教师用几何画板演示角ā可以 满足公式二。 师生合作共同 是任意角，引导学生体会从 完成的办法。 通过脚手架式 的提问，引导 学生发现推导 公式一，体现 究 教师是课堂的 公 组织者、引导 者的角色 教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图 特殊角到一般角的变化，归纳出 同时为学生自 公式二： 主探索公式三 sin (n+a )=-sina. 和公式四做了 cos (+a )=-cosa, 3.学生根据公式二求225°的 示范作用。 tan(n+a)=tana。 正弦值。 3.及时巩固公 3.练习：求sin225 式，体会公式 的作用。 1.引导学生回顾刚才探索公式 1,体会研究诱导公式的线路 1.回顾探索公
活 动 二 ： 合 作 探 究 公 式 二 1.根据学生黑板上用定义求角 的三角函数值的情况，引导 学生思考： 问题 3：（1）角 和角 的 终边有何关系？ （2）设角 与角 的终边 分别交单位圆于点 P1、P2，点 P1 的坐标为 P1(x，y) ，则点 P2 的 坐标如何表示？ （3）它们的三角函数值有何关 系？ 2.教师用几何画板演示角α可以 是任意角，引导学生体会从 1.学生观察图形，结合教师的 问题发现：角 和角 数 量上相差 ，图形上它们的 终边关于原点对称，与单位圆 的交点坐标互为相反数。再根 据定义得出角 和角 三 角函数之间的关系。 2.观察教师给出的动画演示, 体会角α的任意性，得出任意 角α与角π＋α的终边关于 原点对称，其三角函数值之间 满足公式二。 1.由特殊 到一 般，既符合学 生的认知规 律。 2.诱导公式的 三个式子中， sin（π＋α） =-sinα是第一 个解决的问 题，由于方法 及思路都是未 知的，所以采 取教师引导， 师生合作共同 完成的办法。 通过脚手架式 的提问，引导 学生发现推导 公式二，体现 教师是课堂的 组织者、引导 者的角色。 教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图 特殊角到一般角的变化，归纳出 公式二： sin（π＋α）=-sinα， cos（π＋α）=-cosα， tan（π＋α）= tanα。 3.练习：求 sin2250 3.学生根据公式二求 2250 的 正弦值。 同时为学生自 主探索公式三 和公式四做了 示范作用。 3.及时巩固公 式，体会公式 的作用。 活 1.引导学生回顾刚才探索公式二 1.体会研究诱导公式的线路 1.回顾探索公
动|的过程，明确研究三角函数诱导|图。画出图形，先独立思考尝|式二的过程为 公式的路线图：角间关系一对称 试自主解答，一定时间后在组 学生指明探索 关系一坐标关系→三角函数值 长的带领下展开组内讨论。 方向 自 关系。为学生指明探索公式三、 2.两个小组的代表到黑板上展 四的方向。 示。3至4名优秀学生到其他 2.探究：给定一个角a。 小组提供帮助。 (1)角-a和角a的终边有什么 3.观察教师的动画演示，验证 2.通过交流和 关系？它们的三角函数之间有什 讨论的结论。得到公式三： 么关系？ 展示培养学生 sin(-a)=-sin a, (2)角-a和角a的终边有什么 cos(-a)=cos a, 勇于表达自己 观点的意识和 系？它们的三角函数之间有什 tan(-a)=-tana 关系？ 公式四： 学会顿听、学 公 式 3.组织学生分组探索角-α和角 sin(-a)=sina, 会尊重他人的 四 a、角-a和角a的三角函数之间的 品质。另外， cos(-a)=-cos a 通过“兵教 关系。 tan(x-a)=-tana, 兵”这种有效 先让学生先独立思考，然后小组 4.学生先自由发言，尝试归纳 交流。在学生交流时教师巡视， 公式的特征。然后在教师的 的合作学习方 让两个小组到黑板上展示。同 导下小组交流讨论形成对公式 式，促进了学 派出优秀学生到其他小组提供帮 生个体间的交 的正确认识。归纳出公式的特 流，使课堂的 助。 4.在学生解答后教师用几何画板 2m±a(ke2),π±，-“的 学习氛围显得 和谐、自然， 演示其中的角α也可以为任意 三角函数值，等于α的同名函 角，验证学生的结论。 体现学生的主 数 体地位。 3.通过学生对 公式特征的归 纳总结，既加 强了对公式的 记忆，同时
