电机学课堂进义第三部分同步电机16h 上海交通大学电气工程系EE SJTU 第十二讲时空矢量分析 重点：时轴，相轴，双旋转磁场理论，三相对称系统的时空矢量表示 难点：对称系统的多时轴单矢量表示法 问题：什么是绕组的轴线？如何确定相轴？如何确定时轴？什么是脉振磁场？为什么脉振磁场可以 分解成两个旋转磁场，即双旋转磁场理论？磁场转矩与什么有关？ 1、多相对称系统的复矢量表示 交流电机稳态过程主要是多相对称系统，其中的物理量，比如电压，电势，电流，磁势，磁密，磁 通，磁链等，都是随时间周期变化的，有的还随空间恒速旋转，能否采用简单的方法来表示多相对 称系统的动态过程呢？回答是肯定的，即采用时空矢量表示。下面以三相对称系统为例加以说明。 A、单时轴多矢量法 考虑一般状态的交流电机，即定转子都是三相对称电枢绕组的交流电机，但气隙是均匀的。对于定 子三相对称电枢绕组ABC,假设某物理量（电压、电势或电流）是正相序稳态变化，即三相互差 120°电角，且按照相序依次滞后120°电角，随时间按照正弦规律变化，用统一的函数符号f表示为 fA(t)=F cos(ω，t+pr), fB(t)=F cos(o,t+p,-号π)， fc(t)=F cos(ω，t+pj+号π) 其中各相幅值都是Fm,=0时刻的相位称为初相位，角频率ω1=2。 首先，引入时轴的概念，即=0时刻作为参考时间所确定的参考轴位 个lm 置。由于任何用幅值和相位描述的正弦函数都与一个复指数函数存在 F 一一对应关系，因此可以用复指数函数F来表示这样正弦函数， Fc >Re F(t)）=Fnea1+9) 0 Fa(t)-Fe ↓FB 图30单时轴多矢量表示 Fc(t)=Ee) 各相时间瞬时值等于各相复指数函数取实部，这种表示方法是以统一的时轴为准则，各相复数矢量 在时轴上的投影等于时间瞬时值，这样时轴与静止的实轴重合，而各相复矢量在复平面内是以相同 的角频率w1旋转的，ABC三相依次经过实轴和时轴。 如果时轴静止不动而复平面以角频率ω1逆时针旋转的，那么三相复矢量将相对实轴保持静止的复矢 量，即我们熟悉的相量表示形式，只不过通常相量的长度用有效值，而幅值等于有效值的根号2倍， 幅角等于=0时刻的初始相位角，如图30所示。这种采用一个时轴的多相正弦时间量的表示方法称为 单时轴多矢量法。当实轴在=O时刻与时轴重合，并且以角频率ω1旋转时，复矢量变成相量F4C F=Fe 1
电机学课堂讲义 第三部分 同步电机 16h 上海交通大学电气工程系 EE SJTU 1 第十二讲 时空矢量分析 重点：时轴，相轴，双旋转磁场理论，三相对称系统的时空矢量表示 难点：对称系统的多时轴单矢量表示法 问题：什么是绕组的轴线？如何确定相轴？如何确定时轴？什么是脉振磁场？为什么脉振磁场可以 分解成两个旋转磁场，即双旋转磁场理论？磁场转矩与什么有关？ 1、多相对称系统的复矢量表示 交流电机稳态过程主要是多相对称系统，其中的物理量，比如电压，电势，电流，磁势，磁密，磁 通，磁链等，都是随时间周期变化的，有的还随空间恒速旋转，能否采用简单的方法来表示多相对 称系统的动态过程呢？回答是肯定的，即采用时空矢量表示。下面以三相对称系统为例加以说明。 A、单时轴多矢量法 考虑一般状态的交流电机，即定转子都是三相对称电枢绕组的交流电机，但气隙是均匀的。对于定 子三相对称电枢绕组ABC，假设某物理量（电压、电势或电流）是正相序稳态变化，即三相互差 1200 电角，且按照相序依次滞后1200 电角，随时间按照正弦规律变化，用统一的函数符号f表示为 ! fA (t) = Fm cos("1t + # f ), ! fB (t) = Fm cos("1t + # f $ 2 3 %), ! fC (t) = Fm cos("1t + # f + 2 3 $) 其中各相幅值都是Fm，t=0时刻的相位称为初相位，角频率ω1=2πf1。 