电机学课堂进义第二部分交流电机共性问题6h 上海交通大学电气工程系EE SJTU 第三讲正弦波磁势与磁场的产生 重点：对称三相系统的磁势，磁场 难点：短距、分布绕组系数 问题：什么是三相对称系统？一个线圈产生的磁势波形具有什么特点？一相绕组产生的磁势波形具 有什么特点？一套对称绕组产生磁势的波形有什么特点？磁势与磁场有什么关系？如何确定绕组的 电感参数？ 三相对称系统是指幅值和频率相同、相位相差120°的电气系统，即电压、电流和电势都是三相对称 的。如何实现三相对称呢？三相对称绕组是空间对称（互差120°电角度）的，即空间与时间对称。 磁场的一对极对应的空间角度是360电角度，而实际空间角度称为机械角度，即空间一周的机械角 度为360°，而电角度为磁场极对数乘以360°。在正弦波磁场作用下，就能感应出三相对称电势，从而 在三相对称负载上输出三相对称电压和电流。问题的关键是如何产生正弦波磁场？ 对于用电源驱动的三相对称绕组系统，施加三相对称电源电压能产生如下一系列电磁效应： 电压一电流一磁势一磁场强度（磁感应强度）一磁通量（磁链 感应电势一电压 1、三相对称系统的简化表示 时间参考轴简称为时轴，它是正弦量用相量表示时的时闻参考轴。三相对 称系统通常采用一个时轴三个相量表示，如图1所示。当时轴以同步角速 IA 度旋转时，三相相量相对于时轴静止，相位角为初始相位角。当时轴静止 →时轴 时，三相相量相对于时轴以同步角速度旋转，相位角为实际相位角。 另一个重要的轴线是相轴。它是指每相绕组电流产生的磁势基波正幅值所 在位置。图2表示三个集中绕组(AX,BY,CZ)表示的三相系统，他们 IB 的空间轴线相差120°电角，按照逆时针为正方向，因此相轴的排列顺序与 时间相量或矢量的顺序正好相反。也就是空间相序由A到B再到C逆时针 图1时轴与电流矢量 排列，对应时间相序ABC(A超前B而B超前C)。 B相 时轴与某相轴重合时，该相电流相量的复角为电流相位：当时轴相对于 相轴X 相轴以同步角速度逆时针旋转时，电流相量相对于时轴是静止的相量， 复角为电流初始相位角。 子 在电路中三相对称系统常采用一个同步旋转的时轴表示三相相量，称为 A相 单时轴多相量表示法：然而，在电机学中，多相对称系统往往采用多相 相轴 时轴单个相量时空矢量)的多时轴单矢量表示法：如三相系统的三个 Y 相轴空间互差120°电角度，正相序通常按照逆时针排列(ABC),三个 C相 时轴的初始时刻与各自的相轴重合，并以同步速按照电流（电压）相序 相轴 方向旋转，这样各相的时间相量就重合在一起，因此可以用一个时空矢 图2相轴与电流矢量 量表示，即一个空间旋转的时间相量称为时空矢量。旋转角速度取决于 时间角频率。 2、正弦波磁势的产生方法 根据电磁场理论，波动的场源能产生电磁波。而磁场的场源是电流，因此正弦波电流有可能得到期 望的正弦波磁场。假设沿y轴方向但沿x轴方向传播的磁场强度是H=aH,cos(w-kx),忽略位移
电机学课堂讲义 第二部分 交流电机共性问题 6h 上海交通大学电气工程系 EE SJTU 1 第三讲 正弦波磁势与磁场的产生 重点：对称三相系统的磁势，磁场 难点：短距、分布绕组系数 问题：什么是三相对称系统？一个线圈产生的磁势波形具有什么特点？一相绕组产生的磁势波形具 有什么特点？一套对称绕组产生磁势的波形有什么特点？磁势与磁场有什么关系？如何确定绕组的 电感参数？ 三相对称系统是指幅值和频率相同、相位相差1200 的电气系统，即电压、电流和电势都是三相对称 的。如何实现三相对称呢？三相对称绕组是空间对称（互差1200 电角度）的，即空间与时间对称。 磁场的一对极对应的空间角度是3600 电角度，而实际空间角度称为机械角度，即空间一周的机械角 度为3600 ，而电角度为磁场极对数乘以3600 。在正弦波磁场作用下，就能感应出三相对称电势，从而 在三相对称负载上输出三相对称电压和电流。问题的关键是如何产生正弦波磁场？ 对于用电源驱动的三相对称绕组系统，施加三相对称电源电压能产生如下一系列电磁效应： 电压—电流—磁势—磁场强度（磁感应强度）—磁通量（磁链）—感应电势—电压 1、三相对称系统的简化表示 时间参考轴简称为时轴，它是正弦量用相量表示时的时间参考轴。三相对 称系统通常采用一个时轴三个相量表示，如图1所示。当时轴以同步角速 度旋转时，三相相量相对于时轴静止，相位角为初始相位角。当时轴静止 时，三相相量相对于时轴以同步角速度旋转，相位角为实际相位角。 另一个重要的轴线是相轴。它是指每相绕组电流产生的磁势基波正幅值所 在位置。图2表示三个集中绕组（AX，BY，CZ）表示的三相系统，他们 的空间轴线相差1200 电角，按照逆时针为正方向，因此相轴的排列顺序与 时间相量或矢量的顺序正好相反。也就是空间相序由A到B再到C逆时针 排列，对应时间相序ABC（A超前B而B超前C）。 时轴与某相轴重合时，该相电流相量的复角为电流相位；当时轴相对于 相轴以同步角速度逆时针旋转时，电流相量相对于时轴是静止的相量， 复角为电流初始相位角。 