动 三 ： 自 主 探 究 公 式 三 、 公 式 四 的过程，明确研究三角函数诱导 公式的路线图：角间关系→对称 关系→坐标关系→三角函数值间 关系。为学生指明探索公式三、 四的方向。 2.探究：给定一个角。 （1）角 π-和角的终边有什么 关系？它们的三角函数之间有什 么关系？ （2）角-和角的终边有什么关 系？它们的三角函数之间有什么 关系？ 3.组织学生分组探索角 π-和角 、角-和角的三角函数之间的 关系。 先让学生先独立思考，然后小组 交流。在学生交流时教师巡视， 让两个小组到黑板上展示。同时 派出优秀学生到其他小组提供帮 助。 4.在学生解答后教师用几何画板 演示其中的角也可以为任意 角，验证学生的结论。 图。画出图形，先独立思考尝 试自主解答，一定时间后在组 长的带领下展开组内讨论。 2.两个小组的代表到黑板上展 示。3 至 4 名优秀学生到其他 小组提供帮助。 3.观察教师的动画演示，验证 讨论的结论。得到公式三： sin(−)= −sin ， cos(−)= cos ， tan(−)= −tan 。 公式四： sin(π−α)=sinα， cos(π−α)=−cosα， tan(π−α)=−tanα. 4.学生先自由发言，尝试归纳 公式的特征。然后在教师的引 导下小组交流讨论形成对公式 的正确认识。归纳出公式的特 征： 的 三角函数值，等于的同名函 数 式二的过程为 学生指明探索 方向。 2.通过交流和 展示培养学生 勇于表达自己 观点的意识和 学会倾听、学 会尊重他人的 品质。另外， 通过“兵教 兵”这种有效 的合作学习方 式，促进了学 生个体间的交 流，使课堂的 学习氛围显得 和谐、自然， 体现学生的主 体地位。 3.通过学生对 公式特征的归 纳总结，既加 强了对公式的 记忆，同时
教师活动 学生活动 设计意图 5.引导学生观察公式一、二 值，前面加上一个把a看成锐 也锻炼了学生 三、四，归纳公式的特征。 角时原函数值的符号。即“函 的归纳总结能 数名不变，符号看象限”。 练习：利用公式求下列各三角函 1,学生独立完成练习。 1.巩固所学公 11 2.观察黑板上学生的解答，提 式。调整课本 数值：)sin 出自己的看法。 例题所求三角 3.通过这四道题的解答体会、 函数值，让知 (2)cos(3 叙述用诱导公式将任意角的三 识显得更全 (3)tan(-2040°) 动 角函数化为锐角的三角函数的 面。 1.让3名学生到黑板上板演，组 般步赚：任意负角的三角函 2.观察、欣赏 织全班学生观察纠错。 数一任意正角的三角函数→0 黑板上的解 2.引导学生归纳用诱导公式将 2π的三角函数→锐角的三角 答，形成规范 意角的三角函数化为锐角的三角 函数。 格式，培养敢 函数的一般步骤。 于质疑的品 质。体会化归 用 思想。 3.通过对一般 步骤的总结， 体会化归思 想。 课堂小结： 1.学生自由发言叙述诱导公式 1,本节课我们学习了什么知识？ 的的内容及作用。 2.谈谈您本节课学习的感想： 感受探索成 引导学生回忆诱导公式的内容及 2.1至2名学生谈学习本节课 果，体验成功 其作用。强调探索诱导公式中的 的感受，体会学习过程中的化 的喜悦。 思想方法。 归思想。 反 布 1.阅读课本，体会三角函数诱导公式推导过程中的思想方法： 置 2.必做题：课本29页习题1.3A组1、2： 3.思考题：给定一个角a,终边与角a的终边关于直线y=x对称的角与角a有什么 关系？它们的三角函数之间有什么关系？能否证明？
教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图 5.引导学生观察公式一、二、 三、四， 归纳公式的特征。 值，前面加上一个把看成锐 角时原函数值的符号。即“函 数名不变，符号看象限”。 也锻炼了学生 的归纳总结能 力。 活 动 四 ： 公 式 运 用 练习：利用公式求下列各三角函 数值： (1)sin ; (2)cos( ); (3)tan(−2040°) 1.让 3 名学生到黑板上板演，组 织全班学生观察纠错。 2.引导学生归纳用诱导公式将任 意角的三角函数化为锐角的三角 函数的一般步骤。 