首先，引入时轴的概念，即t=0时刻作为参考时间所确定的参考轴位 置。由于任何用幅值和相位描述的正弦函数f都与一个复指数函数存在 一一对应关系，因此可以用复指数函数F来表示这样正弦函数， ! FA (t) = Fme j("1t +# f ) , ! FB (t) = Fme j("1t +# f $ 2 3 % ) , ! FC (t) = Fme j("1t +# f + 2 3 $ ) 各相时间瞬时值等于各相复指数函数取实部，这种表示方法是以统一的时轴为准则，各相复数矢量 在时轴上的投影等于时间瞬时值，这样时轴与静止的实轴重合，而各相复矢量在复平面内是以相同 的角频率ω1旋转的，ABC三相依次经过实轴和时轴。 如果时轴静止不动而复平面以角频率ω1逆时针旋转的，那么三相复矢量将相对实轴保持静止的复矢 量，即我们熟悉的相量表示形式，只不过通常相量的长度用有效值，而幅值等于有效值的根号2倍， 幅角等于t=0时刻的初始相位角，如图30所示。这种采用一个时轴的多相正弦时间量的表示方法称为 单时轴多矢量法。当实轴在t=0时刻与时轴重合，并且以角频率ω1旋转时，复矢量变成相量FABC ! FA = Fe j" f , FA FB FC Re Im 0 图30 单时轴多矢量表示
电机学课堂进义第三部分同步电机16h 上海交通大学电气工程系EE SJTU Fg =Fe-) Fc FeR) 三相相量是站在相对时轴同时以角频率ω1逆时针旋转的实轴上观测的结果而己。 如果实轴以任意角频率ω逆时针旋转，那么观测到的复矢量将以转差角频率旋转的复矢量 Fa()）=FRr+9), Fa()）-Fnea+9y-) Fe(0）=FeRaor9/+) 其中，转差角频率△ω=①1-ω，转向与转差角频率的正负有关。 B、多时轴单矢量法 在交流电机中，还引入相轴的概念，三相电枢绕组空间对称分布，每相绕组基波磁势幅值所在轴线 位置，称为该相绕组的相轴。按照三相绕组ABC正序电流产生旋转磁势方向逆时针为正，三相相轴 规定按照逆时针互差120°电角排列，如图31所示，排列的方向正好与相序一致，空间相差的电角度 正好等于时间相量的相位差，但是与单时轴多矢量表示的复矢量位置排列正好相反。这是因为三相 合成磁势产生的磁场逆时针旋转，因此在三相绕组中产生的磁通量函 数保持正相序状态，从而产生的感应电势也保持正相序状态。这也是 B相相轴 个Im 电机设计绕组排列必须考虑与电机转向的关系。三相轴线在图示复平 FABC 面内的复矢量分别为1，a,2,其中a=e2B。 如果以每相绕组的相轴为各自的时轴，那么复矢量相对各自的时轴以 >Re 角频率逆时针旋转，初始时刻与时轴的角度为初相位角，如图31所 A相相轴 示，FAc表示三相复矢量始终重合在一起。用一个复矢量和多个时轴 来表示三相对称时间函数的方法称为单矢量多时轴法。各相时间瞬时 C相相轴 值仍然等于复矢量在各自时轴上的投影。 图31多时轴单矢量表示 C、时空合一矢量图 单矢量多时轴的表示方法简单、概念清晰明了。比如三相对称电流每相电流用复矢量表示，那么该 复矢量所在位置就是三相合成磁势基波幅值所在位置，而且电流复矢量和三相合成磁势基波空间矢 量始终保持一致，图32表示采用双旋转磁场理论确定的电流复矢量与合成磁势基波空间矢量。 i(1 cos(t+)-Ie+e) ia(0=cos(@,t+q,-号n）=lg,ea+,-+l。.ea-) B相相轴lc ic(t)=In cos(+)=Ic.e+ce) IB+IA+ 上面三相电流用等价的欧拉公式表示，即旋转磁场理论的数学基础， →A相 将一个按照正弦规律变化的物理量表示成两个幅值相同（等于原来正 0 相轴 弦波幅值的一半)，转速相同（等于原来正弦波的角频率）而转向相 反的旋转复矢量，或者获得正向和反向旋转的复矢量。 C相相轴 图33时空合一矢量表示 2