在电路中三相对称系统常采用一个同步旋转的时轴表示三相相量，称为 单时轴多相量表示法；然而，在电机学中，多相对称系统往往采用多相 时轴单个相量（时空矢量）的多时轴单矢量表示法；如三相系统的三个 相轴空间互差1200 电角度，正相序通常按照逆时针排列（ABC），三个 时轴的初始时刻与各自的相轴重合，并以同步速按照电流（电压）相序 方向旋转，这样各相的时间相量就重合在一起，因此可以用一个时空矢 量表示，即一个空间旋转的时间相量称为时空矢量。旋转角速度取决于 时间角频率。 2、正弦波磁势的产生方法 根据电磁场理论，波动的场源能产生电磁波。而磁场的场源是电流，因此正弦波电流有可能得到期 望的正弦波磁场。假设沿y轴方向但沿x轴方向传播的磁场强度是 ! H = ayHm cos("t # kx)，忽略位移 IC IB IA 时轴 图1 时轴与电流矢量 图2 相轴与电流矢量 B A Y A相 相轴 X Z C B相 相轴 C相 相轴
电机学课堂进义第二部分交流电机共性问题6 上海交通大学电气工程系EE SJTU 电流密度的条件下，空间电流密度分布可以根据麦克斯韦方程得到J=V×H=a.kH sir(wt-kx)。 由此说明电流密度空间分布是沿z轴方向，沿x轴按照正弦规律变化。 (1)基本假设： ·旋转电机的气隙均匀且相对电枢铁心厚度和周向极距是很小的： ·磁场强度与磁感应强度在气隙中是均匀的且只有径向分量： ·忽略电枢铁心中的磁位降，即认为铁心的相对磁导率为无穷大： ·电流沿轴向集中在电枢表面，且随时间按照正弦规律变化。 i =I cos(at+A) ig =Im cos(wt+a-2/3) ic =Im cos(at +a+2/3) (2)整距线圈产生的磁势 首先，考虑一个整距集中线圈产生的磁势，如图2所示。实际电机可能有多对极，相当于有多个单元 电机（每对极的绕组都是相同的，空间360°电角）。因此，绕组在空间是周期排列的，位置用电角 度表示为+π/2(=0，±1，±2，.)，电流间隔一个极的距离（称为一个极距，对应电角度180°或电弧度 π)，而磁通是连续的，因此不同磁极下定转子电枢表面的磁通量相同，磁位降也相同，因此电流产 生的磁势波形是正负波幅和宽度都相同的对称矩形波，但幅值随时间按照正弦规律变化，大小根据 安培环路定律为平均每极电流与线圈串联匝数W乘积，如图3所东。y 将磁势波的纵坐标轴与相轴重合，则磁势波是空间坐标的对称偶函数，利用空间周期分布函数的 Fourier分解可以得到，除了空间基波，只有奇次谐波，而没有偶次谐波，而且因对称轴与相轴重 合，分解后的函数中仅为奇次谐波余弦函数，基波与谐被幅值之比等于该谐波次数的。 E=∑F.cosn0 其中，基波和谐波的系数为 F,-2sinc(n12) 2p 基波的幅值与电流呈正比，因 此交变电流产生的基波幅值位 于相轴不变，大小随电流交变 的脉振磁势。将A相电流代 图3整距线圈磁势 入，再利用三角函数积化和差 公式，每个脉振磁势（基波和谐波）分解成两个旋转磁势 F-s(+FA cos(+ 其中，正转与反转磁势波的系数 F-sinc(nz/2)- I 2p 一相绕组产生的磁势是幅值位置不变而大小随时间交变的脉振磁势，它可以分解基波和一系列谐波 脉振磁势，而基波或每个谐波脉振磁势又可以分解为两个幅值相同，转速相同而转向相反的旋转磁 势波，这种脉振磁势分解成正反转磁势波的理论称为双旋转磁场理论。 同样地，可以得到B相和C相绕组的磁势 2
电机学课堂讲义 第二部分 交流电机共性问题 6h 上海交通大学电气工程系 EE SJTU 2 电流密度的条件下，空间电流密度分布可以根据麦克斯韦方程得到 ! J = " # H = azkHm sin($t % kx)。 由此说明电流密度空间分布是沿z轴方向，沿x轴按照正弦规律变化。 （1）基本假设： • 旋转电机的气隙均匀且相对电枢铁心厚度和周向极距是很小的； • 磁场强度与磁感应强度在气隙中是均匀的且只有径向分量； • 忽略电枢铁心中的磁位降，即认为铁心的相对磁导率为无穷大； • 电流沿轴向集中在电枢表面，且随时间按照正弦规律变化。 ! iA = Im cos("t + # A ) ! iB = Im cos("t + # A $ 2% /3) ! i C = Im cos("t + # A + 2$ /3) （2）整距线圈产生的磁势 首先，考虑一个整距集中线圈产生的磁势，如图2所示。实际电机可能有多对极，相当于有多个单元 电机（每对极的绕组都是相同的，空间3600 电角）。因此，绕组在空间是周期排列的，位置用电角 度表示为kπ+π/2 (k=0,±1,±2,…)，电流间隔一个极的距离（称为一个极距，对应电角度1800 或电弧度 π），而磁通是连续的，因此不同磁极下定转子电枢表面的磁通量相同，磁位降也相同，因此电流产 生的磁势波形是正负波幅和宽度都相同的对称矩形波，但幅值随时间按照正弦规律变化，大小根据 安培环路定律为平均每极电流与线圈串联匝数W乘积，如图3所示。 