1.学生独立完成练习。 2.观察黑板上学生的解答，提 出自己的看法。 3.通过这四道题的解答体会、 叙述用诱导公式将任意角的三 角函数化为锐角的三角函数的 一般步骤：任意负角的三角函 数→任意正角的三角函数→0~ 的三角函数→锐角的三角 函数。 1.巩固所学公 式。调整课本 例题所求三角 函数值，让知 识显得更全 面。 2.观察、欣赏 黑板上的解 答，形成规范 格式，培养敢 于质疑的品 质。体会化归 思想。 3.通过对一般 步骤的总结， 体会化归思 想。 活 动 五 ： 总 结 反 思 课堂小结： 1.本节课我们学习了什么知识？ 2.谈谈您本节课学习的感想！ 引导学生回忆诱导公式的内容及 其作用。强调探索诱导公式中的 思想方法。 1.学生自由发言叙述诱导公式 的的内容及作用。 2.1 至 2 名学生谈学习本节课 的感受，体会学习过程中的化 归思想。 感受探索成 果，体验成功 的喜悦。 布 置 作 业 1.阅读课本，体会三角函数诱导公式推导过程中的思想方法； 2.必做题：课本 29 页习题 1.3A 组 1、2； 3.思考题：给定一个角α，终边与角α的终边关于直线 y=x 对称的角与角α有什么 关系？它们的三角函数之间有什么关系？能否证明？
1.3三角函数的诱导公式（一） 角间关系一对称关系一→坐标关系一三角函数间的关系 角函 数之间的关系 数量关 系 终边的关 公式二： 公式从特殊到一般的推导过程 本 (x y) 公式三： xy以 学生推到公式三、公式四 公式四： 成功之处： (1)问题的设计建立在学生的最近发展区，由特殊到一般的过渡也符合学生认识 问题的习惯，有效的突破了教学难点。 (2)教学中围绕“角间关系→对称关系→坐标关系一三角函数间的关系”这一主 线展开教学。教学中渗透了数形结合和化归的数学思想，教给了学生研究问题的方 法。 (3)教学中重视给学生积极的评价。通过评价激起学生学习数学的欲望和积极向 上的生活态度。 后 欠缺之处： (1)备课不仅要备教材还要各足学生。由于对学生的学习习惯和知识水平预判不 够，导致在课堂上学生“引而不发”等现象。 (2)对课堂的驾取能力有待提高。当课堂没有出现教师预想的情形时，教师应随 机应变，灵活处理。(3)教学中问题指向不清晰，语言不简洁，给学生的理解造 成一定的困难。 改进措施： 加强课前预设，备足教材，备足学生：规范语言，提高课堂控制能力
板 书 设 计 1.3 三角函数的诱导公式（一） 角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数间的关系 三 角 函 数 之 间 的 关 系 数 量 关 系 终边的关 系 公式二： 公式从特殊到一般的推导过程 公 式 三 ： 学生推到公式三、公式四 公式四： 课 后 反 思 成功之处: （1）问题的设计建立在学生的最近发展区，由特殊到一般的过渡也符合学生认识 问题的习惯，有效的突破了教学难点。 （2）教学中围绕“角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数间的关系”这一主 线展开教学。教学中渗透了数形结合和化归的数学思想，教给了学生研究问题的方 法。 （3）教学中重视给学生积极的评价。通过评价激起学生学习数学的欲望和积极向 上的生活态度。 欠缺之处: （1）备课不仅要备教材还要备足学生。由于对学生的学习习惯和知识水平预判不 够，导致在课堂上学生“引而不发”等现象。 （2）对课堂的驾驭能力有待提高。当课堂没有出现教师预想的情形时，教师应随 机应变，灵活处理。 (3）教学中问题指向不清晰，语言不简洁，给学生的理解造 成一定的困难。 改进措施: 加强课前预设，备足教材，备足学生；规范语言，提高课堂控制能力
发展方向： 成功的教学过程应该是每一位学生都能积极的参与并得到发展。通过本节课的 设计和教学，使我深深认识到教学确实是门遗憾艺术。提高课堂效率，为学生终生 发展是一名优秀教师必须考虑的问题，也是我不解努力的方向
发展方向: 成功的教学过程应该是每一位学生都能积极的参与并得到发展。通过本节课的 设计和教学，使我深深认识到教学确实是门遗憾艺术。提高课堂效率，为学生终生 发展是一名优秀教师必须考虑的问题，也是我不懈努力的方向