电机学课堂讲义 第三部分 同步电机 16h 上海交通大学电气工程系 EE SJTU 2 ! FB = Fe j(" f # 2 3 $ ) , ! FC = Fe j(" f + 2 3 # ) 三相相量是站在相对时轴同时以角频率ω1逆时针旋转的实轴上观测的结果而已。 如果实轴以任意角频率ω逆时针旋转，那么观测到的复矢量将以转差角频率旋转的复矢量 ! FA (t) = Fme j("#t +$ f ) , ! FB (t) = Fme j("#t +$ f % 2 3 & ) , ! FC (t) = Fme j("#t +$ f + 2 3 % ) 其中，转差角频率Δω=ω1-ω，转向与转差角频率的正负有关。 B、多时轴单矢量法 在交流电机中，还引入相轴的概念，三相电枢绕组空间对称分布，每相绕组基波磁势幅值所在轴线 位置，称为该相绕组的相轴。按照三相绕组ABC正序电流产生旋转磁势方向逆时针为正，三相相轴 规定按照逆时针互差1200 电角排列，如图31所示，排列的方向正好与相序一致，空间相差的电角度 正好等于时间相量的相位差，但是与单时轴多矢量表示的复矢量位置排列正好相反。这是因为三相 合成磁势产生的磁场逆时针旋转，因此在三相绕组中产生的磁通量函 数保持正相序状态，从而产生的感应电势也保持正相序状态。这也是 电机设计绕组排列必须考虑与电机转向的关系。三相轴线在图示复平 面内的复矢量分别为1，a，a 2 ，其中a=e j2π/3 。 如果以每相绕组的相轴为各自的时轴，那么复矢量相对各自的时轴以 角频率逆时针旋转，初始时刻与时轴的角度为初相位角，如图31所 示，FABC表示三相复矢量始终重合在一起。用一个复矢量和多个时轴 来表示三相对称时间函数的方法称为单矢量多时轴法。各相时间瞬时 值仍然等于复矢量在各自时轴上的投影。 C、时空合一矢量图 单矢量多时轴的表示方法简单、概念清晰明了。比如三相对称电流每相电流用复矢量表示，那么该 复矢量所在位置就是三相合成磁势基波幅值所在位置，而且电流复矢量和三相合成磁势基波空间矢 量始终保持一致，图32表示采用双旋转磁场理论确定的电流复矢量与合成磁势基波空间矢量。 ! iA (t) = Im cos("1t + #i ) = IA +e j("1t +# i ) + IA$e$ j("1t +# i ) ! iB (t) = Im cos("1t + #i $ 2 3 %) = IB +e j("1t +# i $ 2 3 % ) + IB$e $ j("1t +# i $ 2 3 % ) ! i C (t) = Im cos("1t + #i + 2 3 $) = IC +e j("1t +# i + 2 3 $ ) + IC%e % j("1t +# i + 2 3 $ ) 上面三相电流用等价的欧拉公式表示，即旋转磁场理论的数学基础， 将一个按照正弦规律变化的物理量表示成两个幅值相同（等于原来正 弦波幅值的一半），转速相同（等于原来正弦波的角频率）而转向相 反的旋转复矢量，或者获得正向和反向旋转的复矢量。 图33 时空合一矢量表示 IA+ B相相轴 0 C相相轴 A相 相轴 IC+ IB+ IAIBIC- 图31 多时轴单矢量表示 FABC B相相轴 Re Im 0 C相相轴 A相相轴