将磁势波的纵坐标轴与相轴重合，则磁势波是空间坐标的对称偶函数，利用空间周期分布函数的 Fourier分解可以得到，除了空间基波，只有奇次谐波，而没有偶次谐波，而且因对称轴与相轴重 合，分解后的函数中仅为奇次谐波余弦函数，基波与谐波幅值之比等于该谐波次数的。 ! FA = Fn cosn" n # 其中，基波和谐波的系数为 ! Fn = 2sinc(n" /2)WiA 2p 基波的幅值与电流呈正比，因 此交变电流产生的基波幅值位 于相轴不变，大小随电流交变 的脉振磁势。将A相电流代 入，再利用三角函数积化和差 公式，每个脉振磁势（基波和谐波）分解成两个旋转磁势 ! FA = [FAn cos("t + # A $ n%) + FAn cos("t + # A + n%)] n & 其中，正转与反转磁势波的系数 ! FAn = sinc(n" /2)WIm 2p 一相绕组产生的磁势是幅值位置不变而大小随时间交变的脉振磁势，它可以分解基波和一系列谐波 脉振磁势，而基波或每个谐波脉振磁势又可以分解为两个幅值相同，转速相同而转向相反的旋转磁 势波，这种脉振磁势分解成正反转磁势波的理论称为双旋转磁场理论。 同样地，可以得到B相和C相绕组的磁势 FA iAW/2p 0 θ 图3 整距线圈磁势
电机学课堂进义第二部分交流电机共性问题6h 上海交通大学电气工程系EE SJTU Fa=-∑IFs((i+9a-号-n(6-等》+Fcos(at+9a-号+n(0-川 F。=-∑F.cos(o1+9,+号-n0+》+Fcs(o+pa+号+n(0+等川 (3)三相集中绕组产生的磁势 其次，分析三相绕组的磁势。根据双旋转磁场理论，三相对称集中绕组产生的基波与谐波磁势： F-∑F.lcos(m+p.-n8)+cos(a+:-n0+(n-l学)+cos(@+4,-n0-(u-l学l +Flcos()+cos(+(+cos(++(+1 对于三次及其倍数次谐波因空间位置电角度相同，而时间相位互差120°，因此相互抵消，在气隙磁 场中不再存在：对于6N一1次谐波，空间与时间相序相反，因此正转磁势相互抵消，而反转磁势同相 位叠加；对于6N+1次谐波，空间与时间相序相同，因此反转磁势相互抵消，而正转磁势同相位叠 加。于是，三相合成基波与谐波磁势分别为 FABCI=mFAi Cos(O+A-0) FABC(6N1)=mFA(6N=I)cos[ot+A+(6N-1)0] 其中，m为绕组相数。 多相对称集中绕组通入对称电流产生的磁势具有的特点是除了基波以外，仅仅含有v=2mN±1次谐 波，谐波的幅值是基波幅值的1~倍。 (4)短距和分布绕组对磁势的影响 绝大多数交流电流供电或输出交流电流的交流电机， 多相绕组不仅是对称的，而且是分布的，为了 削弱谐波磁势（主要是5和7次较低次谐波的幅值）丫 和 节约绕组端部用铜量，常采用短距绕组，因此 必须考虑绕组短距和分布对磁势的影响。 A、短距对磁势的影响 根据周期函数的Fourier分解，当绕组采用短距时，磁势波形将成为峰峰值不变，而宽度由原来的π， 变为Bπ，其中β是绕组的节距系数，在数值上短距小于1，长距大于1，整距等于1。于是， W:14Wk F =2sinc(nBn/2)i 2p 其中，绕组的短距系数为k,=sin(n邛π/2)。三相合成磁势的幅值为每相贡献的m/2倍。 如果在设计时，使节距系数β=4/5，那么5次谐波的短距系数等于零，合成磁势中就不再存在5次谐 波。如果节距系数-67，那么7次谐波磁势就消除了。如果节距系数β=5/6，那么5次和7次谐波都得 到削弱。 B、分布对磁势的影响 假设电机有Z槽，对称绕组为双层，每极每相绕组的槽数为q,即每极每相线圈数为q,那么相邻线圈 空间互差槽间电角a=2p/Z,因此分布后相当于q个相差槽间电角na的磁势波叠加(n为波形的空间谐 波次数)，只不过幅值是集中绕组的1/g。因为 ∑cosy+kaW=gk.cos7+号a) 说明分布后每相磁势的幅值仍然在相绕组的对称中心位置，即相轴。 绕组的分布系数 3
电机学课堂讲义 第二部分 交流电机共性问题 6h 上海交通大学电气工程系 EE SJTU 3 ! FB = [FAn cos("t + # A $ 2% 3 $ n(& $ 2% 3 )) + FAn cos("t + # A $ 2% 3 + n(& $ 2% 3 ))] n ' ! FC = [FAn cos("t + # A + 2$ 3 % n(& + 2$ 3 )) + FAn cos("t + # A + 2$ 3 + n(& + 2$ 3 ))] n ' （3）三相集中绕组产生的磁势 其次，分析三相绕组的磁势。根据双旋转磁场理论，三相对称集中绕组产生的基波与谐波磁势： ! FABC = FAn[cos("t + # A $ n%) + cos("t + # A $ n% + (n $1) 2& 3 ) + cos("t + # A $ n% $ (n $1) 2& 3 )] n ' + FAn [cos("t + # A + n%) + cos("t + # A + n% $ (n +1) 2& 3 ) + cos("t + # A + n% + (n +1) 2& 3 )] n ' 对于三次及其倍数次谐波因空间位置电角度相同，而时间相位互差1200 ，因此相互抵消，在气隙磁 场中不再存在；对于6N－1次谐波，空间与时间相序相反，因此正转磁势相互抵消，而反转磁势同相 位叠加；对于6N+1次谐波，空间与时间相序相同，因此反转磁势相互抵消，而正转磁势同相位叠 加。