电机学课堂进义第三部分同步电机16h 上海交通大学电气工程系EE SJTU 当各相相轴与时轴重合时，这些电流复矢量中，正转（正序）的三个复矢量(I4+,IB+,Ic+)重合并 以角频率逆时针旋转，而反转（负序）的三个复矢量(I4,I,Ic)空间互差120°电角度，如图33 所示。 分析三相电流产生的各相脉振磁势基波空间分布 fA(t,)=Fim cos(ω，t+p,)cos6=FA+cos(ω，t+p:-θ)+FA-cos(ωt+p,+) fB(t,)=FBm coS(ω，t+p:)cos8=FB+cos(ω，t+p,-π-θ)+FB-cos(ωt+P,-π+) fc(t,θ)=Fcm cos(ω，t+q,)cos6=Fc+cos(ω，t+p:+π-)+Fc_cos(ω，t+m:+π+) 对于A相来说，相当于两个幅值和转速相同而转向相反的磁势波，正、反转两个磁势波的幅值空间位 置正好分别位于A相电流正、负序复矢量所在位置，也就是时间和空间合一的矢量，如图33所示。磁 势的空间矢量与电流时间复矢量在多时轴坐标系中满足线性关系， F.-4%1=kHn π2p 其中下标P表示相ABC,下标x代表正转或反转矢量，k仅与绕组每极每相等效串联匝数有关的系数。 根据双旋转磁场理论分析可知，三相正转磁势合成为每相幅值的32倍，反转磁势空间相差120°电角 度合成结果为零。这与对称电流产生基波磁势分析的结果是一致的。图33中仅仅表明电流复矢量而 没有标注磁势空间矢量就是因为它们是线性关系，因此分析空向磁势分布可以直接采用电流的双旋 转磁场理论在多时轴坐标系统中分析，而且这种分析方法也适用手不对称系统。 2、多相非对称系统的复矢量表示 多相非对称系统主要是空间对称而时间不对称的多相系统，利用双旋转磁场理论分析。对于空间不 对称的情况仍然可以用这一分析方法。分析三相负载不对称状态引起三相电流不对称情况下三相交 流电机气隙空间合成磁势基波。 A、一相电流复矢量表示 对于任意一相随时间按照正弦变化的电流 i(t)-I cos(ω，t+p) 其中电流的初相位为p。 利用双旋转磁场理论将该电流表示为正反转复矢量的形式 i(t)=Ie+e 其中正反转电流相量副和1统一表示为I4,那么它与初相位仰，的关系是 L=Ime人 上式表明正反转电流相量是以该相相轴为时轴，同时也是该相复平面的实轴。在t=O时刻的初始状态 为相量了和1并且分别以相同的角频率逆时针与顺时针旋转。 B、三相电流的复矢量表示 现在具体分析三相不对称电流的情况 i(t)=Ieio+e-jo ig(t)=Ige+Igeio, ic(t)=Lcea'+Lc_em'。 3
电机学课堂讲义 第三部分 同步电机 16h 上海交通大学电气工程系 EE SJTU 3 当各相相轴与时轴重合时，这些电流复矢量中，正转（正序）的三个复矢量（IA+，IB+，IC+）重合并 以角频率逆时针旋转，而反转（负序）的三个复矢量（IA-，IB-，IC-）空间互差1200 电角度，如图33 所示。 分析三相电流产生的各相脉振磁势基波空间分布 ! fA (t,") = FAm cos(#1t + $i )cos" = FA + cos(#1t + $i %") + FA% cos(#1t + $i + ") ! fB (t,") = FBm cos(#1t + $i )cos" = FB + cos(#1t + $i % 2 3 & %") + FB% cos(#1t + $i % 2 3 & + ") ! fC (t,") = FCm cos(#1t + $i )cos" = FC + cos(#1t + $i + 2 3 % &") + FC& cos(#1t + $i + 2 3 % + ") 对于A相来说，相当于两个幅值和转速相同而转向相反的磁势波，正、反转两个磁势波的幅值空间位 置正好分别位于A相电流正、负序复矢量所在位置，也就是时间和空间合一的矢量，如图33所示。磁 势的空间矢量与电流时间复矢量在多时轴坐标系中满足线性关系， ! Fpx = 4 " W1kw1 2p Ipx = k fIpx 其中下标p表示相ABC，下标x代表正转或反转矢量，kf仅与绕组每极每相等效串联匝数有关的系数。 根据双旋转磁场理论分析可知，三相正转磁势合成为每相幅值的3/2倍，反转磁势空间相差1200 电角 度合成结果为零。