于是，三相合成基波与谐波磁势分别为 ! FABC1 = mFA1 cos("t + # A $%) ! FABC(6N ±1) = mFA(6N ±1) cos["t + # A + (m6N $1)%] 其中，m为绕组相数。 多相对称集中绕组通入对称电流产生的磁势具有的特点是除了基波以外，仅仅含有ν=2mN±1次谐 波，谐波的幅值是基波幅值的1/ν倍。 （4）短距和分布绕组对磁势的影响 绝大多数交流电流供电或输出交流电流的交流电机，多相绕组不仅是对称的，而且是分布的，为了 削弱谐波磁势（主要是5和7次较低次谐波的幅值）和节约绕组端部用铜量，常采用短距绕组，因此 必须考虑绕组短距和分布对磁势的影响。 A、短距对磁势的影响 根据周期函数的Fourier分解，当绕组采用短距时，磁势波形将成为峰峰值不变，而宽度由原来的π， 变为βπ，其中β是绕组的节距系数，在数值上短距小于1，长距大于1，整距等于1。于是， ! Fn = 2sinc(n"# /2) W 2p iA = 1 n 4 # Wkyn 2p iA 其中，绕组的短距系数为 ! kyn = sin(n"# /2)。三相合成磁势的幅值为每相贡献的m/2倍。 如果在设计时，使节距系数β=4/5，那么5次谐波的短距系数等于零，合成磁势中就不再存在5次谐 波。如果节距系数β=6/7，那么7次谐波磁势就消除了。如果节距系数β=5/6，那么5次和7次谐波都得 到削弱。 B、分布对磁势的影响 假设电机有Z槽，对称绕组为双层，每极每相绕组的槽数为q，即每极每相线圈数为q，那么相邻线圈 空间互差槽间电角α=2πp/Z，因此分布后相当于q个相差槽间电角nα的磁势波叠加（n为波形的空间谐 波次数），只不过幅值是集中绕组的1/q。因为 ! cos(" + kn#) k= 0 q$1 % = qkqn cos(" + q$1 2 #) 说明分布后每相磁势的幅值仍然在相绕组的对称中心位置，即相轴。 绕组的分布系数
电机学课堂进义第二部分交流电机共性问题6 上海交通大学电气工程系EE SJTU kn、sin哭 qsin aa 于是，每相绕组因整距和分布引起的磁势幅值贡献为 F =2sinc(nat/2)- 14Wkk卫i4 2pAnπ2p C、短距和分布的共同影响 同时考虑短距和分布时，每相磁势幅值贡献为 4k型ia F= nπ2p 其中，n次谐波的绕组系数为 km=k人n=sin(nfg》sin竖 S.JTU gsin" 对于60°相绕组，q=60°是不变的。谐波的分布系数小于1，因此可以较好地削弱谐波。 但是对于kZ±1次谐波，是不能通过短距和分布加以削弱的。因为它们的绕组系数的绝对值与基波 绕组系数一样。这样的谐波称为齿谐波，最低次齿谐波为Z±1，对于多极电机一定要注意齿谐波的 影响。削弱齿谐波的方法将在削弱谐波电势中加以阐述。 3、正弦波气隙磁场的产生 现在分析对称绕组通入对称电流后产生的气隙磁场。如果气隙是均匀的，那么磁场强度在气隙空间 中的分布等于磁势波除以气隙长度，磁场强度的方向是径向的。因此基波磁势产生基波磁场，谐波 磁势产生谐波磁场，由于谐波磁势得到有效削弱，因此气隙磁场主要是基波磁场。 考虑三相绕组合成基波磁势产生的磁场，一一相绕组产生的基波脉振磁势产生的磁场计算方法一样。 基波磁势空间分布波形用电角度0和机械角度日m表示为 FABCI Fm cos(ot-0)=Fm cos(at -pe) 其中基波磁势幅值 Em= m4 Wk. 2π2p 基波磁场强度矢量的方向是径向的，沿周向空间分布波形 H=FARCLmcos(or-pe)=H cos(ox-pe) 88 磁感应强度的空间分布 Bco(-p)-Bcos(r-p) 可见，磁场强度与磁感应强度基波都是空间旋转波，旋转方向是圆周方向，转速为同步速 60w60f 几1= -(rpm=revolutions per minute) 任意空间位置的磁场大小等于磁场空间矢量在该空间位置的投影。 任意空间中心位置αm一个极距跨度内的基波磁场的磁通量等于磁感应强度的一个极面积分 中=59B,d0.=D.F-cos(w-pa)=重cos(o-a) 2Ja-元12p 4