这与对称电流产生基波磁势分析的结果是一致的。图33中仅仅表明电流复矢量而 没有标注磁势空间矢量就是因为它们是线性关系，因此分析空间磁势分布可以直接采用电流的双旋 转磁场理论在多时轴坐标系统中分析，而且这种分析方法也适用于不对称系统。 2、多相非对称系统的复矢量表示 多相非对称系统主要是空间对称而时间不对称的多相系统，利用双旋转磁场理论分析。对于空间不 对称的情况仍然可以用这一分析方法。分析三相负载不对称状态引起三相电流不对称情况下三相交 流电机气隙空间合成磁势基波。 A、一相电流复矢量表示 对于任意一相随时间按照正弦变化的电流 ! i(t) = Im cos("1t + #i) 其中电流的初相位为ϕi。 利用双旋转磁场理论将该电流表示为正反转复矢量的形式 ! i(t) = I+e j"1t + I#e# j"1t 其中正反转电流相量I+和I-统一表示为I±，那么它与初相位ϕi的关系是 ! I± = 1 2 Ime ± j" i 上式表明正反转电流相量是以该相相轴为时轴，同时也是该相复平面的实轴。在t=0时刻的初始状态 为相量I+和I-并且分别以相同的角频率逆时针与顺时针旋转。 B、三相电流的复矢量表示 现在具体分析三相不对称电流的情况 ! iA (t) = IA +e j"1t + IA#e# j"1t ， ! iB (t) = IB +e j"1t + IB#e# j"1t ， ! i C (t) = IC +e j"1t + IC#e# j"1t
电机学课堂进义第三部分同步电机16h 上海交通大学电气工程系EE SJTU 其中正反转电流相量I44,I肚和IC都是以各自相轴为时轴（复平面实轴）为参考表示的复矢量。 由于电流与磁势成线性关系，于是三相合成磁势基波与三相正反转电流相量合成结果呈正比。 要合成电流相量，首先必须采用统一的复平面，以A相相轴为实轴，于是B相和C相相轴分别逆时针 超前A相相轴120°和240°电角度。因此，三相正反转电流相量合成方式为 Im=1:+Igsen2o+Icze2o=Is+aln:+aIc:=Ime 其中正反转合成电流相量的幅值为Im±，初相位为平4。 气隙空间合成磁势基波可以表示为 f(t,)=krlm+cos(ωt+P:+-)+klm-cos(ωt+p:-+θ) 显然可以得到如下结论： 当反转合成电流相量幅值等于零，而正转合成电流相量幅值不等于零时，合成磁势基波是逆时针旋 转的圆形磁势波： 当正转合成电流相量幅值等于零，而反转合成电流相量幅值不等于零时， 合成磁势基波是顺时针旋 转的圆形磁势波： 当正反转合成电流相量幅值都不等于零时，合成磁势基波是椭圆磁势波，倾角为（④4+φ）/2。转向与 幅值大的合成电流相量相同： 当正反转合成电流相量幅值都等于零时，气隙空间不存在合成磁势基波，比如三相电流同频率且同 相位的情况，也就是说空间对称多相系统中的零序电流不会对气隙合成磁势产生影响。 同步电机总结 同步电机根据能量传输包括同步发电机、同步电动机和同步无功补偿器（也称为调相机），根据励 磁方式分为电励磁、永磁和磁阻同步电机三类，其中电励磁又有有刷和无刷励磁两种。根据转子磁 路特点又分为隐极和凸极同步电机。汽轮发电机是气隙均匀的隐极同步发电机，通常是一对极， 50z电能的转速3000pm,因此转子细长。水轮发电机是气隙不均匀的凸极同步发电机，通常多极低 速运行，因此转子比较短粗。两者功率均可达百万千瓦级。同步电动机主要用于对转速精度要求高 的电力传动，如轧钢，伺服机构。永磁同步电机主要是功率密度高，但转子永磁不能调节励磁。同 步发电机不仅可以提供有功功率，而且可以提供无功功率，因此同步发电机并网运行能改善电网功 率因数，维持电网电压和频率稳定。同步电机作为电动机和发电机取决于电压和励磁电势之间的相 位差或者功率角。 