电机学课堂讲义 第二部分 交流电机共性问题 6h 上海交通大学电气工程系 EE SJTU 4 ! kqn = sin nq" 2 qsin n" 2 于是，每相绕组因整距和分布引起的磁势幅值贡献为 ! Fn = 2sinc(n" /2) Wkqn 2p iA = 1 n 4 " Wkyn kqn 2p iA C、短距和分布的共同影响 同时考虑短距和分布时，每相磁势幅值贡献为 ! Fn = 1 n 4 " Wkwn 2 p iA 其中，n次谐波的绕组系数为 ! kwn = kyn kqn = sin(n" # 2 ) sin nq$ 2 qsin n$ 2 对于600 相绕组，qα=600 是不变的。谐波的分布系数小于1，因此可以较好地削弱谐波。 但是对于kZ/p±1次谐波，是不能通过短距和分布加以削弱的。因为它们的绕组系数的绝对值与基波 绕组系数一样。这样的谐波称为齿谐波，最低次齿谐波为Z/p±1，对于多极电机一定要注意齿谐波的 影响。削弱齿谐波的方法将在削弱谐波电势中加以阐述。 3、正弦波气隙磁场的产生 现在分析对称绕组通入对称电流后产生的气隙磁场。如果气隙是均匀的，那么磁场强度在气隙空间 中的分布等于磁势波除以气隙长度，磁场强度的方向是径向的。因此基波磁势产生基波磁场，谐波 磁势产生谐波磁场，由于谐波磁势得到有效削弱，因此气隙磁场主要是基波磁场。 考虑三相绕组合成基波磁势产生的磁场，一相绕组产生的基波脉振磁势产生的磁场计算方法一样。 基波磁势空间分布波形用电角度θ和机械角度θm表示为 ! FABC1 = Fm1 cos("t #$) = Fm1 cos("t # p$m ) 其中基波磁势幅值 ! Fm1 = m 2 4 " Wkw1 2p 基波磁场强度矢量的方向是径向的，沿周向空间分布波形 ! Hg1 = FABC1 g = Fm1 g cos("t # p$ m ) = Hm1 cos("t # p$ m ) 磁感应强度的空间分布 ! Bg1 = µ0Hg1 = µ0Fm1 g cos("t # p$ m ) = Bm1 cos("t # p$ m ) 可见，磁场强度与磁感应强度基波都是空间旋转波，旋转方向是圆周方向，转速为同步速 ! n1 = 60" 2#p = 60 f p (rpm=revolutions per minute) 任意空间位置的磁场大小等于磁场空间矢量在该空间位置的投影。 任意空间中心位置αm一个极距跨度内的基波磁场的磁通量等于磁感应强度的一个极面积分 ! "1 = lfeDa 2 Bg1d# m $ m %& / 2p $ m +& / 2p ' = lfeDaµ0Fm1 pg cos((t % p$ m ) = "m1 cos((t %$)
电机学课堂进义第二部分交流电机共性问题6h 上海交通大学电气工程系EE SJTU 因此，每极磁通幅值 ID.uoFa2d B 4 Pg 其中，气隙磁导个。= uotlfe 28 由磁通表达式可以看出，空间任意中心位置的磁通量等于磁通空间矢量（幅值所在位置）在该 空间位置上的投影。 一个极距等效线圈（考虑短距和分布系数）匝数W,中产生的每极磁链 平=WΦ1=WΦm1cos(wt-pcm） 三相合成基波磁势及其相应的磁场强度、磁感应强度、每极磁通量和等效集中绕组上的每极磁链都 是空间分布且时间交变的同步速旋转的波，可以用他们幅值所在位置的时空矢量表示，其他任意空 间中心位置（一个极距跨度的中心）的值只要将时空矢量在该位置中的投影得到，如图4所示，其中 所有角度都是电角度。 如果气隙是不均匀的，那么在不同位置，磁势产生的磁场波形不同。 (1)磁势幅值位于直轴 磁势幅值与气隙长度小的直轴对齐时，气隙磁场最强。这时基波磁势产生 的不一定是基波磁场，因此还需要计算磁场的基波成分。可以定义等效的 A 直轴磁导A,这样基波磁通等于基波磁势与等效直轴磁导的乘积。 (2)磁势幅值位于交轴 图4时空矢量投影关系 而当磁势幅值与气隙长度最大的交轴对齐时，磁场最小。同样，基波磁势产生的也不一定是基波磁 场，仍然需要计算磁场的基波分量。由于气隙大，因此交轴位置的基波磁场幅值比直轴位置的要小 一些。同样可以定义等效的交轴磁导A,这样基波磁通等于基波磁势与等效交轴磁导的乘积。 (3)磁势幅值位于一般位置 一般位置情况下，利用双反应理论，将磁势分解成直轴和交轴两个同向同速旋转的磁势波，然后分 别计算直轴和交轴磁场，再计算它们的基波磁场分量。也可以利用等效直轴磁导和等效交轴磁导表 示任意位置6的等效气隙磁导()=Acos0+Asin0,采用平方函数是因为磁导是位置角的周期函数， 且周期是180°电角，这样气隙磁通基波幅值等于磁势基波幅值与相应位置等效气隙磁导的乘积。 4、对称绕组的主电感 利用磁场能量法计算对称绕组的主电感，即对应于对称电流产生的基波磁场的磁场能量，因为气隙 磁场基波的磁场强度表示为三相电流与空间机械角度的函数 -14W6,cospo+i。cos(p9.-)+6cos(p8。+号】 H= 8π2p 因此磁场能量等于磁场能量密度在气隙中的体积分 代入磁场强度表达式，并利用周期函数的定积分得到 4 Wk w.-4g4D,42p [房+话+记+2aig+iae+ieia)cos号] 将磁场能量计算结果与采用主电感表示的气隙基波磁场能量表达式进行比较，可以得到 5
电机学课堂讲义 第二部分 交流电机共性问题 6h 上海交通大学电气工程系 EE SJTU 5 因此，每极磁通幅值 ! "m1 = lfeDaµ0Fm1 pg = 2 # $lfeBm1 = 4 # %gFm1, 其中，气隙磁导 ! "g = µ0#lfe 2g 。 由磁通表达式可以看出，空间任意中心位置的磁通量等于磁通空间矢量（幅值所在位置）在该 空间位置上的投影。 一个极距等效线圈（考虑短距和分布系数）匝数W1中产生的每极磁链 ! "1 = W1 #1 = W1 #m1 cos($t % p& m ) 三相合成基波磁势及其相应的磁场强度、磁感应强度、每极磁通量和等效集中绕组上的每极磁链都 是空间分布且时间交变的同步速旋转的波，可以用他们幅值所在位置的时空矢量表示，其他任意空 间中心位置（一个极距跨度的中心）的值只要将时空矢量在该位置中的投影得到，如图4所示，其中 所有角度都是电角度。 如果气隙是不均匀的，那么在不同位置，磁势产生的磁场波形不同。 （1）磁势幅值位于直轴 磁势幅值与气隙长度小的直轴对齐时，气隙磁场最强。这时基波磁势产生 的不一定是基波磁场，因此还需要计算磁场的基波成分。可以定义等效的 直轴磁导Λd，这样基波磁通等于基波磁势与等效直轴磁导的乘积。 （2）磁势幅值位于交轴 而当磁势幅值与气隙长度最大的交轴对齐时，磁场最小。同样，基波磁势产生的也不一定是基波磁 场，仍然需要计算磁场的基波分量。由于气隙大，因此交轴位置的基波磁场幅值比直轴位置的要小 一些。同样可以定义等效的交轴磁导Λq，这样基波磁通等于基波磁势与等效交轴磁导的乘积。 （3）磁势幅值位于一般位置 一般位置情况下，利用双反应理论，将磁势分解成直轴和交轴两个同向同速旋转的磁势波，然后分 别计算直轴和交轴磁场，再计算它们的基波磁场分量。也可以利用等效直轴磁导和等效交轴磁导表 示任意位置θ的等效气隙磁导Λ(θ)=Λdcos 2 θ+Λqsin 2 θ，采用平方函数是因为磁导是位置角的周期函数， 且周期是1800 电角，这样气隙磁通基波幅值等于磁势基波幅值与相应位置等效气隙磁导的乘积。 4、对称绕组的主电感 利用磁场能量法计算对称绕组的主电感，即对应于对称电流产生的基波磁场的磁场能量，因为气隙 磁场基波的磁场强度表示为三相电流与空间机械角度的函数 ! H" = 1 g 4 # Wkw1 2p [iA cos p$ m + iB cos( p$m % 2# 3 ) + i C cos(p$ m + 2# 3 )] 因此磁场能量等于磁场能量密度在气隙中的体积分 ! Wm = 1 4 µ0H" 2 Da lfegd# m 0 2$ % 代入磁场强度表达式，并利用周期函数的定积分得到 ! Wm = " 4g µ0Da lfe 4 " Wkw1 2p # $ % & ' ( 2 iA 2 + iB 2 + i C 2 + 2(iAiB + iBi C + i CiA )cos 2" [ 3 ] 将磁场能量计算结果与采用主电感表示的气隙基波磁场能量表达式进行比较，可以得到 图4 时空矢量投影关系 A p B d Fm1 θ ωt α
电机学课堂进义第二部分交流电机共性问题6h 上海交通大学电气工程系EE SJTU 4 Wk π2p \2 MIAB=MmBC MICA =2pA cos号 π2p 其中磁路的气隙磁导A,一A_,_,7D, 2g2848p 三相对称主电感相同，两相互感也相同，因空间相差120°电角，因此互感等于主自感乘以两个相绕 组轴线之间夹角的余弦，夹角超过90°电角，互感为负值。主电感也可以直接从定义出发得到，每相 等效集中绕组的每极串联匝数为W队/2p,方波分解成基波的波形系数为4/m,磁导等于真空磁导率乘 以每极面积再除以两个气隙的长度，因为有2p个磁极的线圈串联，因此每极电感需要乘以极数2印。 气隙不均匀时，电枢绕组的主电感可以利用双反应理论、等效直轴和交轴磁导计算 (-2p(csin4 WK d π2p/ LmB()=LmA(6-号)，Lmc()=LmA(6+号) A Mmn (0)=2p Aa cos0cos(-)+A sinsin(- 图5空间轴线位置关系 2D MBc(0)=MAB(0-),Mc(0)=MAB(e4 显然，当气隙均匀时，结果与前面能量法得到的一致。而气隙不均匀时，以A相与B相绕组的气隙磁 场基波引起的互感为例，说明双反应理论的具体应用，如图5所示，利用矢量关系计算： 假设A相电流iA,产生的每极磁势基波幅值FA=iAW1/4=iAN1,其中W1是每极等效串联匝数。一方面 磁势的直轴分量（投影）iAN1cos0,相应的直轴基波磁通幅值AdiAN1/4cos0,直轴基波磁通与B相绕 组匝链的磁链为直轴磁通在B相止的投影与B相绕组每极等效串联匝数乘积AiaN,2cos0cos(0-2π/3)。 另一方面，磁势的交轴分量（投影）iAN1cos(6+π/2)，交轴基波磁通幅值AaN1/4cos(+π/2)，交轴基 波磁通与B相绕组匝链的磁链AiAN,2cos(0+π/2)cos(+π/2-2π/3)=AiaN,2sin6sin(0-2/3)。 综合两方面因素，得A相与B相气隙磁场互感MmAB=2p[AaN2cos0cos(0-2/3)+A,N,'sinsin(6-2π/3】] 其中N,=W/4=2Wk1/迎。其他情况可以类似方法得到。 5、磁极绕组产生的正弦波磁场 磁极绕组输入直流电流产生恒定磁场，对于气隙均匀的隐极电机，产生磁场的绕组是分布的，而且 是同心式线圈，即线圈的节距不同，设计成大小齿结构，以形成接近正弦波的阶梯波磁势，如图6所 示。磁势波形是沿圆周展开后的形式，其中基波用粗线表示。 对于气隙不均匀的凸极电机，如图7所示，采用集中线圈，极靴比极身宽，理论上线圈占据一定的空 间，直流电流产生的是梯形波磁势，但是磁极的磁屏蔽作用，从气隙的角度看，凸极下的磁势仍然 是矩形波。为了削弱矩形波磁势产生的谐波磁场，凸极极面下气隙的长度是不同的，磁极中性（直 轴位置)气隙最小，极靴两边气隙较大，与直轴垂直的交轴位置气隙很大。考虑到磁极磁场的边缘 效应，可以使得气隙磁场接近正弦波。 6