1、同步与同步速 同步电机的定子电枢和转子磁极磁场是独立的，在空间保持同步旋转，转子转速与电枢电流频率和 电机极对数满足恒定关系。对于极对数为p的同步电机，稳定运行时转子转速(pm)与定子电流频率 f(z)关系pn=60f。发电机转子磁场超前定子电枢反应磁场，电动机转子磁场滞后于定子电枢反 应磁场。 电枢反应的性质取决于励磁电势与电枢电流的相位差，及其规定正方向。 2、基本方程 励磁电势、直轴与交轴电枢反应电势、漏电势、电枢绕组电阻压降与端电压满足KVL, Et+Ead Ead Ea Rala +Ua' 4
电机学课堂讲义 第三部分 同步电机 16h 上海交通大学电气工程系 EE SJTU 4 其中正反转电流相量IA±，IB±和IC±都是以各自相轴为时轴（复平面实轴）为参考表示的复矢量。 由于电流与磁势成线性关系，于是三相合成磁势基波与三相正反转电流相量合成结果呈正比。 要合成电流相量，首先必须采用统一的复平面，以A相相轴为实轴，于是B相和C相相轴分别逆时针 超前A相相轴1200 和2400 电角度。因此，三相正反转电流相量合成方式为 ! Im± = IA ± + IB ±e j1200 + IC ±e j 2400 = IA ± + aIB ± + a 2 IC ± = Im±e j" i± 其中正反转合成电流相量的幅值为Im±，初相位为ϕi±。 气隙空间合成磁势基波可以表示为 ! f1(t,") = k f Im+ cos(#1t + $i+ %") + k f Im% cos(#1t + $i% + ") 显然可以得到如下结论： 当反转合成电流相量幅值等于零，而正转合成电流相量幅值不等于零时，合成磁势基波是逆时针旋 转的圆形磁势波； 当正转合成电流相量幅值等于零，而反转合成电流相量幅值不等于零时，合成磁势基波是顺时针旋 转的圆形磁势波； 当正反转合成电流相量幅值都不等于零时，合成磁势基波是椭圆磁势波，倾角为(ϕi++ϕi-)/2。转向与 幅值大的合成电流相量相同； 当正反转合成电流相量幅值都等于零时，气隙空间不存在合成磁势基波，比如三相电流同频率且同 相位的情况，也就是说空间对称多相系统中的零序电流不会对气隙合成磁势产生影响。 同步电机总结 同步电机根据能量传输包括同步发电机、同步电动机和同步无功补偿器（也称为调相机），根据励 磁方式分为电励磁、永磁和磁阻同步电机三类，其中电励磁又有有刷和无刷励磁两种。根据转子磁 路特点又分为隐极和凸极同步电机。汽轮发电机是气隙均匀的隐极同步发电机，通常是一对极， 50Hz电能的转速3000rpm，因此转子细长。水轮发电机是气隙不均匀的凸极同步发电机，通常多极低 速运行，因此转子比较短粗。两者功率均可达百万千瓦级。同步电动机主要用于对转速精度要求高 的电力传动，如轧钢，伺服机构。永磁同步电机主要是功率密度高，但转子永磁不能调节励磁。同 步发电机不仅可以提供有功功率，而且可以提供无功功率，因此同步发电机并网运行能改善电网功 率因数，维持电网电压和频率稳定。同步电机作为电动机和发电机取决于电压和励磁电势之间的相 位差或者功率角。 1、同步与同步速 同步电机的定子电枢和转子磁极磁场是独立的，在空间保持同步旋转，转子转速与电枢电流频率和 电机极对数满足恒定关系。对于极对数为p的同步电机，稳定运行时转子转速n(rpm)与定子电流频率 f1(Hz)关系 ! pn = 60 f 。发电机转子磁场超前定子电枢反应磁场，电动机转子磁场滞后于定子电枢反 应磁场。 电枢反应的性质取决于励磁电势与电枢电流的相位差，及其规定正方向。 2、基本方程 励磁电势、直轴与交轴电枢反应电势、漏电势、电枢绕组电阻压降与端电压满足KVL， ! E ˙ f + E ˙ ad + E ˙ aq + E ˙ " = Ra ˙ I a + U ˙ a