电机学课堂讲义 第二部分 交流电机共性问题 6h 上海交通大学电气工程系 EE SJTU 6 ! LmA = LmB = LmC = 2p"g 4 # Wkw1 2p $ % & ' ( ) 2 , ! MmAB = MmBC = MmCA = 2p"g 4 # Wkw1 2p $ % & ' ( ) 2 cos 2# 3 . 其中磁路的气隙磁导 ! "g = µ0A 2g = µ0#lfe 2g = µ0$Da lfe 4gp . 三相对称主电感相同，两相互感也相同，因空间相差1200 电角，因此互感等于主自感乘以两个相绕 组轴线之间夹角的余弦，夹角超过900 电角，互感为负值。主电感也可以直接从定义出发得到，每相 等效集中绕组的每极串联匝数为Wkw1/2p，方波分解成基波的波形系数为4/π，磁导等于真空磁导率乘 以每极面积再除以两个气隙的长度，因为有2p个磁极的线圈串联，因此每极电感需要乘以极数2p。 气隙不均匀时，电枢绕组的主电感可以利用双反应理论、等效直轴和交轴磁导计算 ! LmA (") = 2 p(#d cos2 " + #q sin2 ") 4 $ Wkw1 2p % & ' ( ) * 2 , ! LmB (") = LmA (" # 2$ 3 ), ! LmC (") = LmA (" + 2# 3 ) ! MmAB (") = 2p #d cos" cos(" $ 2% 3 ) + #q sin" sin(" $ 2% 3 [ )] 4 % Wkw1 2p & ' ( ) * + 2 ! MmBC (") = MmAB (" # 2$ 3 ), ! MmCA (") = MmAB (" + 2# 3 ) 显然，当气隙均匀时，结果与前面能量法得到的一致。而气隙不均匀时，以A相与B相绕组的气隙磁 场基波引起的互感为例，说明双反应理论的具体应用，如图5所示，利用矢量关系计算： 假设A相电流iA，产生的每极磁势基波幅值FA1=iAW1π/4=iAN1，其中W1是每极等效串联匝数。一方面 磁势的直轴分量（投影）iAN1cosθ，相应的直轴基波磁通幅值ΛdiAN1π/4cosθ，直轴基波磁通与B相绕 组匝链的磁链为直轴磁通在B相上的投影与B相绕组每极等效串联匝数乘积ΛdiAN1 2 cosθcos(θ-2π/3)。 另一方面，磁势的交轴分量（投影）iAN1cos(θ+π/2)，交轴基波磁通幅值ΛqiAN1π/4cos(θ+π/2)，交轴基 波磁通与B相绕组匝链的磁链ΛqiAN1 2 cos(θ+π/2)cos(θ+π/2-2π/3)=ΛqiAN1 2 sinθsin(θ-2π/3)。 综合两方面因素，得A相与B相气隙磁场互感MmAB=2p[ΛdN1 2 cosθcos(θ-2π/3)+ΛqN1 2 sinθsin(θ-2π/3)]。 其中 ! N1 = W1" /4 = 2Wkw1 /"p 。其他情况可以类似方法得到。 5、磁极绕组产生的正弦波磁场 磁极绕组输入直流电流产生恒定磁场，对于气隙均匀的隐极电机，产生磁场的绕组是分布的，而且 是同心式线圈，即线圈的节距不同，设计成大小齿结构，以形成接近正弦波的阶梯波磁势，如图6所 示。磁势波形是沿圆周展开后的形式，其中基波用粗线表示。 对于气隙不均匀的凸极电机，如图7所示，采用集中线圈，极靴比极身宽，理论上线圈占据一定的空 间，直流电流产生的是梯形波磁势，但是磁极的磁屏蔽作用，从气隙的角度看，凸极下的磁势仍然 是矩形波。为了削弱矩形波磁势产生的谐波磁场，凸极极面下气隙的长度是不同的，磁极中性（直 轴位置）气隙最小，极靴两边气隙较大，与直轴垂直的交轴位置气隙很大。考虑到磁极磁场的边缘 效应，可以使得气隙磁场接近正弦波。 图5 空间轴线位置关系 A q B d FA1 θ
电机学课堂进义第二部分交流电机共性问题6h 上海交通大学电气工程系EE SJTU 磁极磁场与三相对称绕组产生的电枢磁场具有相同的一面，也存在显著的区别。相同点是他们产生 磁场的主要分量是基波，但同时存在一系列谐波。不同点是磁极磁场的谐波空间运动速度等于转子 转速，而电枢磁场中的谐波频率等于电源频率，因此转速与谐波次数成反比。磁极谐波磁场在定子 电枢绕组中要感应谐波电势（后面讨论电枢绕组感应电势时会详细分析），而电枢磁场中的谐波在 电枢绕组中感应的仍然是基波电势。因此，为了削弱感应电势中的谐波，必须削弱磁极磁场中的谐 波分量。 F ⑧ 图6隐极电机磁极分布绕组与磁势波形 图7凸极电机集中绕组与磁势波形 总结： 空间磁势是场源电流分布的表示形式，与空间标量磁位有密切关系，在气隙磁场均匀的情况下气隙 磁位降等于气隙磁场强度与气隙长度的乘积，而磁感应强度等于磁场强度与真空磁导率的乘积。 交变电流在单相绕组中产生脉振磁势，形成气隙脉振磁场：一 多相对称绕组通入对称交流电流产生的旋转磁势，形成气隙旋转磁场： 绕组流过恒定电流产生恒定磁势，通过改变绕组分布结构或气隙大小，可以获得正弦波气隙磁场。 当绕组随转子旋转时，可以获得与转子同步的旋转磁场： 磁极磁势（磁场）的空间转速相同，空间每一点的时间交变频率与极对数呈正比，基波频率最低， 谐波频率是基波频率的谐波次倍： 磁通（磁链）是对绕组的整体作用，在时间止是交变的，其引起的感应电势也是同频率交变的，他 们都可以用时空矢量表示。 将分布绕组折算到整距绕组，然后对正弦波电流、磁势、磁场、磁通、磁链的计算可以采用时空矢 量的方式，尤其是双反应理论应用中的投影法，求解变得十分简单。 教学方法 交流绕组的轴线（时轴与相轴） 一个交流线圈产生的脉振磁势（以机械角2π为周期的空间基波 与一系列谐波，短距系数) ·个相带内交流线圈组产生的脉振磁势（正弦量的矢量合成，分布 系数)一一在一对极内两个反相线圈组产生的脉振磁势一一一相交流绕组各相带脉振磁势的合成 (以电角度2为周期的空间基波与一系列奇次谐波，绕组系数)一一三相交流绕组流过对称电流时 产生的合成旋转磁势（以电角度2π为周期的空间基波与一系列奇次谐波，但不包含三及其倍数次谐 波，绕组系数) 一基波及其谐波(2mN±1)合成磁势的旋转方向（基波正转，那么加号谐波为正 转，负号谐波为反转)一一基波磁势产生的磁场一齿谐波磁势或磁场的短距系数、分布系数和绕 组系数与基波一致。 直流励磁绕组产生的基波磁势与磁场。 基波交流电产生的磁势基波与各次谐波的频率相同，极对数不同，因此转速不同；直流电流产生的 基波磁势与谐波磁势的转速相同，极对数不同，因此频率不同。 旋转磁势或磁场的交变频率f(赫兹)、极对数p和空间转速n(转/分)三者满足关系式pn=60f。 7
电机学课堂讲义 第二部分 交流电机共性问题 6h 上海交通大学电气工程系 EE SJTU 7 磁极磁场与三相对称绕组产生的电枢磁场具有相同的一面，也存在显著的区别。相同点是他们产生 磁场的主要分量是基波，但同时存在一系列谐波。不同点是磁极磁场的谐波空间运动速度等于转子 转速，而电枢磁场中的谐波频率等于电源频率，因此转速与谐波次数成反比。磁极谐波磁场在定子 电枢绕组中要感应谐波电势（后面讨论电枢绕组感应电势时会详细分析），而电枢磁场中的谐波在 电枢绕组中感应的仍然是基波电势。因此，为了削弱感应电势中的谐波，必须削弱磁极磁场中的谐 波分量。 总结： 空间磁势是场源电流分布的表示形式，与空间标量磁位有密切关系，在气隙磁场均匀的情况下气隙 磁位降等于气隙磁场强度与气隙长度的乘积，而磁感应强度等于磁场强度与真空磁导率的乘积。 交变电流在单相绕组中产生脉振磁势，形成气隙脉振磁场； 多相对称绕组通入对称交流电流产生的旋转磁势，形成气隙旋转磁场； 绕组流过恒定电流产生恒定磁势，通过改变绕组分布结构或气隙大小，可以获得正弦波气隙磁场。 当绕组随转子旋转时，可以获得与转子同步的旋转磁场； 磁极磁势（磁场）的空间转速相同，空间每一点的时间交变频率与极对数呈正比，基波频率最低， 谐波频率是基波频率的谐波次倍； 磁通（磁链）是对绕组的整体作用，在时间上是交变的，其引起的感应电势也是同频率交变的，他 们都可以用时空矢量表示。 将分布绕组折算到整距绕组，然后对正弦波电流、磁势、磁场、磁通、磁链的计算可以采用时空矢 量的方式，尤其是双反应理论应用中的投影法，求解变得十分简单。 教学方法 交流绕组的轴线（时轴与相轴）——一个交流线圈产生的脉振磁势（以机械角2π为周期的空间基波 与一系列谐波，短距系数）——一个相带内交流线圈组产生的脉振磁势（正弦量的矢量合成，分布 系数）——在一对极内两个反相线圈组产生的脉振磁势——一相交流绕组各相带脉振磁势的合成 （以电角度2π为周期的空间基波与一系列奇次谐波，绕组系数）——三相交流绕组流过对称电流时 产生的合成旋转磁势（以电角度2π为周期的空间基波与一系列奇次谐波，但不包含三及其倍数次谐 波，绕组系数）——基波及其谐波（2mN±1）合成磁势的旋转方向（基波正转，那么加号谐波为正 转，负号谐波为反转）——基波磁势产生的磁场——齿谐波磁势或磁场的短距系数、分布系数和绕 组系数与基波一致。 直流励磁绕组产生的基波磁势与磁场。 基波交流电产生的磁势基波与各次谐波的频率相同，极对数不同，因此转速不同；直流电流产生的 基波磁势与谐波磁势的转速相同，极对数不同，因此频率不同。 旋转磁势或磁场的交变频率f（赫兹）、极对数p和空间转速n（转／分）三者满足关系式pn=60f。 图6 隐极电机磁极分布绕组与磁势波形 Ff ifW/2 0 θ 图7 凸极电机集中绕组与磁势波形 Ff ifW/2 0 θ
